Sous-groupes de $\mathbb{H}_{8}$ — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Sous-groupes de $\mathbb{H}_{8}$

Bonjour

Pour déterminer tous les sous-groupes du groupe des quaternions $\mathbb{H}_{8}$, j'ai cherché « à la main » ceux d'ordre 1,2, 4 et 8, à savoir : $\{1\}$, $\{-1,1\}$, $<i>$, $<j>$, $<k>$ et $\mathbb{H}_{8}$. N'y a-t-il pas une manière plus élégante de rédiger ça ?

Merci

Réponses

  • On peut utiliser le fait que $H_8/\{\pm1\}\simeq (\Z/2\Z)^2$ et que le seul élément d'ordre $2$ de $H_8$ est $-1$.
  • D'accord, j'essaie de suivre tes indications.

    L'ensemble des sous-groupes de $H_8$ contenant $\{\pm1\}$ est mis en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de $H_8/\{\pm1\}$ par $H\mapsto\pi(H)$ où $\pi$ désigne la surjection canonique $H_8\longrightarrow H_8/\{\pm1\}$. Vu que $H_8/\{\pm1\}\simeq(\Z/2\Z)^2$ et que les sous-groupes de $(\Z/2\Z)^2$ sont $\{(0,0)\}$, $<(1,0)>$, $<(0,1)>$, $<(1,1)>$ et $(\Z/2\Z)^2$ les sous-groupes de $H_8/\{\pm1\}$ sont $\{\overline{1}\}$, $<\overline{i}>$, $<\overline{j}>$, $<\overline{k}>$ et $H_8/\{\pm1\}$, ce qui nous donne $\{\pm1\}$, $<i>$, $<j>$, $<k>$ et $H_8$. Tout sous-groupe $H$ non trivial de $H_8$ contient un élément d'ordre $2$ et donc $\{\pm1\}\subset H$.

    Edit : correction d'une coquille.
  • Finalement en résumé, voici le treillis des sous-groupes de $\mathbb H_8$.
    À droite la colonne donnant l'ordre des sous-groupes.
    Chaque sous-groupe est donné par son type de sous-groupe, un système de générateurs et quand il est distingué, le type du quotient associé introduit par $\ \scriptsize{\mathrm {q:}}$.
    Le sous-groupe dérivé est souligné.
    Les sous-groupes centraux sont en caractère droits et les traits d'inclusion entre eux sont épaissis.
    Alain65650
    H8.png 11.3K
  • J'en profite pour généraliser ma question vu qu'il y en a qui s'y connaissent bien en théorie des groupes sur ce fil.

    Est-ce un problème difficile de déterminer tous les sous-groupes d'un groupe fini donné ? Y a-t-il des techniques qui fonctionnent systématiquement ou bien faut-il raisonner au cas par cas en faisant preuve d'astuce ?
  • Tu peux lire l'excellent livre d'AD "Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes" chez Calvage & Mounet pour avoir la réponse à ta question ;-)
  • Quelques idées ici, ici (chapitre 3) ou ici.
  • Merci pour vos réponses.

    @Poirot

    Haha, il est bien sûr dans ma liste de livres à acheter, mais les éditions C&M font un peu mal au portefeuille (:D.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!