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Infinité de triangles vérifiant une propriété

Bonjour à tous,
Avec les notations classiques, existe-t-il une infinité de triangles scalènes non similaires l'un avec l'autre tels que les longueurs $AB$, $BC$, $CA$ et $OI$ sont des entiers naturels ?
Merci à vous,
Bonne journée.

Réponses

  • Bonjour
    Passionnant le calcul de $OI^2$!!
    Une fraction rationnelle plus ou moins compliquée en $(a,b,c)$ et que dire de l'arithmétique qu'il faut se farcir ensuite?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour
    On a $OI=\sqrt{R\left( R-2r\right) }$ mais cela ne simplifie en rien le problème.
    Avant de se demander s'il existe une infinité de triangles scalènes non semblables tels que les longueurs $AB, BC, CA$ et $OI$ soient des entiers naturels, on peut vérifier que, pour un triangle de longueurs de côtés $16,49,55$, on a $OI=21$. Cordialement. Poulbot
  • Similaires ?
    Jean-Claude Herz donnait « similogue » comme synonyme de « analaire ».
    Et peut-être traduire l'intitulé de charabia en français, comme « Infinité de triangles vérifiant une propriété ». Merci.
  • Bonjour,

    il suffirait de se placer dans l'ensemble des triangles rectangles héroniens pour conclure positivement .

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour kolokoto
    Je pensais que geoqui avait exclu implicitement les triangles rectangles.
    En outre, tous les triangles rectangles à côtés entiers sont héroniens.
    Cordialement. Poulbot
  • Re-bonjour kolokoto
    "Il suffirait de se placer dans l'ensemble des triangles rectangles héroniens pour conclure positivement"
    Connais-tu un triangle rectangle à côtés entiers pour lequel $OI$ est également entier?
    Cordialement. Poulbot
  • Bonsoir,
    assez rebutant initialement, je trouve ce problème finalement assez sympa.
    En notant $a':=b+c-a$ et circ. on arrive à:
    $a'+b'+c'=a+b+c$ et $(a+b+c)\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$ et donc aussi $(a'+b'+c')\ a'b'c'\ OI^2=abc\ (abc-a'b'c')$.
    Pour que $OI$ soit entier, il faut déjà que $OI^2$ le soit et que donc $a'b'c'$ divise $a^2b^2c^2$.
    Par ailleurs, puisqu'on suppose $(a,b,c)=1$, $(a,b)$ (et circ.) divise $OI^2$, donc $(a,b)(b,c)(c,a)$ divise $OI^2$.
    Dans le joli exemple de Poulbot (comment l'as-tu trouvé?), $(a,b)(b,c)(c,a)=1$.
    Rien d'autre à dire ce soir!
    Amicalement
    Paul
  • Bonjour,


    non à la question posée.

    Je me suis avancé un peu vite.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • Bonjour ,

    ce triangle (y en a t'il d'autres? et comment a t'il été trouvé ?) a d'autres spécificités intéressantes . Par exemple $\widehat {OIC}=150°$

    Cordialement60668
  • Autres particularités du triangle de geoqui60760
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