"il est facile de" la preuve : - Page 21 — Les-maths.net

"il est facile de" la preuve :

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Réponses

  • @PE: menfin PE, Tychonoff te donne la compacité des parties de $E:=[0,1]^{[0,1]}$ qui t'intéressent ($E$ étant doté de la topologie de la convergence simple). La seule chose que tu n'as pas et que tu dois établir à la main (quand c'est prouvable), c'est l'existence d'une suite extraite***. Mais la compacité a fait 99.9% du taf, le reste est un exo <<d'étudiant de L2>> (en théorie), puisque ne comporte que de la rédaction.

    La convexité est une condition "fermée" en ce sens que les éléments de $E$ qui sont convexes forment un ensemble fermé (il suffit de 3 points de la courbe pour attester d'une non convexité)

    *** si c'est métrisable, c'est académiquement admis car classique et prouvé depuis longtemps et sinon, c'est de l'artisanat (ou à la rigueur Ascoli quand on espère une convergence uniforme**** ce qui semble raisonnable avec des convexes, flemme de vérifier). Mais je n'en parle que parce que TU DEMANDES TOI des suites extraites (sans qu'il soit bien clair que tu l'aies fait exprès, je soupçonne, pardonne-moi si je me trompe, que tu cherchais la compacité et a "trouvé les suites extraites" incidemment)

    **** et à nouveau la convergence uniforme***** ramène la métrisabilité par la fenêtre si elle était sortie par la porte, donc "donne gratuitement" une suite extraite.

    ***** $d(f,g):=sup_x (d(f(x),g(x)))$
  • Désolé, il y avait des coquilles qui empêchaient peut-être ta compréhension. Je les ai corrigées.
    N'hésite pas à demander des explications s'il reste des points que tu ne comprends pas. J'ai supposé que tu connaissais les formules de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires, ai-je eu tort ?
  • @pourexemple : Je ne comprends pas vraiment ton comportement... Je ne réponds pas pour prouver à toi, à moi ou à quelqu'un d'autre que je sais résoudre ton problème. Je réponds en général parce que ça m’intéresse, que je pense que ça intéresse quelqu'un d'autre ou que je pense que ça peut aider. Si tu as des questions, si tu ne comprends pas ma démonstration même après avoir fait des efforts je veux bien essayer de reformuler. Mais en général tu n'apportes rien à la discussion à part des "pas convaincu" et un "bravo" si jamais la démonstration convient à monsieur. Cela ne m'amuse pas de jouer à ce genre de jeu et je me fiche que ma rédaction convienne à tes standards ou non, je vais donc arrêter de répondre à ce fil.

    Mais bon, pour être honnête tu apportes les questions que tu inventes à la discussion et je dois avouer que je les trouve en général assez divertissantes, même si (comme je te l'ai déjà dit) je ne suis pas fan de ta philosophie de créer un énoncé pour "camoufler l'astuce".

    @CC : attention quand même, $[0;1]^{\mathbf R}$ n'est pas séquentiellement compact donc gare...


    EDIT : le fil dans lequel j'ai originellement posté ce message a été fusionné avec un autre, est-ce que je peux toujours poster ici sans me parjurer ? 8-)
  • GaBuZoMeu a écrit:
    J'ai supposé que tu connaissais les formules de Cramer pour la résolution des systèmes linéaires, ai-je eu tort ?
    Oui, je pense que je connais.
    Qui peut le plus, peut le moins, non ?
    Pourrais-tu faire marcher ta "recette" pour k=2 et k=3, en me disant la formule explicite que tu obtiens ?

    Merci.
  • @Mojojojo : je t'avoue ne pas comprendre ton explication, et même pire ne pas savoir ce que je n'y ai pas compris, je ne me l'explique pas...

    Bon aller je vous ai assez bassiné avec le bijou, le voilà donc :

    Soit $I$ un ensemble, avec $(f_i)$ une famille de fonctions convexes, tel que $\forall x \in \R, \exists M \in \R, \forall i \in I, f_i(x)\leq M$.
    Alors $F(x)=\text{Sup}\{f_i(x)|i\in I\}$ est une fonction convexe.


    Si vous n'appréciez pas les encouragements (les bravo), pour ma part j'en ai besoin pour évaluer la pertinence de tel ou tel résultat, donc si vous pensez également que ce résultat est un bijou dîtes le. Merci.
  • De mon téléphone : je croyais que le bijou était ton truc d'avant :-D. Je veux bien t'applaudir pour avoir rappelé qu' une intersection de convexes est convexe mais est-ce que ça va vraiment t'encourager?
  • Salut,

    Et alors, on peut nommer un même résultat de plusieurs manières différentes (plus ou moins commode à utiliser), qui reste synonyme.
    Et à la fin il ne reste que des évidences...

    Au revoir.
  • Salut
    Soit I un ensemble, avec $(f_i)_{i\in I}$ un famille de fonctions réelles continues sur $[0,1]$, avec $(f_i)$ simplement majorée.
    A-t-on $F(x)=\text{Sup}\{f_i(x)|i\in I\}$ continue ?
    Cordialement.

    [Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
  • J'ai du mal à comprendre où tu veux en venir. Tu multiplies les annonces tonitruantes dans la plupart des fils que tu écris, mets des liens, etc. Quel plaisir trouves-tu à ce, comment dire, "manque de sobriété", et si ce n'est du plaisir quel but poursuis-tu.

    Très franchement, je n'en ai parlé avec personne, rassure-toi, mais je pense que tu augmentes essentiellement le risque "d'agacer" la modération**, peut-être un peu le public (je ne dis pas que c'est juste ou moral, je partage juste une intuition): ça, c'est ce que tu perds; que gagnes-tu en échange?

    Concernant le fait qu'une intersection de convexes est convexe, c'est une "réalité vide", puisqu'il s'agit d'une distribution de quantificateurs:

    $$( \forall C\in X: [\forall a\in Y: (a\subset C\to \phi(a)\subset C)] ) \to ( \forall a\in Y: [(\forall C\in X: a\subset C)\to (\forall C\in X: ( \phi(a)\subset C))] ) $$

    ** qui doit "travailler plus" pour parcourir tes "annonces".
  • Ne peux-tu pas répondre toi-même à cette question triviale d'étudiant? Pourquoi choisis-tu "bijou" comme titre? :-S
  • Cher Mr le propriétaire,

    Qu'est-ce que tu me reproches, en fait ?
    Soit le plus concis et claire possible : merci.
  • Même si ça peut le paraitre, ce ne sont pas des reproches mais plutôt des conseils de forme, je me connecte un peu moins ces temps-ci, ça ne me dérange pas de découvrir plein de posts avec des "annonces tonitruantes" et quand on les ouvre, on découvre qu'il "n'y a rien" de spécial.

    Par contre, à chaque fois, je ressens un gêne pour toi, mais j'ai du mal à trouver les mots pour te la décrire. Comment dire, tu montres "beaucoup de toi" et de tes "anxiétés" (ce n'est peut-être pas le bon mot) avec ces formes de rédaction que tu choisis (toujours superlatives, excessives, tonitruantes, un peu "égo-centrées" aussi). Ce n'est pas tant le geste que sa répétition, sa fréquence. Une annonce, une fois, même tonitruante, que tous les multiples de 5 plus grands que 10 sont des nombres non premiers ne serait pas grave, mais tu sembles ouvrir tout plein de fils et répéter cette démarche.

    Par ailleurs, ceci ne vient pas seul: ton orthographe, ton manque fréquent de précision, ton côté "je ne réfléchis pas, je poste vite fait à l'arrache, je ne comprends pas dès que ça devient quantifié un peu subtilement, etc" font que c'est vachetement zarbi quand c'est juxtaposé avec l'emphase qui se dégage d'annonces tonitruantes (qui supposerait au moins que la personne ait pris de grands soin avant d'abattre ses "cartes en or pour espérer impressionner").

    Voilà, j'ai fait de mon mieux pour te communiquer mon ressenti, purement subjectif et "émotionnel"
  • Je te propose la chose suivante : pour mes annonces "tonitruantes", je les réserverais à ce fil.

    Je cherche à comprendre en me montrant utile.

    Voilà, cela te convient-il ?
  • Tu peux en lisant attentivement ce que j'ai écrit produire toi-même les formules que tu demandes. Ma réponse est entièrement explicite pour produire les coefficients de la relation de récurrence et tu peux appliquer ce qui est écrit puisque tu connais les formules de Cramer. Une fois qu'on a ces coefficients, tu es bien d'accord que fabriquer des formules pour exprimer $P_{w,2n+1}(x)$ en fonction des $P_{w,k}(x)$ où $0\leq k \leq 2n-1$ (remarque que $P_{w,0}$ ne dépend pas de $x$) est une routine qui ne demande que de savoir calculer.
    Les connaissances mathématiques nécessaires pour comprendre ce que j'écris se limitent à savoir développer $\dfrac1{1-x_iT}$ en série de $T$ et à connaître le déterminant de Vandermonde. Je pense que tu sais ça.
    Je pense aussi que ce qui t'intéresse, ce n'est pas les formules explicites mais le moyen d'y parvenir, non ?

    De mon côté, je suis intéressé par ta propre réponse à la question que tu as posée (la question générale bien entendu, pas juste un cas particulier en petite dimension). Si tu fais l'effort de la donner, alors je produirai les formules que tu demandes pour les cas $n=2$ et $n=3$ (bien que, je répète, tu as vraiment tout ce qu'il faut pour le faire toi-même).
  • Bonjour.
    En lisant ce thème, le résultat annoncé est donc: une fonction convexe différentiable est de classe C1
    J'ai eu la chance de découvrir à ce sujet, un résultat quantitatif plus général non publié hélas (voir pièce jointe)
  • Salut,

    énoncé 193 : l'inégalité tonitruante ?
    Soit $f,g$ deux fonctions positives réels convexes et croissantes sur $[0,1]$.
    A-t-on $$\int_0^1 f(x) \times g(x) \text{d}x\geq (\int_0^1 f(x) \text{d}x)\times (\int_0^1 g(x)\text{d}x) $$ ?

    Cordialement.
  • GaBuZoMeu a écrit:
    Si tu fais l'effort de la donner, alors je produirai les formules que tu demandes pour les cas n=2 et n=3 (bien que, je répète, tu as vraiment tout ce qu'il faut pour le faire toi-même).
    Cela me semble honnête, alors marcher conclu, laisse moi le temps de rédiger cela.
  • @CC j'aime bien ton français soutenu devant un PC :-)
  • <<marché conclu>>
  • C'est terrifiant, en fait je me rends compte que je ne suis motivé que lorsqu'il s'agit de contredire....et aussi d'interagir

    Bon, il faut vraiment que je fasse un travail sur moi...

    Je te mets quand même les ingrédients :

    1/ Soit $P\in \R[X]$ tel que $\text{degré}(P)\leq 2k$, alors on peut calculer $\sum P(a_i)=U_P(a)$

    2/ Il existe un unique polynôme $P$ unitaire de la forme : $P(X)=\prod (X-x_i)^2$, de degré $2k$, pour lequel $U_P(a)=0$, tel que $\{x_i|i=1...k\}=\{a_i|i=1...k\}$

    3/ On différentie les $a_i$, en effet, en prenant $P$ qui vaut $0$ par tout sauf en un $x_i$ où il vaut 1, alors on obtient $2^{j}$ qui nous renseigne que cela correspond à $a_{j+1}$.

    Voilà, je peux développer à la demande.

    édit : cf partie en gras.
  • J'ai fait l'effort d'écrire quelque chose de précis, complet et explicite qui répond à ta question (et même un peu plus). J'apprécierais que tu fasse le même effort. On en est loin.

    pourexemple écrivait:

    > 1/ Soit $P\in \R[X]$ tel que $\text{degré}(P)\leq 2k$, alors on peut calculer
    > $\sum P(a_i)=U_P(a)$
    Qui sont $a$ et les $a_i$ ? $a=(a_1,\ldots,a_k)$ est n'importe quel $k$-uple ? Il s'agit d'une définition ? Tu poses $U_P(a)=\sum_{i=1}^k P(a_i)$ ?

    > 2/ Il existe un unique polynôme $P$ unitaire de la forme : $P(X)=\prod (X-x_i)^2$, de
    > degré $2k$, pour lequel $U_P(a)=0$, tel que $\{x_i|i=1...k\}=\{a_i|i=1...k\}$

    Qu'est-ce que ça veut dire ? Ça me paraît bien emberlificoté pour dire $P=\prod_{i=1}^k (X-a_i)^2$. Tu voulais dire autre chose ? Mais quoi ?

    > 3/ On différentie les $a_i$, en effet, en prenant $P$ qui vaut $0$ par tout sauf en un $x_i$
    > où il vaut 1, alors on obtient $2^{j}$ qui nous renseigne que cela correspond à $a_{j+1}$.

    Alors là, je n'arrive pas à donner le moindre sens à ça.

    PS. Apparemment la modération a décidé de mettre tous les fils de pourexemple dans une grande poubelle. J'essayais de donner au moins un peu de sens à ce fil sur les sommes de puissances à poids et d'y expliquer des choses. Mais là, ça ne vaut plus la peine d'essayer.
    PPS. Si c'est pour procéder ainsi, autant bannir carrément et définitivement pourexemple. Comme ça, personne ne prendra du temps pour essayer de répondre des choses sensées.
    PPPS J'apprends que c'est Pourexemple qui a insisté pour que tous les fils qu'il a initiés soient mélangés dans ce gloubi-boulga sans queue ni tête. Grand bien lui fasse ! Moi, je sors.
  • Salut,

    Casses-têtes niveaux agreg :

    -182,183 : entiers homonymes et synonymes.
    -184 : suites convergentes convexes
    -185 : les fonctions holdériennes
    -186 : l'égalité impossible ?
    -187 : produit en série
    -190 : étrange ou archi-classique
    -192 : le bijou caché de la convexité ?
    -193 : l'inégalité tonitruante ?
    -194 : un nouveau bijou ?
    -195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de $
    -196 : polynômes divertissants
    -197 : propriété fonction multiplicative.


    Les incontournables : ici.


    Cordialement.
  • Au final je n'ai toujours pas compris quel est le lien entre le fait que le suprémum de fonctions convexes est convexe avec ce que tu demandais de montrer. Je ne sais pas si je qualifierai ça de « bijou » parce que c'est quand même assez classique (l'intersection de convexes est convexes), mais c'est vrai que c'est une jolie propriété.

    Je détaille ma preuve. On se réduit premièrement à des fonctions à valeur dans $[-1,1]$ en divisant par le majorant en chaque point. On a $[-1,1]^\R$ qui est compact et les fonctions convexes (*) forment un sous-espace fermé (comme dit par Christophe), donc compact. On a une injection continue vers $[-1,1]^\Q$ qui est $T_2$ (séparé) car produit d'espaces $T_2$. Toute injection continue d'un compact vers un $T_2$ est un homéomorphisme avec son image qui est fermée (les images des fermés sont des compacts, donc fermés). Mais $[-1,1]^\Q$ est séquentiellement compact en tant que produit dénombrable d'espaces séquentiellement compacts (argument diagonal). Un sous-espace fermé d'un espace séquentiellement compact est séquentiellement compact, ça termine la preuve.

    (*) Quand je dis « fonction convexe dans $[-1,1]^\R$ », je veux dire qu'une fois multipliée par le majorant, on trouve une fonction convexe (on avait divisé pour se ramener entre $-1$ et $1$).

    C'est un peu de l'« abstract nonsense » topologique je trouve, je ne visualise rien à ce qu'il se passe concrètement (mais ce serait faisable en prenant le temps de déplier les définitions).

    On n'a pas besoin de pouvoir étendre toute fonction convexe de $\Q$ dans $\R$ en une fonction convexe de $\R$ dans $\R$.
  • Pour l'énoncé 193, voici une solution.

    On commence par se ramener au cas où $f(0) = g(0) = 0$. On peut faire ça par bilinéarité et car l'inégalité est vérifiée lorsque $f$ ou $g$ est constante.

    On a alors $\int_{[0,1]^2} f(x) g(y) \mathrm{d} (x,y) = \int_0^1 ( f(x) \int_0^x g(y) dy + g(x) \int_0^x f(y) dy ) dx$. Mais $\int_0^x f(y) dy \leq x f(x)/2 \leq f(x)/2$ par convexité (tracer la ligne joignant $(x,f(x))$ à $(0,0) = (0,f(0))$). On obtient alors le majorant voulu $\int_0^1 f(x) g(x)/2 + g(x) f(x)/2 dx = \int_0^1 f(x) g(x) dx$.

    Pourrais-tu indiquer comment tu as obtenu cette question ?
  • Bonjour,
    énoncé 186 : l'égalité impossible?
    Soit $p=2q+1$ avec $q$ impair et $p$ premier.
    A-t-on $\sum\limits_{i=0}^q b^{i^2} \mod
    p=-\sum\limits_{i=0}^q b^{-i^2} \mod p$, $b$ un générateur de $(\Z/p\Z)^*$ ?

    Si $p=3$, sauf erreur, l'égalité a bien lieu.
    Cordialement
    Paul
  • Pour le 193, on obtient en fait même le majorant $\int_0^1 x f(x) g(x) dx$.
  • depasse écrivait:
    >Rebonjour,
    énoncé 186 : l'égalité
    impossible?

    Soit $p=2q+1$ avec $q$ impair et $p$ premier.
    A-t-on $\sum\limits_{i=0}^q b^{i^2} \mod
    p=-\sum\limits_{i=0}^q b^{-i^2} \mod p$, $b$ un
    générateur de $(\Z/p\Z)^*$ ?

    Tu m'as bien eu, canaille de pourexemple ;-)
    Ton égalité est toujours vraie puisque ses deux membres sont toujours nuls!

    Cordialement
    Paul
  • Salut,

    @Depasse : Effectivement.

    @Champollion : une fonction linéaire sur $\R$ vu comme un $\Q$-ev n'est pas forcément continue, mais est convexe sur $\Q$, de plus une fonction convexe sur $\R$ est forcément continue sur $\R$.

    Pour ce qui est de ta question la recette est ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1401574#msg-1401574

    Et oui, effectivement, on peut même montrer que $$\int_0^1 x\times f(x) \times g(x) \text{d}x\geq (\int_0^1 f(x) \text{d}x)\times (\int_0^1 g(x) \text{d}x)$$

    Mais seulement si $f(0)=g(0)=0$

    Cordialement.
  • @pourexemple
    Je parlais de prolonger une fonction convexe sur $\Q$ à $\R$ par continuité. Oui, il peut y avoir des prolongements non continus.

    Ah oui, je n'avais pas pris en compte qu'on n'a pas forcément $f(0)=g(0)=0$.
  • Salut,

    @Champollion : une fonction convexe sur $\Q$ n'est pas forcément prolongeable par continuité, ou alors il faudrait dire pourquoi.
    J'ajoute (pour l'inégalité) que tu ne sembles pas te servir du fait que $f,g$ croissante, alors que sans cela l'inégalité n'est pas vrai.

    Cordialement.
  • Je me sers de la positivité dans $x f(x) / 2 \leq f(x)/2$. Je ne l'avais pas remarqué et ne l'avais donc pas noté.

    Pour la fonction convexe prolongeable, c'est vrai que j'ai eu la flemme de faire les détails et noter, je n'étais même pas sûr que ce soit vrai. Pour chaque point irrationnel $x$, on constitue la suite de points indexée par $\Q$ muni de la topologie au voisinage de $x$ (les voisinages de l'infini sont les voisinages de $x$ restreints à $\Q$). Alors cette suite doit être de Cauchy car sinon la contrainte due à la convexité exploserait d'un côté ou de l'autre de $x$. Plus précisément, pour tout $\varepsilon > 0$, il doit exister un voisinage de $x$ sur lequel la fonction est contrainte dans une boule de rayon $\varepsilon$. On obtient que la suite converge. La fonction est donc prolongeable par continuité en tout irrationnel.

    Ensuite, c'est une propriété générale des espaces topologiques qui ont des bases de voisinages fermés : si une fonction à valeur dans un tel espace se prolonge par continuité point par point, alors elle se prolonge par continuité partout. On obtient que la fonction se prolonge par continuité. La fonction prolongée est encore convexe car si elle n'est pas convexe, alors on trouve trois points l'attestant et en les perturbant un peu on trouve trois points attestant de la non convexité de la fonction d'origine.
  • La croissance est utilisée lorsqu'on se ramène à $f(0) = 0$ : il ne faut pas que la fonction devienne négative.

    Edit : Par contre, le majorant $\int_0^1 x f(x) g(x) \mathrm{d}x$ est valable juste avec $f$ et $g$ convexes.
  • 1/Prends par exemple f(x)=g(x)=|x-1/2|

    2/On suppose déjà que, f,g positives (sans cela ce n'est pas forcément vrai).
  • 1) Il faut que $f(0) = g(0) = 0$ pour qu'on ait le majorant $\int_0^1 x f(x) g(x) \mathrm{d}x$ (c'est toi qui l'a fait remarquer). Par contre dans ce cas il suffit de la convexité, pas besoin de positivité ni de croissance.

    2) Je n'ai pas compris à quoi tu réponds.
  • 2/Je répondais à ce même message, dans lequel tu dis te servir de la croissance pour obtenir la positivité (alors qu'elle est vrai par hypothèse)...

    1/Prends $f(x)=g(x)=x^{0.2}(x-1/2)$
  • @Siméon : merci, ou comment ré-inventer le fil à couper le beurre... :-D
  • énoncé 194 : encore un bijou ?
    Si $(f_n)$ suite de fonctions croissantes sur $\R$ et continu, simplement majorée bornée.
    Peut-on extraire une sous-suite convergent simplement vers une fonction du même type ?
  • @pourexemple, je crois qu'il est temps que tu découvres ceci : https://en.wikipedia.org/wiki/Helly's_selection_theorem
  • @Siméon : il me semble qu'il faut que les variations soient bornées uniformément bornées, c'est à dire que toutes ces fonctions soient k-lipschitzienne ce qui en ferait un cas particulier d'Ascoli, mais dans le cas du bijou de la convexité ou ici, on n'est pas forcément dans ce cas.
  • En effet je n'ai besoin que de la majoration de la valeur absolue simple...
  • @Siméon Merci ! C'est marrant parce que j'avais rencontré cette inégalité dans le cas discret il n'y a pas longtemps. J'avais une autre preuve moins bien passant par le fait qu'une somme de produits est maximisée lorsque les termes sont triés dans le même sens.

    L'interprétation avec la covariance donne un sens intuitif (si les deux fonctions sont triées dans le même sens, leur covariance est positive). Reste à trouver la preuve qui va avec l'intuition.

    @pourexemple

    1) Cette fonction n'est pas convexe vers $0$.

    2) Oui, je me sers de la croissance pour obtenir la positivité de $f(x) - f(0)$, afin de conserver les hypothèses pour se ramener au cas $f(0) = g(0) = 0$. Sans la croissance, il se peut que $f(x)-f(0) < 0$ et alors le raisonnement ne fonctionne plus. Je mettais en avant l'utilisation des hypothèses.

    La majoration par $2 \int_0^1 xf(x)g(x) \mathrm{d}x$ est possible si $f$ et $g$ sont croissantes.

    Ensuite, pour le 194, la preuve que j'ai donnée pour les fonctions convexes fonctionne tout pareil, sauf erreur.
  • Ah non, la preuve que j'ai donnée ne s'adapte pas car les fonctions croissantes continues ne forment pas un fermé. Si on prend juste des fonctions croissantes sans demander leur continuité, ça va la preuve s'adapte. Sinon alors on peut prendre la famille $\tan^{-1}(nx)$ comme contre-exemple (?).
  • pourexemple a écrit:
    Des casses-têtes niveaux agreg, pas classiques du tout, ici, un aperçut, courtoisie de rigueur, merci.

    Puisqu'il est question de courtoisie : casse-têtes, niveau et aperçu feront moins mal aux yeux.
  • Ah non, ça ne fonctionne pas finalement car une fonction juste croissante n'est pas déterminée par ses valeurs sur $\Q$.
  • @Siméon : merci.

    @Champollion : pour le 193, le lien de Siméon répond à la question.
    Pour le 194 : effectivement, il me semble aussi que c'est un contre-exemple.
  • @Champollion : pour le 192 :
    -tu as que tu peux extraire une sous-suite convergent sur $\Q$, mais comment sais-tu que tu as également convergence sur $\R$ entier, pour la même sous suite ?
  • énoncé 195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de dollars
    Soit $f \in \N[x]$ une fonction polynôme.
    Montrer qu'il existe $u \in C^0([1,+\infty[)$ tel que $$\forall x \in [1,+\infty[, \frac{1}{f(x)}=u(x+1)-u(x)$$
  • énoncé 196 : des polynômes divertissants
    Calculer : $$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} P_n(x) \mod x^2+1,$$ avec $$P_n(x)=\sum \limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$$
Cette discussion a été fermée.
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