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Pourquoi alpha = (-b)/(2a)

Je suis au lycée, et j'ai compris que les mathématiques se comprenaient d'abord avant de s'apprendre, alors ma question est :
Pourquoi alpha = (-b)/(2a) ?

Réponses

  • Si c'est des mathématiques, alors les lettres utilisées ont un sens que tu nous caches : qui est alpha ? Et qui sont a et b ? Et d'où sors-tu cette égalité ésotérique ?

    Autrement dit, ce n'est pas ainsi que tu t'en sortiras en maths, c'est en sachant de quoi tu parles. Et alors, bizarrement, la compréhension vient. les explications du prof prennent du sens et on a compris et à moitié appris le cours dès qu'il a fini d'expliquer.

    Donc reviens avec une explication de ce dont tu parles (je suis assez sûr de ce que c'est, mais c'est toi qui poses la question, c'est à toi de savoir de quoi tu parles).

    Cordialement.
  • Parce que $2a \times \alpha+b= 0$ et que $2a \ne 0$ :-D
  • Je traduis.

    Je suis en seconde.
    J'ai un trinôme du second degré \( ax^2 + bx + c \) avec \( a \neq 0 \).
    Je veux l'écrire sous la forme \( a(x-\alpha)^2 + \beta \) comme il est écrit dans mon cours.

    Je voudrais savoir pourquoi \( \alpha = - \dfrac b{2a} \).

    pcc skeletom.

    [ Je n'ai pas écrit les quantificateurs implicites, j'aurais dû ? ]
  • Précisions :

    On prend une fonction polynôme du 2nd degré
    f(x) = ax2+bx+c

    Avec a non nul

    Suite : voir pièce jointe75224
  • Merci pour ta "traduction" (tu) EV
  • Tout simplement (?) parce que lorsque tu développes
    \[ a\left( x + \dfrac b{2a} \right)^2 - \dfrac {b^2}{4a} + c \]
    tu retrouves
    \[ ax^2 + bx + c. \]
    Donc \( \alpha = - \dfrac b{2a} \) est un bon candidat.
    Avec un peu plus de travail, on peut démontrer que c'est le seul.

    e.v.

    [ Pour le même prix, je t'offre \( \beta = - \dfrac {b^2-4ac}{4a} \) ]
  • Donc c'est bien ce à quoi je pensais.

    $ax^2+bx+c=a[(x-\frac{-b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$ (forme canonique du trinôme).
    Et comme un carré est toujours positif, le maximum (a<0) ou le minimum (a>0) s'obtient pour $x=\frac{-b}{2a}$.

    Cordialement.
  • D'où vient cette formule ?
    \[ a\left( x + \dfrac b{2a} \right)^2 - \dfrac
    {b^2}{4a} + c \]
  • Développe la formule et regarde ce que ça donne.
  • C'est juste en essayant d'appliquer $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ à l'envers.

    On divise par $a$ (non nul d'habitude, dans ce cadre...) :

    On obtient :$x^2+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}$.

    Or : $x^2+\dfrac{bx}{a}$ est bien le début du développement de $(x+...)^2$...

    Remarque :
    Un intervenant régulier propose de jeter tout cela aux WC.
    Un mathématicien se gausse de ce débat et a laissé son nom à cette méthode qui consiste à "compléter le carré".
  • En partant de $f: x \mapsto ax^2+bx+c$, tu peux commencer par résoudre $f(x)=c$ : il y a une solution évidente et une autre qui en découle rapidement. En admettant que la courbe de $f$ admet un axe de symétrie (parallèle à l'axe des ordonnées), tu peux retrouver l'abscisse du sommet de la parabole.
  • C'est une jolie manière de le voir roumegaire (tu) Il resterait à justifier pourquoi une telle symétrie existe et comment elle permet d'identifier le sommet.
  • On peut toujours calculer : $P(x+\alpha)$ et $P(\alpha-x)$ ... Pour voir la symétrie. Est-ce que c'est plus simple, pour quelqu'un qui n'a pas compris :-S
  • En effet, si la question est "d'où ça vient ?" je ne vois pas l'intérêt de la réponse "développe tu vas voir".

    C'est en seconde, voire en 3e dans quelques établissement, qu'on s'initie à ce "d'où ça vient ?".

    Et à part se servir des identités remarquables, je ne vois pas.
  • Bonjour,

    De mon boulot, très rapidement : Posons\[f(x)=a\,x^2+b\,x+c\] quel que soit le nombre (réel) $x$. Je réponds brièvement à ceci. Dans toute la suite, l'on suppose $a\ne0$. Alors,\[a\,x^2+b\,x+c=a\,\left(x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}\right)\]avec\[\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{b^2}{4\,a^2}\mbox{, d'où }x^2+\dfrac{b}{a}\,x=\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a^2}\]Ainsi obtient-on que\[a\,x^2+b\,x+c=a\,\left(x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}\right)=a\,\left(\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a^2}+\dfrac{c}{a}\right)=a\,\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\]d'où ton résultat.

    Supposons maintenant que l'on ait $a<0$ (le cas $a>0$ se traitant aisément !). Soit $u$ et $v$ des nombres (réels) tels que\[u<v<-\dfrac{b}{2\,a}\]Alors,\[u+\dfrac{b}{2\,a}<v+\dfrac{b}{2\,a}<0\]soit\[0<\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2\](la fonction $x\mapsto{x^2}$ étant strictement décroissante sur l'ensemble des nombres négatifs) ou encore\[a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<0\]de sorte que\[a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\mbox{, avec }f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)=-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\]Nous venons donc de montrer que, si $u$ et $v$ sont des nombres tels que\[u<v<-\dfrac{b}{2\,a}\]alors,\[f(u)<f(v)<f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)\]De manière analogue, soit $u$ et $v$ des nombres tels que\[-\dfrac{b}{2\,a}<u<v\]Alors,\[0<u+\dfrac{b}{2\,a}<v+\dfrac{b}{2\,a}\]soit\[0<\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2\](la fonction $x\mapsto{x^2}$ étant strictement croissante sur l'ensemble des nombres positifs) ou encore\[a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<0\]de sorte que\[a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\mbox{, avec }f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)=-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\]Nous venons donc de montrer que, si $u$ et $v$ sont des nombres tels que\[-\dfrac{b}{2\,a}<u<v\]alors,\[f(v)<f(u)<f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)\]Je te laisse rédiger une preuve dans le cas où l'on aurait $a>0$ et le soin de conclure que le point\[S\left(-\dfrac{b}{2\,a},\,f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)\right)\]est bien un extremum.

    Je ne sais pas si c'est clair !!

    Bien cordialement,

    Thierry
  • On peut aussi calculer le taux d'accroissement pour $x\neq y$ :
    $$
    \begin{align*}
    \frac{f(y)-f(x)}{y-x}
    & = \frac{1}{y-x}
    \cdot
    \big[
    (ay^2+by+c)
    -
    (ax^2+bx+c)
    \big] \\
    & =
    \frac{1}{y-x}
    \cdot
    \big[
    a(y^2-x^2) + b(y-x)
    \big].
    \end{align*}
    $$

    On reconnaît l'identité remarquable $y^2 - x^2 = (x+y)(y-x)$, d'où :
    $$
    \begin{align*}
    \frac{f(y)-f(x)}{y-x}
    & = \frac{1}{y-x}
    \cdot
    \big[
    a(x+y)(y-x) + b(y-x)
    \big].\\
    & =
    a(x+y)+ b.
    \end{align*}
    $$

    Celui-ci est automatiquement
    du signe de $a$ si $x,y \ge -\frac{b}{2a}$
    du signe opposé de $a$ si $x,y \le -\frac{b}{2a}$

    Je suppose maintenant $a > 0$.

    Ainsi, la fonction $f$ est
    croissante sur $\big[\frac{b}{2a};+\infty\big[$
    décroissante sur $\big[-\infty;\frac{b}{2a}\big]$
    donc elle atteint son minimum en $-\frac{b}{2a}$.
  • @Poirot et Dom : la forme canonique est censée être vue en seconde mais la mise sous forme canonique n'est pas exigée. La différence peut sembler subtile mais 1) passer de forme canonique à forme développée permet de s'entraîner aux développements, justement ; et 2) la forme canonique permet de résoudre f(x)=k grâce aux identités remarquables.

    Le cheminement que j'essaye d'effectuer avec mes secondes est plutôt de remarquer que la courbe semble admettre un axe de symétrie, puis que $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ semble être constant (où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont 2 solutions de $f(x)=k$ si elles existent). Tout cela devient plus évident en 1ere avec le discriminant, puis immédiat avec les fonctions dérivées.
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