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Décomposition de Jordan-Chevalley

Bonjour.

Suite à une remarque lue sur ce forum, je suis me suis intéressé au mathématicien Matthieu Romagny, et j'ai découvert sa vidéo

consacrée à la dite « décomposition de Dunford ».

Il commence avec ce titre au tableau et après quelques minutes, il explique que cette décomposition est en fait due à Camille Jordan et Claude Chevalley et qu'il est « mystérieux » de l'attribuer à Dunford. Il biffe « Dunford » au tableau et écrit «Jordan-Chevalley » à la place.

Voici quelqu'un qui accorde de l'importance aux noms de théorèmes et qui a le courage d'affirmer ses convictions, à contre-courant des idées reçues.

Ceci mis à part, l'exposé est en lui-même très intéressant sur le fond. Ainsi que les autres vidéos qu'on trouve au voisinage de celle-ci, que je ne connaissais pas, et qu'on peut conseiller fortement aux étudiants.

Bon dimanche de Pâques.
Fr. Ch.

Réponses

  • Pour tout polynôme séparable $P \in K[X]$ où $K$ est un corps commutatif, la méthode de Newton (ou une variante de) permet d'expliciter une suite de polynômes $(Q_i)_{i \ge 1}$ où $Q_i \in K[X]$, $Q_1(X) = X$, vérifiant :
    $$
    P(Q_i(X)) \equiv 0 \bmod P^ i, \qquad Q_i(X) \equiv X \bmod P
    $$
    Supposons que pour un endomorphisme $U$, on ait $P^m(U) = 0$. Alors en posant $D = Q_m(U)$, on a :
    $$
    U = D + (U-D), \qquad \hbox {$D$ est un polynôme (à coefficients dans $K$) en $U$}, \qquad P(D) = 0, \qquad (U-D)^m = 0
    $$
  • Merci Claude pour ces précisions tout à fait d'actualité :
    cette démonstration fait l'objet de la partie 3 du sujet MG d'agrégation externe 2017, tout juste démoulé et encore frais
    https://agreg.org/sujets/MG17.pdf
    D'ailleurs, les étudiants sont toujours preneur d'une référence utile sur ce thème :
    le poly de 1993 d'un certain C.Q. circule sous le manteau, mais est-ce qu'il en existe une version dans le commerce ?

    Sinon, oui, Romagny a le courage d'affirmer ses convictions, et il n'hésite pas à biffer.
  • Bonjour,

    De quelles convictions parlez-vous ?

    Cordialement,

    Thierry
  • Bonjour Nonoche
    Une référence utile ? Je n'en ai pas. J'ai même oublié d'où j'avais tiré cela, de Chevalley sans aucun doute. En tout cas, c'est l'objet de la partie V de la ``petite épreuve'' de l'ENS de Lyon 1994. J'attache la version (recompilée il y a un peu près un an) ainsi que le corrigé (ce n'est pas un corrigé officiel).
    Merci pour le pointeur sur l'épreuve d'Agreg.
  • Au cours de mes révisions, j'étais tombé là dessus

    https://hal.archives-ouvertes.fr/file/index/docid/844141/filename/article_dunford_rhouma.ps

    il parle un peu de Chevalley sur la fin
  • Chaurien, cela m'étonne que tu n'aies pas relevé l'effrayant anglicisme "preuve" dont l'orateur fait usage !
  • Non, je n'ai pas noté. « Preuve » est un mot français, comme « chaise berceuse », non ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
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