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N=6^m (base 10)

Quel est le plus petit "m" tel que N commence par 9 ?65586
«1

Réponses

  • Bonjour

    ceci c'est la nuit (tu auras compris que je rêvasse un peu)

    $6^5=7776$ et 7776...plus haut
    5+9=14
    $6^{14}=7836.....$ et 7836...plus haut
    14+9=23
    $6^{23}=7897..........$ et 7897...plus haut
    23+9=32
    $6^{32}=7958...............$ et 7958...plus haut
    32+9=41
    $6^{41}=8020...........$ et 8020...plus haut
    41+9=50
    $6^{50}=8082 ..............$ et 8082 plus haut
    50+9=59
    $6^{59}=8145..............$ et 8145 plus haut

    à cette vitesse des augmentations des plus hauts j'ai le choix entre

    soit aller dormir
    soit changer de méthode
    mais je n'ai pas le temps ni pour l'un, ni pour l'autre
  • sage: 6^176
    90078276385246202645102918820475217309622015212833705033780614505275352569662789031588822572244111398877227429324097608129063079175520256
    
  • Rebonjour

    176=5+9.19

    ça colle
  • Toutes les bases sont 10 (:D
  • Oui, merci, c'est effectivement 6^176

    "Il est remarquable qu'une branche de l'arithmétique permet(te) de répondre à coup sûr à la question :
    - Quel est le chiffre de droite de l'écriture, dans telle base, du résultat de telle opération ?"
    C'est la théorie des congruences. Il est non moins remarquable (mais sans doute moins remarqué) que
    cette même arithmétique ne permet(te) pas de répondre aussi facilement à la question :
    - Quel est le chiffre de gauche de l'écriture, dans telle base, du résultat de telle opération. "
    http://www.apmep.fr/IMG/pdf/BV_330_-_pb.pdf
  • Trouver un entier $N$ tel que $6^N$ commence par cinq $9$.

    PS. Même question avec huit $9$.
  • Bonjour GaBuZoMeu, c'est le pc qui travaille, ou aurais-tu trouvé une formule ?
  • Bonjour
    non
    cette nuit je t'ai répondu
    les autres aussi
    essaye de sentir les gens camarade

    tu saura tout faire sans harceler les gens camarade
  • L'entêtement paie :
    • $6^{293}$ commence par $2$ neuf ;
    • $6^{595}$ commence par $4$ neuf ;
    • $6^{166\,307}$ commence par $5$ neuf ;
    • $6^{830\,345}$ commence par $6$ neuf ;
    • $6^{5\,314\,089}$ commence par $7$ neuf (faute de frappe dans la 1re version) ;
    • pas de d'exposant $n$ tel que $6^n$ commence par $8$ neuf si $n<210\,000\,000$ ;
    • $6^{506\,664\,857}$ commence par $8$ neuf (nous voilà bien avancés !).

    Vérification :
    sage: (506664857*ln(6)/ln(10)-floor(506664857*ln(6)/ln(10))).n(100)
    0.99999999620401488094484579862
    sage: (1+ln(1-10^-8)/ln(10)).n(100)
    0.99999999565705515925275748356
    
    Et ça marche parce que le deuxième est plus petit que le premier.

    Vérification plus rapide :
    sage: 6.^506664857
    9.99999991259421e394261891
    
  • @fluorhydrique , si c'est à moi que tu t'adresses, tes solutions ne sont pas celle demandée dans l'hypothèse.

    @Math Coss https://goo.gl/nMF5cQ , impressionnant !
  • Bonjour
    à qui je parlerai?
    176=5+9.19
  • Pas si impressionnant parce que c'est encore une méthode complètement naïve : tester tous les exposants jusqu'à ce que ça marche. On ne pourra sans doute pas trouver comme ça un exposant $n$ pour lequel $6^n$ commence par 9 neuf (mais GaBuZoMeu avait parié que ça coinçait déjà avec 8).

    Pour tester un exposant $n$, il s'agit de voir si $n\theta-\lfloor n\theta\rfloor$ est assez proche de $1$, où $\theta=\ln(6)/\ln(10)$ (calculé une fois pour toutes). Il faut donc faire une multiplication, une partie entière, une soustraction et une comparaison à un nombre fixé : ça se fait pratiquement en temps constant (j'ai pris 100 chiffres dyadiques, c'est un peu trop). Mais il y a 500 millions de tests...

    NB : Il serait beaucoup plus (trop ?) long de calculer des puissances entières que de manipuler des valeurs approchées. Avec des calculs exacts, il faut constater que $6^{500\,000\,000}$ a plus d'un milliard de chiffres en base $2$, rien que le stocker en mémoire est coûteux.
  • Bonjour

    évidement tu as raison

    mais je répondais à ta question

    a qui je parlais sur ton fil

    mon psy s'alarme là (je vais le rassurer excuse)
  • @Math Cross, merci pour tes explications

    @fluorhydrique, 6^m signifie 6 à la puissance m
    Ainsi 6^2=6² = 6*6 = 36, ou encore 6^5 = 6*6*6*6*6 = 7776 comme tu l'as écrit.
    Mais, par exemple, pour avoir 8 chiffres 9 au début du nombre , le calcul de Math Cross donne bien
    6^506664857 ( soit 6 à la puissance 506664857)
    = 9.999999912594212898348648901456385011912757728893... × 10^394261891
    c'est à dire un nombre gigantesque en cliquant sur "More digits" ici https://goo.gl/nMF5cQ,
    ce qui dépasse d'ailleurs l'affichage Wolfram, car a 394261892 décimales !
  • Bisou
    je m'excuse
    je n'avais pas compris ce topic

    ok donc $6^{176}=6.6... $ bref 176 nombres 6

    bon l'erreur est humaine

    Bisou!
  • Par son premier message fluorhydrique a montré qu'il avait bien compris cela.
    Mais d'où sortent donc toutes ces décimales, s'agissant d'un entier à une puissance entière ?
  • Hum... Que dites vous de $6^{920709683594}$ ?
  • Ah, quand même ! Alors, d'où sort-il celui-ci ?
  • Bah, j'essaie au fur et à mesure ... mais dans une liste assez restreinte qui m'est donnée par Sage :

    1, 5, 293, 595, 166307, 830345, 5314089, 31054189, 863372858, 1845648383,
    84036452760, 920709683594, 2259755982605, 49128222096373,153243224553340 ...
  • Bonsoir,

    Tant que tu y es, GaBuZoMeu, toi qui sais tout faire, peux tu nous donner un équivalent du terme général $u_n$ de ta suite, et pourquoi pas la somme de la série de terme général $\dfrac{1}{u_n}$ ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Je ne sais pas tout faire, loin de là, mais je sais que les fractions continues donnent de chouettes approximations rationnelles. Je pensais que c'était un secret de polichinelle ...
    a=continued_fraction(log(6,10))
    [a.convergent(2*i+1).denominator() for i in range(30)]
    
    donne en Sage
    [1,
     5,
     293,
     595,
     166307,
     830345,
     5314089,
     31054189,
     863372858,
     1845648383,
     84036452760,
     920709683594,
     2259755982605,
     49128222096373,
     153243224553340,
     1023574349777007,
     8599196249779703,
     36290690474119486,
     6059521734828177155,
     12473351178147769467,
     324661438340333421299,
     805416920261759668514,
     195547744228848358853519,
     2215939295620194147117044,
     408708958281419441344466663,
     4106446393242089615692159469,
     13551918324713158905192376009,
     381510162423660810020273856793,
     4311598737941190051196475387468,
     31753226595795342054845808324546]
    
  • Pour info $6^{31753226595795342054845808324546}$ commence par trente-et-un $9$.
  • Varions l'exo : trouver une puissance de $6$ qui commence par $123456789101112$.
  • Bon.
    Chers intervenants, existe-t-il une stratégie "matheuse" qui puisse se passer d'un logiciel ?
    Par exemple pour répondre à la première question (puissance de 6 qui commence par un 9).

    Mais...l'ai-je loupée d'ailleurs dans tous ces échanges numériques ?
  • et (en excluant 0), par exemple
    6^-9 = 9.922903× 10^-8
  • On peut avoir une stratégie matheuse qui utilise un logiciel. Ce n'est pas à opposer. Et un système de calcul formel encapsule des stratégies mathématiques, par ailleurs.

    Sinon, l'article en lien suggère une stratégie reprise par Fluorhydrique que l'on peut suivre à la main, si on a du courage. On calcule les puissance successives de $6$. On constate que $6^9\simeq 1,00777\times 10^7$ et que le plus grand premier chiffre pour les puissances jusqu'à $9$ est obtenu pour $6^5=7776$. On cherche le plus petit $k$ tel que $6^{5+9k}$ commence par $9$.
  • Oui je suis d'accord que ce n'est pas à opposer.
  • La fréquence des solutions devrait suivre la loi de Benford
    log(10, (1+1/d)) = 0.04575749..., pour d=9 (le plus rare)
  • Non, il y a équirépartition.

    Il y a bien équirépartition de la suite des parties fractionnaires $\{n\log6\}$ de $n\log6$ (où le $\log$ est de base $10$). Les puissances qui commencent par le chiffre $c$ correspondent aux entiers $n$ tels que $\{n\log10\}$ appartient à $[\log(c),\log(c+1)]$, qui est de largeur $\log(1+1/c)$. C'est bien la loi de Benford en effet.
  • La répartition suit bien, logiquement, la loi de Newcomb-Benford.
    C'est plus visible en prenant les puissances d'un nombre proche d'une puissance de 10 : 9, 11, 99, 101...
    Logiquement, puisque l'exponentiation et le passage au logarithme sont des fonctions réciproques.
  • Répartition du premier chiffre sur les 3 570 premières puissances de 6 :
    1 077; 624; 450; 342; 284; 238; 210; 180; 165

    3 570 puissances car c'est la fin d'une série de 9 comme premier chiffre (toutes les 9 occurrences, comme l'avait déterminé fluo).
    L'écart à la loi de Benford est de +/- 1,5 % maxi (rapport de la fréquence constatée à la fréquence théorique compris entre 0,985 et 1,015).
  • \[6^{8794569728809527095606440874766}\simeq
    1.2345678910111278140065933568\cdot10^{114473344218840}.\]

    Là, grâce à la remarque de GaBuZoMeu, au contraire de ce calcul, on est avancé !
  • 1) Source du problème http://www.apmep.fr/IMG/pdf/BV_330_-_pb.pdf

    2) "Benford numbers Law applied to Riemann's Zeta function digits" https://goo.gl/4nCttu
    posté par Henk Koppelaar (Prof. Dr. Em. in Computer Science at Delft University of Technology) sur https://www.linkedin.com/groups/4510047
  • Pour élargir un peu la question, peut-on "à la main" trouver une puissance de l'un des 8 premiers entiers strictement supérieurs à 1 très proche d'une puissance de 10 ? Disons, qui commence par six 9 ou par 1 suivi de six zéros ?
    Avec un peu de méthode et de la patience, oui.
  • Est-ce que la main a le droit de taper sur un clavier ? :-D
  • J'ai déjà dit : toutes les bases sont 10. Remplacer donc le titre par : base dix.
  • Personnellement, je l'ai fait à la main. Mais on peut admettre l'utilisation d'une calculatrice, par exemple celle de Windows, et, outre celui des quatre opérations élémentaires, l'usage de la fonction élévation au carré. Dans ce cas, un zeste de chance permet que c'est possible très rapidement.
  • @Chaurien
    Ce n'était pas passé inaperçu, pour ma part, mais je n'ai pas compris pour être franc.
  • Je sais, c'est un peu coupeur-de-cheveux-en-4.
    C'est un phénomène psychologique. Nous sommes tellement habitués à la base dix que lorsque nous sommes en présence d'un nombre entier naturel nous pensons uniquement à son écriture dans la base dix, sauf lorsque se pose justement une question concernant les bases de numération. Et donc lorsque nous voyons « 10 » nous pensons à 9+1 alors que, je le répète, comme chacun sait, toutes les bases sont 10.
    Les entiers de 0 à 9 ont la chance d'avoir chacun un symbole pour le représenter, ça s'appelle des chiffres. Le nombre 9+1 devrait aussi en avoir un, comme $\pi$ ou $e$, quitte à ne l'employer que pour préciser qu'on se place dans cette base 9+1, autrement dit « dix » . En hexadécimal c'est $A$ si je ne me trompe, mais ce n'est pas bien spécifique.
    Il y a bien des années était paru chez Dunod un livre consacré à la promotion du système de numération duodécimal :
    « Douze, notre dix futur » et l'auteur préconisait, si ma mémoire est bonne, un 2 à l'envers pour dix et un 7 à l'envers pour onze.
    Bon c'est juste un peu de blabla.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Ha oui ok,
    C'est l'écriture « 10 » dans le titre qui te gêne. Et tu voudrais voir écrit cela « dix ».
    C'est très vrai.

    J'avais eu cette réflexion en maîtrise, justement sur ces considérations. La leçon du jour portait sur ces questions de bases.
    Le pire, c'est que j'étais le seul à scander que les énoncés d'exercices utilisait l'écriture en base 10 dix tacitement, et qu'il fallait par souci de rigueur au moins le dire.
    À l'oral c'est assez merdique d'ailleurs.
    Je me souviens d'une phrase "célèbre" parmi les miens (en Deug 1), dans un amphi, où le prof avait calmé une majorité de l'auditoire.
    C'était pourtant pas grand chose, mais il l'avait dit assez vite pour surprendre les plus assidus.

    Professeur d'informatique : « Dix en base deux c'est deux en base dix ! »
  • @Chaurien : pourrais-tu donner le titre du livre en question ?
  • Oui c'est bien ce livre. Je l'ai acheté il y a plus de cinquante ans mais je ne le retrouve plus.dans mon bazar : j'ai dû le reléguer en raison de son moindre intérêt. Pour autant qu'il m'en souvienne, c'était une description systématique de l'utilisation possible du système duodécimal, et souhaitable selon l'auteur,, avec les deux chiffres supplémentaires que j'ai évoqués. Il imaginait même des « doigts-à-compter » qu'on fixerait sur les menottes de nos petits afin qu'ils puissent compter sur les doigts en suppléant à l'insuffisance de la nature qui nous conduit à la base dix.
    On doit aussi àJean Essig : La Duodécimalité : chimère ou vérité future ?, Les Conférences du Palais de la découverte. Série A. N° 224, 15 décembre 1956, Université de Paris.
    Je crois me rappeler qu'il n'était pas un mathématicien mais un haut fonctionnaire Son fils Philippe Essig a eu une brillante carrière.
    Je persiste à penser que nous aurions besoin d'un symbole universel comme $\pi$ ou $e$ pour désigner ce nombre dix = 9+1. On pourrait l'appeler $X$ par révérence envers nos ancêtres Romains. Qu'en dites-vous ?
    Bonne journée. Vivement l'été, le bel été, le vrai été.
    Fr. Ch.
  • Mais alors $\Q[X]=\Q$, c'est troublant. Et $\Z[X,X^{-1}]$, c'est les décimaux ou les polynômes de Laurent ?

    Qu'est-ce qui est plus facile ? Imposer «$X=10$» ou $\tau=2\pi$ ?
  • @Chaurien, bonjour, ce n'est pas forcément accepté dans votre Charte, mais ce serait dommage de passer à côté, car ce n’est pas banal concernant la source.65710
  • Si je demande l'élection d'un symbole spécifique pour représenter le cardinal dix, ce n'est pas pour faire comme Jean Essig la promotion de la base douze ou de toute autre, c'est juste pour éviter les confusions comme celle que j'ai signalée, quand on écrit « en base 10 ».

    Le symbole $X$ pour dix n'est en effet pas une bonne idée, mais je suis étonné que personne ne pense à cette question. On doit donc désigner ce nombre dix par $9+1$ ou $2 \times 5$, c'est bien triste. Au fond le 2 renversé de Jean Essig pouvait être une bonne idée, mais comment l'écrire ici ? Je ne sais.

    Bonne journée.

    Fr. Ch.
  • Pa contre je n'ai pas bien compris ce mot croisé, sinon que j'y vois plusieurs fois douze : d'où vient-il ?
  • J'ai trouvé la provenance de ce mot croisé, « La Jaune et la Rouge » No 482, février 1993, mais non sa solution. Peut-être le numéro d'après ?
  • Oui, les anciennes revues de « La Jaune et la Rouge » sont téléchargeables à partir de la page d'accueil. Voici les liens
    Mots croisés - page 61 https://goo.gl/FUUtmt
    Solution – page 55 https://goo.gl/4dEVuv , avec mention de l’horizontal
    « VII - A été par douze, mais je l'ai maltraité. » -> Esgsi ( Jean Essig était polytechnicien )
    Il y a la préface de son livre page 36 https://goo.gl/fGXMha
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