Les groupes sont partout — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Les groupes sont partout

Bonjour à tous,

J'aimerais dédier un fil à l'apparition des groupes dans la résolution de problèmes qui n'ont a priori rien à voir avec la théorie des groupes. Lister ce genre de problèmes me semble intéressant puisque c'est ce qui a motivé initialement l'étude des groupes. Et puis c'est amusant :-) Autrement dit :

Quelle est votre application favorite de la théorie des groupes ?

Pour ma part, j'aime beaucoup le groupe de Conway dans les problèmes de pavages de grilles par des dominos. (Voir par exemple Van Kampen diagrams: an application tiling problems.) Bien sûr, il y a aussi l'utilisation des groupes en théorie de Galois, pour déterminer si une équation polynomiale est résoluble par radicaux, et puis le groupe fondamental et les groupes d'homologie ou de cohomologie, qui sont de formidables invariants topologiques, permettant de distinguer certains espaces topologiques.

Avez-vous d'autres exemples ?

Réponses

  • Bonjour,

    J'avais trouvé surprenante la réponse à : existe-t-il une puissance de 2 dont l'écriture décimale commence par les chiffres $25062017$?
  • Les groupes de monodromie, même si je n'y connais pas grand-chose, m'ont l'air très intéressants et leur apparition dans l'étude d'équation différentielle me paraît surprenante !

    Sinon tout simplement le fait que les groupes régissent la quasi-totalité de la géométrie classique (et même moins classique).
  • Avec la géométrie, on doit pouvoir trouver des choses et aussi avec des problèmes de dénombrement.
  • Le groupe des transformations de Lorentz en relativité restreinte. Poincaré l'avait bien relevé dans sa communication aux CRAS de l'Académie des Sciences.
  • Plus modestement, j'aime bien le résultat qui dit qu'un ensemble de complexes non nuls, multiplicativement stable, à $n$ éléments, $ n \geq 2$, est le groupe des racines $n$-èmes de l'unité.
    Bonne et courtoise journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien, merci pour ce résultat. Je ne me souviens pas l'avoir vu dans un bouquin mais c'est vrai que je ne me suis jamais arrêté sur ce chapitre de début de L1/Sup.
    En conséquence, as-tu une référence si ça n'est pas un classique parmi les classiques (penser à ceux qui prépare(ro)nt l'agreg par exemple ;-)) ?
  • Un extrait de wiki, "racine d'un nombre" :
    "Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1"
  • @Chaurien : pourquoi $n\geq 2$ ? $n=1$ va bien.
  • @ Dom : pour le couplage groupe-dénombrement, tu as le lemme de Cauchy-Frobenius-Burnside qui conduit au théorème de dénombrement de Polya.
  • En poussant un peu, on devrait pouvoir accepter n nul, non ?
  • @curiosity : c'est un classique parmi les classiques !
  • La notion de groupe intervient dans la définition d'une forme modulaire.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_modulaire
  • @ Seirios.

    La densité de la suite \( (\sin n)_n \) dans \( [~-1~,~1~] \).

    La surjectivité de \( t \longmapsto \exp(it) \) sur le disque unité.

    La table des matière de Caldero-Germoni - Histoires hédonistes de groupes et de géométries...

    amicalement,

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • La résolution du jeu de taquin fait intervenir la signature des permutations associées aux mouvements.
  • La construction du polygone à n cotés à la règle et au compas est un problème partant de considération purement géométrique. Ça résolution classique utilise la théorie des groupes.
  • @ GaBu

    Je ne vois pas pourquoi : 1 élément neutre et -1 élément (qui serait bien sûr son propre inverse) ça nous fait la rue Michel, non ?

    amicalement,

    e.v.

    [ Des nouvelles de Ours ? ]
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Merci GaBuZoMeu.
    Oui, ne pas confondre ensemble vide et groupe trivial, comme je l'ai fait !
    Amicalement.
  • @GBZM
    En effet, le cas d'une partie stable à un élément ne m'avait pas échappé, mais je n'éprouve pas d'intérêt pour les racines unièmes de l'unité, non plus que pour l'ensemble vide. Comme dit Rose l'héroïne de Titanic, les hommes accordent de l'importance à la taille ;-).
    Bien cordialement,
    Fr. Ch.
  • @ MrJ
    « Ça résolution classique » Ça quoi veut dire ?
  • mais je n'éprouve pas d'intérêt pour les racines unièmes de l'unité, non plus que pour l'ensemble vide
    En fait, ça t'obnubile tellement que tu prends grand soin de l'éviter, même quand il n'y a absolument aucune raison de le faire (comme les gens qui prennent grand soin de préciser qu'un espace vectoriel non réduit à $\{0\}$ admet une base). :-D
  • Poirot, merci, je n'ai pas eu la chance de voir ce résultat dans les leçons d'agreg sur les groupes à Lille... J'irai jeter un œil dans ma bibliothèque préférée dès que j'aurai une minute (même si je ne m'attends pas à un développement en puissance !).
  • Les groupes sont aussi , même si on ne les voit pas.
  • Est-ce que ce sont vraiment les groupes le fondement de cette hégémonie ou les monoïdes associatifs, qui sont encore plus "partout" que les groupes?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @ curiosity
    Pas besoin de référence, ça se fait à la main. Soit $G$ une partie multiplicativement stable de $\C^*$ comportant $n$ éléments, $n\geq 2$.
    L'important n'est pas ce $n$ donné, l'important est que $G$ est fini.
    Cette finitude implique que pour tout $z \in G$, il existe $k \in \N^*$ et $h \in \N^*$ tels que $h>k$ et $z^k=z^h$.
    On en déduit que pour tout $z \in G$, il existe $q \in \N^*$ tel que $z^q=1$ ($q=h-k$).
    Il en résulte d'abord : $1\in G$.
    Et de plus :
    - si $q\geq 2$ alors $z^{-1}=z^{q-1} \in G$.
    - si $q=1$ alors $z^{-1}=z=1 \in G$.
    Ce qui prouve que $G$ est un groupe multiplicatif.
    Et ici on se souvient que ce groupe $G$ a $n$ éléments et d'après le théorème de Lagrange, on a $z^n=1$ pour tout $z \in G$. Etc.
    Mais si l'on est dans les nombreuses filières de prépas où malheureusement le mot « groupe » est absent du programme, on peut s'en sortir tout de même...
    Bonne après-midi.
    FR. Ch.
  • @ Chaurien
    Je voulais dire en passant par la théorie de Galois. Je disais "classique" parce qu'il existe peut-être d'autres démonstrations que je ne connais pas.
  • Tout le monde aura bien sûr remarqué que l'hypothèse $n\geq 2$ ne sert absolument nulle part. La seule chose qui sert, c'est $n>0$.
    Le seul mystère, c'est la raison de l'obstination de Chaurien à s'accrocher à cette hypothèse inutile.
  • @ GBZM
    C'est juste pour t'agacer.;-). Et ça marche.
    Allez, sans rancune.
    Fr. Ch.
  • Chaurien : merci pour les détails. En ce qui concerne le niveau, pas d'inquiétude avec l'agreg, c'est le candidat qui le fixe...
  • @MrJ
    ``Par la théorie de Galois'' ?
    Y'a un gugusse de nom Gauss, qui a publié en 1801, dans son chapitre VII de ses Disquisitiones arithmeticae, un résultat sur la construction à la règle et au compas du polygone régulier à $n$ côtés. Galois n'était pas encore né (1811 - 1832). Wantzel achévera la chose (réciproque) en 1837.

    Peut-être que de nos jours, dans l'enseignement, on a tendance à faire croire que ``sans théorie de Galois'', on ne peut pas traiter ce problème. Je dis bien ``peut-être''.
  • @ claude quitté

    Je ne comprends pas ta réaction...
    J'ai écris que "la démonstration classique utilise la théorie de Galois".
    Je n'ai jamais parlé de la démonstration historique de Gauss (que je n'ai jamais lu) dans mes messages.

    J'ai même précisé "parce qu'il existe peut-être d'autres démonstrations que je ne connais pas."
  • Les groupes sur les trucs elliptiques (qui n'ont pas des tronches d'ellipses) pour factoriser des nombres, cela m'a bien scotché. Je sais pas bien comment ça marche, mais de savoir que ça existe, je trouve ça zouli.

    S
  • Sur le forum, dans le passé alors que je racontais qu'on en faisait trop à propos de Galois, je me suis pris des tonnes et des tonnes de tomates lancées violemment :-D
    <<bin quoi, tu sais pas que c'est l'inventeur des groupes, pff>>

    Je n'ai pas oublié. Je suis parti tout honteux et la queue entre les jambes, mais au moins je me rappellerai de cette "info"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Merci à tous pour vos réponses. Je profite de quelques instants de libres pour demander quelques précisions :
    Cidrolin a écrit:
    J'avais trouvé surprenante la réponse à : existe-t-il une puissance de 2 dont l'écriture décimale commence par les chiffres $25062017$?

    Quelques indications pour ceux qui n'ont pas trop le temps de chercher :-D ?
    Poirot a écrit:
    Les groupes de monodromie, même si je n'y connais pas grand-chose, m'ont l'air très intéressants et leur apparition dans l'étude d'équation différentielle me paraît surprenante !

    Effectivement, je ne connaissais pas. Une référence sous la main ?
  • @Seirios: j'irais voir du côté des chinois et de la structure du groupe des inversibles de Z/nZ (voir Perrin par exemple)

    Edit : j'ai mal lu l'énoncé; j'ai lu se termine pour commence mais même là c'est une grosse c...ie
  • @Seirios : je ne connais pas de référence précise. J'ai juste lu des choses dessus par-ci par-là. Il y a un très bon article de vulgarisation écrit par Julien Roques dans le numéro 152 de la Gazette (Avril 2017) intitulé "Raconte-moi... la théorie de Galois différentielle".
  • Une petite vidéo (je n'ai pas regardé) ... mais ça fait un peu de pub pour le bicentenaire de Galois ... y'a également (dans la série de vidéo) une vidéo de Serre parlant de Gauss et "sa" descendance !
  • En prenant les logarithmes décimaux, modulo l'irrationnalité de \( \log_{10}(2) \) le groupe \( \Z + \log_{10}(2) \Z \) est dense dans \( \R \). ça me parait un bon début, non ?

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Merci ev. This will make rue Michel.
  • Tu es le bienvenu, dear Eddie.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • bonjour
    mais je n'éprouve pas d'intérêt pour les racines unièmes de l'unité,

    multiplication fft (fast fourier transformation)
  • Les homographies $f: z \mapsto 2-z$ et $g: z \mapsto 2/z$ du plan
    d'Argand-Cauchy engendrent un groupe d'homographies $D_4$.
    En les appliquant à une ellipse particulière on obtient65110
  • Et en les appliquant à une autre ellipse non moins particulière?
  • On peut avoir ça (pour quelle ellipse particulière ?65116
  • $\mathscr{C}(1,1)$.
  • C'est un Mexicain à bicyclette vu de haut ?
  • Y manque un rond.
  • @GBZM
    Comme Math Coss
    $x^y+y^2=2x$
  • Oui.
    De manière générique, on a deux ellipses et six quartiques rationnelles. Si on part d'un cercle, huit cercles-ou-droites.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!