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"il est facile de" la preuve :

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Réponses

  • Mauvais lien.
  • Salut,

    énoncé 182 : les entiers homonymes
    2 entiers naturels x,y sont dit homonymes, s'il existe deux entiers naturels a,b distincts tel que x écrit en base a est identique à y écrit en base b.
    Trouver tous les couples d'entiers naturels homonymes, c'est à dire trouver un algorithme A tel que A(x,y) renvoie vrai si x et y homonymes, et faux sinon.

    énoncé 183 : les entiers synonymes
    2 chaînes de caractères (avec pour chiffre l'ensemble des entiers naturels) x,y sont dit synonymes, s'il existe 2 entiers naturels a,b tel que le nombre ayant pour écriture en base a, x, a pour écriture en base b, y.
    Trouver tous les couples d'entiers naturels, c'est à dire exprimer cette ensemble à l'aide d'ensembles connues.

    Cordialement.
  • énoncé 184 : suites convergentes convexes
    Soit $\phi$ une fonction continue convexe sur $\R$.
    Expliciter une suite de fonctions convexes $C^2$ qui convergent simplement vers $\phi$.

    énoncé 185 : les fonctions holdériennes
    On suppose $f$ $a$ holderienne sur $[0,1]$.
    A-t-on $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} n^{b}\int_0^1f(x)\sin(nx) \text{d}x=0$, avec $b<a$ ?

    énoncé 186 : l'égalité impossible ?
    Soit $p=2q+1$ avec $q$ impair et $p$ premier.
    A-t-on $\sum\limits_{i=0}^q b^{i^2} \mod p=-\sum\limits_{i=0}^q b^{-i^2} \mod p$, $b$ un générateur de $(\Z/p\Z)^*$ ?

    énoncé 187 : produit en série
    Soit $f : \{0,1\}\times \N \rightarrow \R^+$, $\prod \limits_{k=0}^\infty (f(0,k)+f(1,k))$ produit convergent, vers le réel $M>0$, avec $\forall k \in \N, f(0,k)+f(1,k) \geq 1$.
    A-t-on $M=\sum \limits_{a\in \{0,1\}^{\N}} \prod \limits_{k=0}^{\infty} f(a_k,k)$ ?

    Si non, comment transformer ce produit infini, en une série de produit fini ?
  • Salut
    Soit $f$ convexe sur $\R$ et dérivable.
    A-t-on $f'$ continue ?
    Cordialement.

    [Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
  • $f'$ est croissante et vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (théorème de Darboux), donc...
  • Oui, $f'$ est croissante et vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, ça devrait suffire à montrer qu'elle est continue.

    EDIT : trop lent !
  • Ok, bravo, à vous 2.

    J'explique maintenant mon titre, le résultat est surprenant parce que je pense que personne n'a pensé à l'énoncé (sauf preuve du contraire) et pourtant il se démontre facilement (les ingrédients sont connus).

    Si c'est bien le cas, je propose pour nom de ce résultat : le lemme S-M.

    Cordialement
  • Ici, page 2.
    Et vraisemblablement dans les ouvrages cités en référence.
    Les chevilles qui enflent ?
  • Juste une question à Siméon et Mojojo, connaissiez vous ce résultat ?

    Merci.

    Citation GaBuZoMeu :
    Les chevilles qui enflent ?

    Non, car n'oublie pas que : "il est facile de" la preuve...
  • Et bien, c'est un résultat qui se trouve dans quasiment toutes les leçons d'agreg. (interne et externe) il me semble.
    Ce n'est pas assez consistant pour un développement en un quart d'heure.

    Mais, oui, on a le droit de dire que c'est "surprenant".
  • Non, mais jusqu'à ces 15 dernières secondes je ne connaissais pas non plus le résultat 41651561+151516516=193168077.
  • @Mojojo : on juge un arbre à ses fruits, on verra bien si ce résultat (qui serait connu depuis au moins que l'agreg existe) donne de [édit1]nouveaux résultats débloque d'anciennes conjectures[\édit1] (avec un ancien résultat) ce qui serait vraiment très surprenant, non ?
  • Bon, je ne connais rien à l'histoire des fonctions convexes et de leurs études, mais j'imagine que ceux qui se sont penchés sur la question avaient trouvé ce résultat : c'est de l'analyse qui utilise des théorèmes de L1-L2.

    Attention, je suis d'accord sur le caractère "surprenant" comme d'ailleurs la continuité des fonctions convexes (sur un intervalle ouvert, car cela ne fonctionne pas sur un segment).
    On a plein de résultats de ce genre, plus ou moins élaborés sur les fonctions convexes.

    Par exemple : le domaine de dérivabilité des fonctions convexes ou encore "un théorème de Dini" (où la convergence simple sur un segment entraîne la convergence uniforme). C'est d'ailleurs avec ce dernier que l'on peut construire la fonction exponentielle, et tiens, je crois bien que ça fait un bon développement à l'agreg d'ailleurs pour revenir aux moutons.
  • Mouais... Personnellement je ne suis pas partisan de ton jeu "d'habillage d'énoncé" qui essayes de cacher "l'astuce" à utiliser.

    À part ça il y a tout un tas de résultats qui sont sans noms et qui s'en portent très bien, je pense qu'il en va de même pour celui-ci ;-)
  • Mojojo a écrit:
    je pense qu'il en va de même pour celui-ci

    Je vote pour, mais on verra si oui ou non, ce lemme permet ou non de tomber d'anciennes conjectures ce qui serait pour le moins surprenant.
  • pourexemple a écrit:
    ce qui serait pour le moins surprenant.

    Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable... Ce résultat est plus que classique pour qui fait un peu d'analyse convexe, et comme l'a déjà dit Dom, c'est un résultat classique de la leçon "fonction monotones, fonction convexes" de l'agreg.

    Comme l'a dit mojojojo, il y a tout un tas de résultats (c'est même une majorité) qui ne portent pas de noms.
    Par exemple, le résultat qui dit que si une fonction convexe de $\R\rightarrow \R$ est dérivable sa dérivée est croissante ne porte pas davantage de nom, ni celui qui dit qu'une fonction (toujours de $\R\rightarrow\R$) est deux fois dérivable alors sa dérivée seconde est positive.
  • Oméga a écrit:
    Ce serait en effet très très surprenant, pour ne pas dire hautement improbable...

    Qui vivra verra.
  • Attention : dire que c'est un item à connaitre à l'agreg peut faire croire aux lecteurs éloignés du sérail que ce "n'est que en préparant l'agreg" qu'on aborde ce genre de trucs de base. Or ici, il n'en est rien, il y a encore 20-25ans, ça pouvait tomber en exo (éventuellement guidé) dans toute fac ou école de bac+1 d'initiation aux maths, pour permettre aux moins forts de marquer aussi des points. Voire même était purement et simplement présent avec "un numéro de série" dans les cours.

    D'autant qu'il s'agit d'un phénomène affirmant la régularité et la calculabilité de quelque chose, que souvent les enseignants dans leur quasi unanimité transmettent beaucoup plus que quelques contre-exemples abstraits inattendus car ont l'impression de devoir l'utiliser 1000 fois ensuite, donc refusent de le redémontrer à chaque fois.
  • Ce qui est amusant mais bien plus difficile à montrer c'est qu'une fonction convexe sur $\mathbb{R}^{n}$ qui admet des dérivées partielles (suivant un système d'axes orthonormés, fixé à l'avance) en tout $x$ de $\mathbb{R}^{n}$ est en fait $C^{1}.$
    Bonne chance!
  • Salut,

    @BobbyJoe :

    il suffirait d'avoir le résultat suivant (dans le cas $\R^2$) :

    Si $f$ fonction de $\R^2$ dans $\R$ est tel que $$\forall x \in \R, \forall u,v \in \R, \text{ si } u \leq v \text{ alors } f(x,u)\leq f(x,v)$$

    $$\forall x \in \R, \forall C \subset \R^2, \text{ si } C \text{ connexe, alors } f(C) \text{ connexe } $$

    Alors $f$ continue.

    J'ai bon ?

    Cordialement.
  • Salut
    Soit $k\in \N$, $k\geq 2$
    Existe-t-il une fonction $f$ de $\R^{2k}$ vers $\R$ tel que : $$
    \forall (a_1,\ldots,a_k)\in \R^k,\ f\Big(\sum a_i,\sum a_i^2,\ldots,\sum a_i^{2k}\Big)=\sum a_i^{2k+1}
    $$ Cordialement.

    [Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
  • Archi-classique. On peut prendre pour $f$ un polynômes à coefficients rationnels en les $k$ premières coordonnées).
    Mot clé : sommes de Newton.
  • Mais on dirait qu'on utilise d'autres polynômes que ceux des puissances, peux-tu résoudre concrètement le cas :
    k=2... merci.
  • En effet cela serait très étonnant (ce qui ne veut pas dire impossible) pour moi que $f$ soit rationnelle.
  • D'après les formules de wikipedia j'obtiens $p_5=e_1 p_4-e_2 p_3=p_1 p_4 -\dfrac{p_1 ^2-p_2}{2}p_3$.
    Donc on prendrait $f : (a,b,c,d) \mapsto a d -\dfrac{a ^2-b}{2}c$.
  • @Crapul : Merci, donc ce n'est étonnant que pour moi.
  • Voyons, pour $k=2$, on prend deux lettres $a$ et $b$ et on pose $n_i=a^i+b^i$.
    On remarque que $a$ et $b$ sont les racines de $X^2-(a+b)X+ab=X^2-n_1X+(n_1^2-n_2)/2$. On en déduit donc que $n_{i+2}=n_1n_{i+1}-(n_1^2-n_2) n_i/2$. Il n'y a plus qu'à dérouler, ce qu'on peut confier à une machine :62724
  • Voilà un résultat que j'espère plus étonnant.

    Soit $k\in \N$, $k \geq 2$, $A_k=\{x \in \R^{2^{k}-1}| \forall j \in [1,k] \cap \N, \text{card}(\{i \in [1,2^k-1]\cap \N| x_i=x_j \})=2^{j-1}\}$.

    Existe-t-il $f$ tel que : $$\forall x \in A_k, f(\sum x_i,\sum x_i^2,...,\sum x_i^{2k})=\sum x_i^{2k+1}$$ ?

    edit : correction suite à la remarque de GaBuZoMeu.
  • Énoncé incohérent à corriger.
  • Est-ce une question générée aléatoirement ? :-S
  • @Champollion : non, pourquoi ?
  • Je plaisante. C'est juste que je me demande dans quel contexte cette question est apparue.
  • Pour $k=2$, $f$ défini par
    $$f(a,b,c,d)=\frac16(a^5 - 5a^3b + 5a^2c + 5bc)$$
    convient.
  • Oui et dans le cas général, qu'est-ce qui nous garantit l'existence de cette fonction ?

    édit : orthographe cf Chaurien.
  • Salut,

    @Chaurien : peux-tu nous dire si tu as déjà vu passer ce problème ?

    Cordialement.
  • Salut
    A-t-on $\{(f,g) \in (C^1(\R^2,\R))^2\mid d_1f=d_2 g\}=\{(f,g) \in (C^1(\R^2,\R))^2\mid \exists h \in C^2(\R^2,\R),\ d_2h=f \text{ et } d_1h=g\}$ ?
    Cordialement.

    [Fusion de discussions à la demande de l'auteur. AD]
  • $d_1$ et $d_2$ ?
  • $d_i$ dérivée partielle par rapport à $x_i$.
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