involutions réelles continues ? — Les-maths.net

involutions réelles continues ?

Salut,

A-t-on $\{f\in C(\R)\mid f \circ f= \text{id et } f\neq \text{ id} \}=\{x \rightarrow a-x \mid a\in \R\}$ ?

Cordialement.

Réponses

  • J'ai vu qu'au moins une partie de la réponse est sur le net, alors même question avec les trilutions $f \circ f \circ f =\text{id}$
    Puis les n-lutions.

    Pour aller plus loin : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1350234#msg-1350234
  • Si $g$ est continue et bijective et $f$ involutive continue alors $gfg^{-1}gfg^{-1}=id$, donc $gfg^{-1}$ est une involution continue. Même principe pour "les n-lutions" comme tu les appelles. Donc réponse non à toutes tes questions.

    Problème de précision: que signifie $C(\R)$? J'ai fait comme si ça voulait dire $C^0(\R,\R)$.
  • @CC : bravo.

    Oui, tu as supposé la bonne chose mais de toutes les façons cela reste vrai même si on suppose que $$C(\R)\in \{C^p(\R,\R)|p \in \N \cup \{\infty\} \}$$
  • Merci pour ton bravo, mais je n'ai rien résolu, j'ai juste dit que les $x\mapsto a-x$ ne sont pas les seules, ce qui, sans vouloir apparaître "jouant le modeste" aux néophytes, ne mérite pas forcément un "bravo" (euphémisme) ;-)

    En fait, la raison de mon post est que je craignais que tu aies oublié de taper une condition ou que $C(\R)$ ait une signification que j'allais apprendre avec surprise... Apparemment non, tant mieux alors.
  • Il me semble si $ f \circ f \circ f=id$ sur $\R$ alors $f=id$sur $\R$ ( on démontre que f est injective donc f est strictement monotone donc ...)
  • @CC : Tu sais très bien qu'il existe des résultats très simple et qu'il est très difficile de mobiliser devant certains problèmes (c'est comme si on les oubliait), si tu ne le sais pas regarde ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849
  • La seule involution croissante et continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est l'identité cependant ^^
    Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...
  • BobbyJoe a écrit:
    Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...

    Cela va au-delà de mes compétences actuelles.
  • Cela signifie probablement, si on en croit Bob, qu'elles sont toutes de la forme $x\mapsto g(-h(x))$ avec $g,h$ continues et réciproques l'une de l'autre.
  • Oui, j'ai bien compris, j'exprimais juste que je ne saurais expliquer pourquoi.
  • Si $f \circ f= \text{id }$ alors f est injective, en effet si $f(x)=f(y)$ alors $f \circ f (x)=f \circ f (y)$ d'ou $x=y$
    donc f est strictement croissante ou strictement decroissante
    - si f est strictement croissante
    si f(x)<x (resp. f(x)>x) alors $x=f\circ f(x)<f(x)<x$ (resp. $x=f\circ f(x)>f(x)>x$) on tombe sur une contradiction donc $f(x)=x$ c'est a dire $f=id$
    - si f est strictement décroissante
    :-D
  • on tombe sur une contradiction

    Anecdote (un peu HS et pour info à gebrane): tu peux écrire << $x\leq f(x)\to x=f(x)$ et $x\geq f(x)\to x=f(x)$ donc $x=f(x)$>>, ce qui t'évite un raisonnement par l'absurde apparent (mais tu exploites tout pareil $[x\leq f(x)$ ou $x\geq f(x)]$, qui est admis dans ce cas)
  • oui tu as raison si $x\leq f(x)$ alors $ f(x)\leq f\circ f(x)=x$
    Je suis bête,62646
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