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Limite h->0 et remplacer h par 0 ?

Séparation d'une digression dans la discussion http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1645466 AD
Je suis offusqué de voir certains élèves me dire que la limite quand h tend vers 0 revient à remplacer h par 0 ...
Ce n'est pas si faux que ça, tout de même :
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\;,$$
et pour la limite quand $h\to 0$ on fait $h=0$. Non ?
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Réponses

  • GaBuZoMeu a écrit:
    Ce n'est pas si faux que ça, tout de même :
    $$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h,$$
    et pour la limite quand $h \to 0$ on fait $h=0$. Non ?
    Oui mais après quand on veut dériver un sinus en 0...
  • Eh bien là on ne peut pas remplacer h par 0.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Facile :
    $$\frac{\sin h}{h}= 1-\frac{h^2}{6}+ \cdots$$
    et on fait $h=0$ pour avoir la limite quand $h\to 0$. On peut faire de même avec
    $$\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)\frac{\sin(h)}{h}\;.$$
    (:D

    On peut aussi faire
    $$\frac{\frac1{x+h}-\frac1x}{h}=\frac{-1}{x(x+h)}$$
    et faire $h=0$ pour avoir la limite quand $h\to 0$.
  • "Je suis offusqué de voir certains élèves me dire que la limite quand h tend vers 0 revient à remplacer h par 0 ..."

    Offuqué : blessé, choqué, froissé dans son amour propre ....

    Y a pas de quoi s'offusquer, ce sont des élèves. Il faut au contraire sauter sur l'occasion, le rôle du prof est de leur expliquer pourquoi on peut ou on ne peut pas faire ça.

    Si tu t'offusques pour si peu, tes élèves n'oseront plus jamais rien dire, faire.

    Je suis quand même très étonné de ce que je lis sur le forum pédagogie.

    Vous imaginez un prof de guitare, je suis offusqué mon élève a osé faire un arpège sans articuler les notes.

    Vous imaginez le prof de tennis, je suis horrifié, il ne décompose pas bien son mouvement quand il est au service.

    Mouaif, le propre de l'élève est d'apprendre. Se tromper, mal faire, fait parti de l'apprentissage. A nous les profs d'apporter les corrections.

    J'engueule mes élèves, je m'offusque, je m'indigne au moindre retard, à la moindre attitude déplacée, si les devoirs ne sont pas faits, si le cours n'est pas appris.... En revanche, il faut toujours profiter de leurs erreurs pour avancer. Surtout que la bourde évoquée ci-dessus est tellement classique pour un première S qui rappelons le, découvre la notion de limite pour la première fois.
  • Rien à voir avec le tennis ou la guitare. Si je t'apprends les règles des échecs (autrement plus compliquées que les règles mathématiques), je peux être offusqué que tu joues des coups interdits, sauf les trois premières parties. En revanche je n'ai pas à être offusqué si tu joues un mauvais coup. Remplacer $h$ par $0$ dans la définition de la limite, sans preuve et sans théorème pour le faire (et pour cause !), c'est un coup interdit. La règle est simple, est interdit tout ce qui n'est pas explicitement autorisé par le cours ou une preuve s'appuyant sur les théorèmes du cours.
  • Je ne sais pas pour vous, mais moi, dès que je cherche une limite, je remplace par la valeur mentalement.
    Si ça coince (cas indéterminé), alors je me retrousse les manches.
    Non ?

    L'erreur c'est d'écrire ce que l'on fait mentalement, oui c'est vrai. Surtout quand ça coince, la majorité des cas.
  • Bah par continuité ça peut marcher. Mais je doute que les élèves qui remplacent $h$ par $0$ donnent une preuve. A la limite on peut se tromper dans une preuve (et encore ça ne devrait pas arriver avant le master où les preuves contiennent beaucoup d'implicite), mais annoncer je remplace $h$ par zéro sans preuve c'est un coup interdit.
  • Mais oui, mais oui, il n'y a pas lieu de polémiquer des heures sur cette histoire de "je remplace", evidemment.
  • Bah, on se prend le chou alors que les limites sont faites en agitant les bras en lycée.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Evidemment qu'on commence par remplacer h par 0 pour calculer une limite d'une expression algebrique, ce n'est que si la forme est indeterminee qu'on utilise une autre methode (developpement limite, regle de l'Hopital, ...)
  • Si un élève de lycée me fait le coup de "je remplace sin par son développement en série entière" (*) c'est qu'il a peut-être pas besoin de moi :D (dans mon souvenir, dans ma prime jeunesse les sin et cos étaient plutôt définis géométriquement.

    Ce n'est pas une question de s'offusquer ou non (même si la simple vue de signes cabalistiques peut déchaîner les passions), juste de se demander si cette stratégie de calcul de limite marche. Avec les expression triées sur le volet des programmes officiels de lycée, elle marche (on apprend aux élèves à se comporter en logiciels de réécriture, en moins ambitieux et plus maladroits, le facteur humain jouant un rôle non négligeable).

    Pour des fonctions peut-êtres pas si inutiles que ça, comme $x\mapsto 0$ si $x\leq 0$, $\exp\left( \frac {-1}{x^2}\right)$ si $x>0$ ce n'est plus la même chose.

    [size=x-small](*) Sans parler de celui qui lâche que si $f:\R\backslash \{0\}\to \R$ a une limite en $0$ et si $g$ est une fonction continue en $0$ telle que $g(t)=f(t)$ pour tout $t\neq 0$ alors $\lim_{h\to 0} f(h)=g(0)$ d'où le calcul de la limite par substitution... Si vous connaissez des lycéens qui font ça dites le moi).[/size]
  • Comme Parisse, comme GBZM, et comme Fermat avant eux, je remplace h par 0, je ne vois pas ce qu'il y a de choquant. Au contraire je trouve beaucoup plus choquant les pseudo-définitions de limite que l'on trouve dans les manuels qui accompagnent les pseudo-définitions de dérivées et auxquelles les élèves ne comprennent rien (sûrement parce qu'il n'y a rien à comprendre). D'ailleurs, il me semble avoir lu que Villlani et Torossian préconisaient cette approche dans leur rapport.

    M.
  • Ah oui, bien sûr !

    Écrire [ (x+h)2 - x2 ] / h = 2x + h s'accompagne de la condition h $\neq $ 0, n'est-ce pas ?

    Alors faire h = 0 et h $\neq $ 0 "en même temps", c'est bien dans l'air du temps :-)

    (Avant que l'on me reproche quoi que ce soit, je précise que c'est une plaisanterie, et que je suis bien conscient que si f(x) = g(x) pour x $\neq $ a et que si g est continue en a, etc, etc.)
  • Tout le monde remplace d'abord mentalement $h$ par $0$ dans les calculs de limites "faciles".
    L'important est de comprendre ce qu'on fait et ce qu'on peut écrire. La réalité c'est que la notion de continuité n'est plus enseignée dans le secondaire et que les élèves croient que toutes les fonctions sont continues (sur leur domaine de définition).

    Il serait temps de réintroduire en secondaire les fonctions par cas, type $f(x) = 1$ sur $[0,+\infty[$ et $f(x)=0$ sur $]-\infty, 0).$
  • Écrire [ (x+h)^2 - x^2 ] / h = 2x + h s'accompagne de la condition h $\neq$ 0, n'est-ce pas ?
    Non, pas si on considère que c'est une égalité entre deux fractions rationnelles.
  • La notion de continuité est enseignée dans le secondaire en terminale S. Il n'est pas rare de voir des excercices, avec des fonctions affines par morceaux en seconde, qui ne sont pas continues.
    Et on donne bien entendu des exemples comme celui de Cyrano, ne serait-ce que pour le chapitre sur limites, pour comprendre limite à gauche et à droite. Et la meilleure façon de faire comprendre la notion de continuité, est de donner quelques exemples de fonctions non continues.
  • Imaginons un prof de maths qui voudrait inculquer quelques rudiments sur la notion de nombre dérivé à ses élèves de 1ère S. Son cours pourrait débuter de la façon suivante:

    Nous allons commencer par étudier l'exemple de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $ [0,+\infty [ $ par $f(x)=\sqrt x$

    Pour tout $x\geqslant 0$ on a $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}=.......=\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x}$

    a)Supposons alors que $ x \neq 0 $:

    On pose $h=0$ et le quotient précédent devient égal à $\dfrac{1}{2 \sqrt x}$ donc HAKUNA MATATA, la fonction $f$ est dérivable en $x$ et $f'(x)=\dfrac {1}{2\sqrt x}$


    b)Supposons maintenant que $x=0$:

    Alors, le quotient est égal à $\dfrac{1}{\sqrt h}$ et si on pose $h=0$ alors heuh ben....on obtient.....

    Et soudainement, une voix d'élève retentit du fond de la classe: "Hé Msieu j'ai fait $\dfrac{1}{\sqrt 0}$ avec ma calculatrice et ça affiche ERROR.....ch'comprend pas !!! ça marche pas vot' méthode !!!!!"

    Comment faut-il alors agir ? Faut-il faire comme le regretté José Garcimore et répondre "Hi hi hi hi ....cha marche pas....des fois cha marche....des fois cha marche pas...hi hi hi hi...."

    Voilà ce qui arrive lorsque l'on ne définit pas de manière un tant soit peu rigoureuse les objets mathématiques que l'on manipule, a fortiori devant un public peu habitué à utiliser ces concepts ardus....
    Lorsque l'on sait de quoi l'on parle, on peut se permettre de tordre un peu le cou à la rigueur et poser dans certains cas sans trop de dommages $h=0$ plutôt que s'embêter à faire un passage à la limite rigoureux....mais cela me parait extrêmement dangereux devant des élèves de 1 ère S qui seront ainsi amenés dès le début à prendre de très mauvaises habitudes. La "méthode" consistant à poser $h=0$ plutôt qu'effectuer un passage à la limite me parait privilégier le résultat au détriment de la démarche et du raisonnement mis en oeuvre (mais c'est bien dans l'air du temps....)

    Les sagouins qui ont rédigé les programmes de Lycée ont vraiment cochonné leur copie et supprimé les limites en 1 ère S en feignant de croire que cela n'aurait aucune incidence sur l'introduction (très délicate) de la notion de nombre dérivé.....mais de toute façon, ces gens là n'en n'ont RANAFOUT de ce que l'élève moyen peut bien avoir compris...Tant que l'on fait des problemzouverts, de la fausse algorithmique, des intervalles de fluctuation et de confiance à deux balles.....tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes puisque l'idéologie pédagogiste triomphe.....

    De toute façon, un adjudant pédagogique régional dirait que tout cela ce ne sont que des méthodes zexpertes qui ne font pas sens pour les zapprenants....Il eût fallu se rendre en salle informatique, utiliser la méthode ingénieur en se servant d'excel et dire : "vous voyez là lorsque h est très très très très proche de 0 alors les valeurs de $\dfrac {1}{\sqrt h}$ sont OUHLALALALA très très très très grandes !!!! Il en résulte que la fonction $f$ n'est pas dérivable en 0...RAGAZZI BASTA COSI !!!! "
  • Ce que j'adore dans l'argumentation des oiseaux de mauvaise augure (ceux qui n'arrêtent pas de dire que tout est foutu, ils se reconnaitront), c'est qu'au lieu de se réjouir du fait que quelqu'un qui aime et est visiblement fort en maths soit motivé pour devenir prof de maths et qui remontera le niveau moyen des profs, font tout pour le décourager...

    Continuez à décourager tout le monde les gars ça va faire avancer le truc...
  • Merci à Ramon Mercader pour cet excellent exemple (autre qu'une fraction rationnelle) du fait que "faire $h=0$ dans le taux d'accroissement" pour trouver la dérivée n'est pas si offusquant que ça. (Et on voit en passant que $x\mapsto \sqrt x$ n'est pas dérivable en $0$.)
  • Que vaut la limite en $0$ de $\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ quand $(x,y) \to 0$?
  • Bah Foys c'est pas très compliqué. Il suffit de lire un peu ce que t'expliquent les enseignants ici présents ... Tu remplaces $x$ et $y$ par zéro.
  • Facile : en posant $x=t^2,y=t$ le rapport vaut $\dfrac12$ et quand on fait $t=0$, on trouve $\dfrac12$.
    Par contre, en posant $x=t, y= t^2$ le rapport vaut $\dfrac{t^3}{1+t^6}$ et quand on fait $t=0$, on trouve $0$.
    Ceci montre qu'il n'y a pas de limite quand $(x,y)\to 0$.
  • Je n'ai fait que redire la méthode expliquée ici. Quant à savoir quand est ce qu'on a le droit de poser ceci ou de remplacer cela ... Ceci dit je doute que j'ai quoi que soit à t'apprendre en mathématiques foys :-)
  • A propos du message de RM sur la derivee de sqrt(x), il est bon de rappeler que 1/0 n'est pas une forme indeterminee, c'est l'infini (complexe ou non signe).
    Pour la limite (plus delicate car multivariee) de x*y^2/(x^2+y^4) citee par Foys, on notera que le remplacement de x et y par 0 donne une forme indeterminee
  • GBZM écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1645466,1645990#msg-1645990
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Je ne vois pas bien ce que l'égalité des deux fractions rationnelles permet de dire (sans parler de limites) des deux fonctions rationnelles dont l'une est définie pour h = 0 et l'autre pas.
  • @GG : $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ et $2x+h$ sont le même élément du corps des fractions rationnelles $\mathbb R(x,h)$, de même que $\dfrac{21}{7}$ et $3$ sont le même élément du corps $\mathbb Q$.
    Une fraction rationnelle définit une fonction rationnelle en dehors de ses pôles, et ces pôles ne dépendent pas du représentant choisi pour cette fraction rationnelle ! De même que la place $7$-adique sur $\mathbb Q$ est bien définie en $\dfrac{21}{7}$ et vaut la classe de $3$ dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$.

    PS. En fait, je devrais plutôt dire la chose suivante, qui correspond mieux au contexte. $x_0$ est un nombre réel fixé, et $x$ une variable. Les fractions rationnelles $\dfrac{x^2-x_0^2}{x-x_0}$ et $x+x_0$ sont un seul et même élément de $\mathbb R(x)$. Comme ça l'analogie entre le corps $\mathbb R(x)$ avec sa place en $x_0$ et le corps $\mathbb Q$ avec sa place $7$-adique est absolument parfaite.
  • @GBZM,

    Une fraction rationnelle définit une fonction rationnelle en dehors de ses pôles

    Veux-tu dire qu'on peut prolonger la fonction aux points qui annulent le dénominateur (sans la faire tendre vers l'infini) sans faire appel à la notion de limite ?
  • [small]Cela me fait penser à la dérivée formelle d'un polynôme, sans la notion de limite.[/small]
  • Veux-tu dire qu'on peut prolonger la fonction aux points qui annulent le dénominateur (sans la faire tendre vers l'infini) sans faire appel à la notion de limite ?
    Oui, bien sûr, ou plus exactement il n'y a pas besoin de "prolonger par continuité" la fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle vu qu'elle est définie en tout point qui n'est pas un pôle.
    Soit $K$ un corps quelconque - par exemple un corps fini. À toute fraction rationnelle $F$, élément du corps $K(x)$, on associe une fonction rationnelle de $K$ privé des pôles de $F$ à valeurs dans $K$. Les pôles de $F$ sont les zéros du dénominateur de $F$ représentée sous forme réduite (autrement dit, les zéros communs des dénominateurs de tous les représentants de $F$). Par exemple, il n'y a aucun besoin de limite pour savoir que la valeur de la fonction rationnelle associée à $F=\dfrac{x^2-4x+1}{x-7}\in (\mathbb Z/11\mathbb Z) (x)$ en $7\in \mathbb Z/11\mathbb Z$ est $10$.
  • Ahh, OK, merci GBZM !
  • Avec plaisir.
  • Il y a aussi la fonction $f:\R^2\to \R$ telle que $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\left (\dfrac{xy^2}{x^2+y^4} \right )^2 \sin \left( \dfrac{1}{x^2+y^2} \right ) $ si $(x,y) \neq 0$.
    Cette fois:
    -$f(0,x)$ tend vers $0$ (lui est égal) quand $x\to 0$.
    -$t\mapsto f(t^2,t)=\frac{1}{4} \sin \left( \frac{1}{t^4+t^2} \right)$ ne tend pas vers $0$ en $0$. $f$ n'est donc pas continue en $(0,0)$.
    -Si $\varphi: [0,1]\to \R^2$ est une fonction continue quelconque $0$, telle que $\varphi (0)=(0,0)$ et s'il existe $\ell\in \R$ tel que $f \circ \varphi(t) \underset{t \to 0} \longrightarrow \ell$ alors $\ell = 0$ (c'est parce que cette fonction change de signe sur tout intervalle voisin de $0$. Ainsi on ne pourra pas montrer la non-continuité à l'aide de courbes ad-hoc).
    -fait additionnel amusant, la restriction de $f$ à toute droite affine est dérivable;et si la droite passe par zéro, la dérivée en $0$ est nulle autrement dit toutes les dérivées directionnelles de $f$ en zéro sont nulles.
    On pourrait en inférer un lien entre les dérivées directionnelles de $f$ et les $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$. Il n'en est rien (songer à $g(x,y):=f(x,y)+\dfrac{x}{|x|} \sqrt{|xy|}$ si $x\neq 0$ et $0$ sinon-fonction qui du reste partage les pathologies de $f$ listées plus haut; ou encore à $h(x,y)=f(x,y)+ \sin \left( \frac{1}{x^2+y^2} \right ) \sqrt{|xy|}$). Bref les inférences ne font pas les raisonnements mathématiques valides.

    Je ne sais pas jusqu'où on peut prolonger l'exercice de style consistant à faire apparaître utilement "posons $h=0$" dans l'examen de la limite d'une expression (et on n'est pas encore passé aux intégrales sales mais rassurez-vous je vais m'arrêter bientôt), cependant je ne crois pas au côté pédagogique du remplacement d'une définition formelle précise (et qui donc va vraiment couvrir tous les cas) par une collection pléthorique de recettes rédactionnelles qui ne marchent que dans des cas spécifiques et sont valides pour des raisons subtiles (combien de gens-sans parler d'étudiants- sont capables de prendre les initiatives de GaBuZoMeu et de faire en sorte que ça marche).
    L'antiformalisme pousse les gens trop loin.
  • @Foys : je rigole un peu quand je vois tous les efforts que tu déploies pour montrer qu'on ne peut pas tout faire en "faisant $h=0$" (après plusieurs tentatives malheureuses, en passant à plusieurs variables et en te rabattant finalement sur le monstre $\sin(1/x^2)$). Bien sûr qu'on ne peut pas tout faire !
    Faut-il pour autant s'offusquer qu'un élève exprime l'idée que calculer la dérivée de $f$ en $x$, c'est faire $h=0$ dans le taux d'accroissement $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ? Est-ce si déraisonnable ?
  • GaBuZoMeu a écrit:
    @Foys : je rigole un peu quand je vois tous les efforts que tu déploies pour montrer qu'on ne peut pas tout faire en "faisant $h=0$" (après plusieurs tentatives malheureuses, en passant à plusieurs variables et en te rabattant finalement sur le monstre $\sin(1/x^2)$). Bien sûr qu'on ne peut pas tout faire !
    C'est-à-dire que le délire aurait pu se prolonger indéfiniment puisque pour tous espace topologique $X,Y$, pour toute fonction $f:X \to Y$ et pour tout $x\in X$, si $Y$ est compact (comme les cadres usuels $[-\infty,+\infty]$, $\mathbf P^n(\R)$, le compactifié d'Alexandrov de $\R^n$, etc), $f$ est continue en $x$ si et seulement si $\{ f(x) \}$ est l'ensemble des $y\in Y$ tels qu'il existe un espace topologique $Z$, un point $a\in Z$ et une fonction $\varphi: Z\to X$ continue en $a$, telle que $\varphi(a)=x$ et telle que $f\circ \varphi (t) \underset{t \to a} \longrightarrow y$ (c'est juste une variante de "dans un compact, un filtre a toujours au moins une valeur d'adhérence, et une seule si et seulement si il converge"). Donc là on s'écrie triomphalement "posons $t=a$"!!. Moi j'ai laissé tomber; réjouis toi comme tu veux (ce n'est pas mon problème).
    marsup a écrit:
    Pour la dérivation, évidemment que ce n'est pas idiot de prendre $h=0$ dans le taux d'accroissement.

    Je crois me rappeler de la définition suivante :

    On dit que $f:I\to \R$ est dérivable en $a$ s'il existe une fonction $p$ (pente) continue en a$a$ telle que pour $x \in I$, on ait $f(x)=f(a)+p(x)(x-a)$. Dans ce cas, on note $f'(a)=p(a)$.

    Ce qui n'est pas idiot, c'est de soit utiliser cette définition si c'est bien celle du cours, soit de montrer (s'il y a une autre définition ce qui est quasiment toujours le cas en pratique), qu'une fonction dérivable vérifie cette propriété avant de s'en servir.

    Sauf que là ce qui est quand même prôné dans ce fil c'est l'attitude [size=large]<<J'utilise les notations et calculs pipeaux (i.e. injustifiés) que je veux, et si le prof/l'interlocuteur échoue à me contredire, j'ai raison >>[/size].

    Du pur renversement de la charge de la preuve.
    C'est la négation même des mathématiques!!
    Incroyable que des gens d'un niveau technique élevé, des chercheurs confirmés aillent dans ce sens.
    GaBuZoMeu a écrit:

    Faut-il pour autant s'offusquer qu'un élève exprime l'idée que calculer la dérivée de $f$ en $x$, c'est faire $h=0$ dans le taux d'accroissement $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ? Est-ce si déraisonnable ?
    Il faut en finir avec cet élève magique qui pense comme les docteurs en science de l'éducation fantasment.A une minorité de surdoués près Il n'existe pas- sauf dans les lycées de la montagne Sainte-Geneviève et dans deux ou trois ultraniches hyperprivilégiées (les élèves d'un club de math d'un lycée international cossu arrivent peut-être à sentir les développements limités à l'ordre 1 mais ça n'est pas représentatif). Il y a plus de chances de se retrouver avec $f'(x)=1$ pour tout $x$ (après avoir simplifié le quotient par $f$) qu'autre chose.


    L'enseignement des maths au collège/lycée en France, en dehors de ces situations d'exception, c'est du dressage littéralement.
    C'est exactement comme les éléphants qui peignent en Thaïlande (et qui ne comprennent rien à ce qu'ils font bien sûr, ils sont juste maltraités par leur mahout, mais il y a des gens qui s'extasient "oh il sait peindre"). L'élève reproduit des listes de symboles réglementaires dans l'ordre et répond à des stimuli, c'est tout ce qui se passe. Les calculs de limites se font sur des fonctions triées sur le volet (et là h=0 ça marche sans problème oui; en même temps mes "mésaventures" du présent fil montrent que lesdites fonctions ne sont pas trop dures à fournir). Il y a un exo de barycentre (toujours le même avec "montrez que les 3 points sont alignés" et seuls les poids changent. ) Il y a des dérivées (toujours le même exo qui est donné aux détails cosmétiques près) la même intégrale (aux paramètres près; il doit y avoir une quinzaine d'exos à paramètres max )etc.
    Les gens vous disent "mes élèves y arrivent" ou "mes élèves comprennent" (ces phrases sont en fait synonymes) mais pourquoi ledits élèves ont 3/20 de moyenne après en prépa ou en fac?
    On va me dire que je suis dans le fan club d'un autre forumeur mais sur ce sujet il a raison (mais le dit souvent de façon trop caricaturale et agressive alors les gens se lassent).
  • Merci pour cette intervention Foys. Je suis bien d'accord avec ce que tu dis.
  • Évidemment d'accord avec Foys au cas où mes autres interventions ironiques n'étaient pas claires ...
  • La partie du message de marsup correspondant à cette discussion.
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1645466,1646844#msg-1646844
    Pour la dérivation, évidemment que ce n'est pas idiot de prendre $h=0$ dans le taux d'accroissement.

    Je crois me rappeler de la définition suivante :

    On dit que $f:I\to\R$ est dérivable en $a$ s'il existe une fonction $p$ (pente) continue en $a$ telle que pour $x \in I$, on ait $f(x) = f(a) + p(x) \cdot (x-a)$. Dans ce cas, on note $f'(a) = p(a)$.
  • Merci et bravo à Alain pour ce scindage de discussion qui a du prendre un temps considérable (il y a pas mal de prose à lire et certains posts sont à cheval sur les deux sujets).
  • Cela dit, le raisonnement qui consiste à écrire $$\lim_{h\to 0, h \neq 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h\to 0, h \neq 0} 2x+h = 2x$$ est parfaitement rigoureux et devrait être celui enseigné en secondaire, ... à condition d'avoir prouvé au préalable que les polynômes sont continus en tout point. (Nécessaire pour justifier la dernière égalité.)
    Et pour prouver cela, il faut bien au moins UNE FOIS dans sa vie, appliquer le critère $\epsilon, \delta.$ Quand je disais que la continuité n'était plus enseignée en secondaire, je parlais de ça et de rien d'autres.

    EDIT : Bon ok, pour ce calcul de limite précis, on peut évidemment se passer de prouver la continuité des polynômes en général mais bon ça serait quand même plus sain de le faire une fois pour toute.
  • Cyrano a écrit:
    à condition d'avoir prouvé au préalable que les polynômes sont continus en tout point.
    C'est le nœud du débat. Personne ne dit que cette méthode ne marche pas. Mais on est plusieurs à dire que ce qui compte c'est pas qu'elle marche mais de pouvoir justifier pourquoi. Parce que remplacer $h$ par $0$ sans comprendre, au lycée, ça pourra aboutir à des divisions par zéro un jour ou l'autre (quitte à pas comprendre ce qu'on fait ...).
  • Pour ceux qui pensent comme Foys que l'enseignement en lycee c'est du dressage, je ne comprends pas pourquoi ils critiquent le remplacement de h par 0 en premiere intention. Car si ils ont raison, les eleves sont de toutes facons bien incapables de comprendre plus.
  • En gros, on cherche un théorème qui dit : « Si on est dans des bons cas, alors on peut trouver une fonction $g$ continue et définie au point considéré qui coïncide avec $f$ en-dehors. »

    @parisse
    Je suis certain que tout le monde remplace mentalement h par 0 en première intention.

    @AD
    Merci pour ce travail fastidieux :-)
  • @AD. Je me sens un peu responsable du pensum qui t'a été infligé, désolé.
    [À ton service. ;-) AD]

    @Dom. Un théorème de ce genre est : soit $\mathcal S$ une structure o-minimale sur $\mathbb R$. Alors toute fonction $f : {]0,1[}\to \mathbb R$ définissable dans $\mathcal S$ a une limite en $0$ dans $\mathbb R\cup \{-\infty, +\infty\}$.
    Exemple de structure o-minimale : celle engendré par les polynômes, la fonction exponentielle, les fonctions analytiques restreintes à un pavé compact. Ça inclut $\exp(-1/x^2)$, mais bien sûr pas $\sin(-1/x^2)$.
  • On n'a pas de définition mathématiques de la limite au lycée. On reste au niveau de l'intuition. Mais il faut arrêter de toujours penser que les élève sont complétement cons. C'est le rôle du prof de faire sentir que ce n'est pas aussi simple que ça, de donner des exemples où cela ne fonctionne pas. Les élèves comprenent beaucoup mieux qu'on ne le pense. C'est loin d'être dramatique, qu'un élève ait comme idée de remplacer $h$ par 0 en première intention.

    Bref, je pense que tous ces discours négatifs, on ne fait plus rien au lycée marchent involontairement main dans la main, avec ceux qui affaiblissent et détruisent notre matière depuis des années, ce qui défont nos programmes etc. Comme on ne fait pas bien les limites au lycée, comme on ne fait plus de maths, comme on ne donne pas la vraie définition, et bien on va les supprimer au prochain programme. Ca sera formidable...
  • Si on prenait au mot la phrase "il faut arrêter de toujours penser que les élèves sont complètement cons", alors JUSTEMENT on donnerait la vraie définition de limite. Et comme les élèves ne sont, en effet, pas "cons", ils comprendront le lien entre la définition formelle et un petit dessin intuitif à côté.
  • D'ailleurs la définition intuitive est, en fait, celle des voisinage : tracer des cercles concentriques, de plus en plus petit...un bon zoom GeoGebra et hop !
  • Je comprends Cyrano, mais est-ce qu'une "phase d'intuition" sur les limites, où les élèves utilisent une notion sans vraiment jamais la définir, est-ce si embêtant ?
    Si on m'avait donné une définition, comme en L1 en première S, je n'aurais peut-être rien compris, car pas prêt. Faire mumuse au lycée avec les limites, pour ensuite définir les choses proprement ne me semble pas scandaleux, mais j'ai peut-être tort.
  • @zeitnot : Qui prend les élèves pour des cons ? Voici ce que j'en pense : dresser les élèves ou être favorable à leur dressage, c'est la même chose que les prendre pour des cons. Pour moi, c'est un aveu, c'est un peu comme si on leur disait en face : "vous êtes tellement cons que même si on essaie de vous expliquer tout, vous n'y arriverez pas ; alors on va vous dresser pour donner l'impression que vous y arrivez". Si j'étais à la place d'un ou d'une élève, cela me dégoûterait.
    zeitnot a écrit:
    Faire mumuse au lycée avec les limites, pour ensuite définir les choses proprement ne me semble pas scandaleux

    Je n'ai rien contre faire mumuse ; mais bon, même moi ça ne me fait pas rigoler, de jouer avec des limites ! Je veux bien qu'on dise qu'il faut que tout le monde ait un minimum de culture mathématique, que les mathématiques sont un moyen de sélection, et je suis d'accord ; mais je ne vois pas pourquoi on inflige à des gens de faire mumuse avec des limites ! Si jamais une personne doit vraiment utiliser les limites pour quelque chose d'important, où des vies sont en jeu, disons, comment peut-on se satisfaire d'avoir risqué de leur faire croire que les limites, c'était faire mumuse ? Qui s'en retrouve grandi, de tout ça ?

    En tout cas, zeitnot, quand tu faisais le parallèle avec un cours de tennis, ben comment réagirais-tu si ton élève tapait dans la balle hors du terrain, se mettait à courir tout autour du terrain, pour se lancer sur la ligne du fond du court opposé et s'écriait "Home run !" ? Moi, je serais horrifié, et je lui dirais : "Non mais t'as rien compris ! Déjà, ici, on est au tennis, pas au baseball !". Ca n'a rien à voir avec le fait de ne pas décomposer son service (je ne sais pas ce que ça veut dire mais ça a l'air d'être une mauvaise habitude qu'on peut prendre, mais - et c'est là que c'est important - qui est tout à fait autorisée par la règle du jeu).
  • Bon, est-ce que vous considérez Newton comme un "neuneu" qui n'a rien définit rigoureusement, se contentant de faire mumuse avec des pommes ?


    Je suis assez frappé par ce côté très Bourbakiste du genre "holala, on n'a pas défini les limites avec les epsilon, les élèves font n'importe quoi !!". On peut faire des maths très intéressantes (comme l'ont fait Newton, Cauchy, ...) sans TOUT définir explicitement. D'ailleurs, on ne parle jamais (à part en L3 de maths fonda peut-être) de la construction de $\R$ aux élèves. Bourbakistes, réveillez vous, on massacre !

    On peut d'ailleurs combiner l'aspect "rigoureux" avec l'aspect "intuitif". On regarde numérique ce qui se passe pour les cas simples :
    * 1/x quand x tend vers 0/infini,
    * x+cte ...

    Ce qui nous "permet" de poser quelques axiomes sur les limites (qui devient donc un objet non défini comme le sont les nombres réels). Avec ces axiomes simples, on traite la (quasi-?)totalité des cas du lycée, voir plus.

    Alors oui, on ne peut pas traiter le cas des fonctions discontinues rigoureusement. Mais historiquement, ces préoccupations sont arrivées bien après ; si je ne dis pas de bêtise, la nécessité d'une définition rigoureuse de limite n'est apparu que lorsqu'on s'est mis à étudier la convergence de séries de fonctions (sujet dont bien peu de lycéens aborderont dans leur cursus). Newton n'a jamais coupé d'epsilon en 4.
  • Il y a une petite différence entre la définition de limites qui est élémentaire et la définition de $\R$ qui est compliquée et inconnue parfois de certains matheux professionnels.

    La réalité c'est qu'on peut faire l'intégralité de l'analyse dans $\R$ sans connaître sa définition mais en connaissant sa "propriété". (Densité des rationnels.)
    D'ailleurs grosso modo, en secondaire on m'avait défini $\R$ comme étant $\overline{\Q}.$ (Evidemment c'était formulé de manière moins formelle mais l'idée y était.)

    Quant à Newton, doit-on rappeler qu'à cette époque, personne n'a accès à l'enseignement des mathématiques à part certains privilégiés ? A partir du moment où l'on décide d'enseigner une matière à tout le monde, on ne peut plus rester dans le flou artistique. Newton et Euler peuvent se contenter de leur intuition, monsieur et madame tout le monde non.
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