Droite orthogonale à un plan — Les-maths.net The most powerful custom community solution in the world

Droite orthogonale à un plan

Bonjour,

En TS la définition de droite orthogonale à un plan est la suivante :
Définition : D est orthogonale à P si et seulement si D est orthogonale à toute droite du plan P.
Puis on donne la propriété :
Propriété : D est orthogonale à P si et seulement si D est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.

Ces deux propriétés sont données dans le chapitre "géométrie non repérée" et dans ce chapitre on admet cette propriété.
On peut démontrer cette propriété quand on arrive au chapitre produit scalaire.

Ma question : peut-on démontrer cette propriété sans utiliser le produit scalaire ?

Merci.

Réponses

  • Bonjour,

    La définition de "P orthogonal à une droite" utilise le produit scalaire, donc je vois mal comment pourrait-on faire...
  • On démontre (B) à partir de (A)
    (B) est généralement bien connu,
    mais pas (A) : quelles sont les hypothèses, qu'est-ce qui est admis ?

    (A) est souvent enfoui dans la vase d'un étang brouillardeux, du coup on ne saitpas que faire.
    1ère mission : amener en plein jour les prérequis.
  • Ces deux propriétés sont données
    La définition de "P orthogonal à une droite" utilise le produit scalaire
    (B) est généralement bien connu,
    mais pas (A) : quelles sont les hypothèses, qu'est-ce qui est admis ?

    Apparemment, personne n'a l'air de lire ce qui est écrit. La définition est une DÉFINITION. Cette définition n'utilise pas le produit scalaire, et une définition n'a pas d'hypothèses.
    La seule question est : comment démontrer la propriété à partir de la définition ?
  • @gabuzomeu
    la définition de "P orthogonal à une droite" repose sur la définition de "droites orthogonales" et celle-ci me semble utiliser le produit scalaire...
  • Je n'ai aucune idée de comment c'est présenté dans le cours que suit bulledesavon, En tout cas, pour l'orthogonalité de deux droites dans l'espace on peut se ramener à une situation plane (en considérant la parallèle à une des droites passant par un point de la deuxième).
  • Pour la démonstration de la propriété à partir de la définition : vérifier que si $(AB)$ est orthogonale à $(BC)$ et $(BD)$, elle est aussi orthogonale à $(BE)$ (à coup de Pythagore, Al Kashi, réciproque de Pythagore).74364
  • à coup de Pythagore, Al Kashi, réciproque de Pythagore

    Hum, ça ou le produit scalaire, c'est kif-kif, non ?
  • Pythagore et Al Kashi seraient ravis de l'apprendre.
  • Je ne suis pas d’accord avec l’énoncé de départ. On donne plutôt comme définition qu’une droite est orthogonale à un plan ssi elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan. Puis comme propriété, que si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite sécante du plan. Dans la pratique, c’est la démarche utilisée dans cet ordre dans les exercices. La propriété peut se démontrer sans PS mais c’est lourd. Le mieux est de l’admettre dans un premier temps et de la démontrer plus tard. (Admise au premier trimestre pour ma part, démontrée au deuxième).
  • @ bulledesavon

    Voir aussi ici.

    La démonstration de GaBuZoMeu me semble incontournable.

    e.v.
  • La perpendicularité de deux droites est définie par Euclide lui-même, dans l'Élément premier.

    PJ : LES QUINZE LIVRES DES ELEMENTS GEOMETRIQUES D'EVCLIDE, Traduicts en françois par D. Henrion, professeur ès Mathematiques, imprimez et corrigez du vivant de l'Autheur. 1632.74372
  • La démonstration évoquée plus haut fait cinq lignes de calcul, suivies de la conclusion. Les quatre premières lignes utilisent chacune Al Kashi dans quatre triangles, la cinquième ligne utilise deux fois Pythagore, et la conclusion utilise la réciproque de Pythagore. Pas si lourd que ça, mais peut-être trop pour des élèves de terminale S ?

    Edit : on peut en fait squeezer les lignes 3 et 4 qui ne font que répéter les lignes 1 et 2, mutatis mutandis (remplacer $A$ par $B$).
  • GaBuZoMeu écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1632148,1632220#msg-1632220
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Bonsoir
    ce que je voulais dire c'est la chose suivante : il me semble que si on suppose que l'on a Al-Kashi (ou Pythagore) dans tout plan de l'espace, c'est équivalent à dire que l'on a un produit scalaire.
    Est-ce complètement à côté de la plaque ?
  • Pourrais-tu formuler plus précisément ta question ?
    Est-ce "Si on a une structure euclidienne sur chaque plan affine d'un espace affine de dimension 3 et si ... conditions supplémentaires ??? ..., alors ces structures euclidiennes sont induites par une structure euclidienne sur l'espace entier" ?
    Ou alors, quoi ?
    Ça me semble diverger de la question de départ du fil.
  • GaBuZoMeu écrivait:
    > Pourrais-tu formuler plus précisément ta
    > question ?

    Je vais essayer, désolé de ne pas être assez clair.

    > Est-ce "Si on a une structure euclidienne sur
    > chaque plan affine d'un espace affine de dimension
    > 3 et si ... conditions supplémentaires ??? ...,
    > alors ces structures euclidiennes sont induites
    > par une structure euclidienne sur l'espace entier"
    > ?

    Comment compares-tu la longueur BC dans le plan ABC avec celle de BC dans le plan BCD sans utiliser le fait que la distance dans l'espace est donnée par la norme d'un vecteur ?

    > Ou alors, quoi ?
    > Ça me semble diverger de la question de départ
    > du fil.

    Il me semblait que justement dans ce cas là, si la distance provient d'une norme, elle provient d'un produit scalaire.
  • Bonsoir.

    Si la distance est une notion première, on définit avec elle la notion de produit scalaire. Si on considère qu'on est à priori dans un espace euclidien, c'est le produit scalaire qui est la notion première et la distance en découle.

    Sauf erreur, la notion de distance dans l'espace est connue (habituelle) en lycée, pas les structures euclidiennes.

    Cordialement.
  • Je suis d'accord Gérard, mon interrogation vient plus de la pertinence de parler de distance.
    En effet, @bulledesavon voulait une preuve dans le chapitre "géométrie non repérée" et je pensais trop bancal de parler de distance dans ce contexte.
    Et quitte à mettre un repère et une distance, autant faire la preuve avec le produit scalaire.
  • Je ne comprends vraiment pas ce que tu racontes, totocov.
    @bulledesavon voulait une preuve dans le chapitre "géométrie non repérée" je pensais trop bancal de parler de distance dans ce contexte.
    Heu... Tu peux préciser ?
    Et quitte à mettre un repère et une distance
    Pourquoi un repère ? Je n'utilise aucun repère dans la démonstration que j'ai (presque) écrite.
  • Totocov,

    je ne comprends pas pourquoi tu parles de repère à propos de la distance. Tu sembles confondre la notion de distance avec celle de norme de vecteur. Les chauffeurs routiers connaissent les distances, ils ignorent (ou ont oublié) les vecteurs.
    Rappel : la distance entre A et B est la longueur du segment [A,B].

    Cordialement.
  • @ totocov.

    Un repère ?
    Pourquoi pas. Pas de problème.


    Le produit scalaire ?
    C'est beaucoup plus problématique. Suivant la façon de l'introduire, tu vas tomber sur un os :
    Démontrer que le produit scalaire est bilinéaire.

    C'était l'objet du fil que j'ai ouvert, où je cherchais une démonstration géométrique de la chose.

    Je considère que la démonstration de GaBuZoMeu répond à ma question.

    Merci GaBuZoMeu.
    T'as droit au bisou baveux.
    Quand et où tu veux.

    amicalement,

    e.v.
  • Pour les nostalgiques de la géométrie de l'ancien monde (300 AC), et sans Pythagore, ni Al Kashi, en notant A' dans la figure de GBZM le symétrique de A par rapport à B, on voit que :

    AC = AC', AD = AD'
    $\triangle$ ACD = $\triangle$ A'CD (trois côtés resp. égaux)
    $\sphericalangle $ ACE = $\sphericalangle $ A'CE
    $\triangle$ ACE = $\triangle$ A'CE (angle compris entre deux côtés, resp. égaux)
    AE = A'E
    BE $\bot $ AB
  • Merci, je vois mieux le problème.
    Le produit scalaire est facile à écrire en fonction de la distance mais ses propriétés ne sont pas aussi évidentes à prouver que je le pensais.
    En revanche, 2 semaines avant de faire le produit scalaire et de passer du côté "moderne" de la géométrie (sans nostalgie GG, on ne fait plus les triangles semblables !), je préfère suivre l'avis officiel du programme.


    P.S. : Gérard0, je n'ai pas le permis poids lourds mais à vélo ça marche aussi !
  • Très bien, GG, l'idée de la symétrie. Ce qu'on utilise est clair : orthogonalité à la mode d'Euclide ("quand une ligne droite fait en tombant sur une ligne droite deux angles égaux ..."), cas d'égalité des triangles. Et pas un poil de produit scalaire. Même pas de Pythagore, la terreur de Christophe C..
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!