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Inégalité circulaire

Bonjour,

A-t-on
$$(\cos(ab))^2\geq \cos(a^2)\times cos(b^2),\text{ pour }a,b\in [-1,1] \text{ ?}$$

édit : pour répondre à Yves

Bonne journée.

Réponses

  • Bonjour,

    Merci de réécrire le terme de gauche pour que le carré porte soit sur la fonction soit sur l'argument.
  • Bonjour,

    Rapidement : oui.

    Par symétrie, on peut se limiter à $a \leq b$ et $a \in [0,1].$

    On pose $F: (a,b) \mapsto \cos^2(ab) - \cos(a^2) \cos(b^2).$
    On montre que les points critiques sont donnés par $(b-a)(\sin(2ab) + 2 \sin(b^2-a^2))=0$ et donc $a=b$ ou $a=b=0$ puisque le facteur à droite est positif et ne s'annulle que pour $ab=0$ ET $b^2=a^2$ soit donc pour $a=b=0.$
    On calcule les dérivées secondes par rapport à $a$ en $(a, b) = (a,a)$ : $2a^2+\sin(2a^2) \geq 0$ puis la dérivée croisèe en $(a,b) = (a,a)$ : $-2a^2-\sin(2a^2) \leq 0.$ Les valeurs propres aux points critiques sont donc positives ou nulles.
    Comme $F(a,a) = 0$, on conclut.
  • Salut Pourexemple
    On étudie la fonction suivante :
    $f(x)=\frac{cos(ax)^2}{cos(x)}$
    La dérivée s'écrit
    $f'(x)=sec(x)(tan(x)cos(ax)^2-2asin(ax)=\frac{-asin(2ax)cos(x)+sin(x)cos(ax)^2}{cos(x)^2}$
    Comme la fonction $f'(x)$ est impaire on peut se restreindre au cas ou $x>0$
    On étudie le signe de :
    $g(x)=-asin(2ax)cos(x)+sin(x)cos(ax)^2$
    $g'(x)=\frac{1}{2}cos(x)((1-4a^2)cos(2ax)+1)$
    On étudie alors le signe de l'expression suivante :
    $h(x)=(1-4a^2)cos(2ax)+1$
    On pose $2a=u$ :
    D'ou:
    $h(x)=(1-u^2)cos(ux)+1$
    $h'(x)=u(u^2-1)sin(ux)$
    La fonction $h'(x)$ est encore impaire on reste dans le cas ou $x>0$:
    Le signe de $h'(x)$ est le suivant :
    Quand $|u|\leq \frac{1}{2}$ :
    On a que le signe de $h'(x)$ est négatif
    Quand $|u|\geq \frac{1}{2}$
    On a que le signe de $h'(x)$ est positif
    Du reste il suffit de remonter le raisonnement et de conclure
    Cela te va-t-il Pourexemple ?
  • En as tu d'autres comme celle-ci Pourexemple ?
  • Salut Pourexemple j'ai une démonstration ultra-courte de ton résultat .Soit $1\geq a\geq b\geq 0$
    On a l'inégalité suivante :
    $cos(0.1a^2)cos(0.75b^2)\leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2) \leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)+sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)=cos(0.75a^2-0.1b^2)$
    $\leq cos((0.75-0.1)a^2) \leq \cos((0.65)ab)\leq cos(\sqrt{0.75*0.1}ab)^2 $

    Cool non ?
  • Salut,

    La démonstration du 100 est ultra-courte également et de porté plus général, à noter qu'on a aussi :
    $$(f(ab))^2\leq f(a^2)f(b^2),\text{ avec } a,b\in [0,1]$$ si $f$ convexe croissante de [0,1] dans $\R_+$.

    Bonne journée.
  • @Max Tu n'en as pas marre de poster des conneries?
  • La tolérance de la modération avec max est sans limite, il pollue des fils serieux de ce Forum d'analyse
  • @joaopa Ok je détaille la démonstration et tu me dis ou ça coince .
    On part de l'inégalité suivante :
    $cos(0.1a^2)cos(0.75b^2)\leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)$
    Celle ci se réécrit ainsi car chaque cosinus est positif :
    $\frac{cos(0.1a^2)}{cos(0.75a^2)}\leq \frac{cos(0.1b^2)}{cos(0.75b^2)}$
    On étudie donc la fonction :
    $f(x)=\frac{cos(0.1x^2)}{cos(0.75x^2)}$
    $f'(x)=xsec(0.75x²)(1.5cos(0.1x²)tan(0.75x²)-0.2sin(0.1x²))$
    Or :
    $cos(0.1x²)\geq cos(0.75x²)$ pour x appartenant à $[0;1]$
    D’où :
    $(1.5cos(0.1x²)tan(0.75x²)-0.2sin(0.1x²))\geq (1.5cos(0.75x²)tan(0.75x²)-0.2sin(0.1x²))=1.5sin(0.75x²)-0.2sin(0.1x²)\geq 0$
    Donc la dérivée est positive et par voie de conséquence la fonction $f(x)$ est croissante
    On a donc l'inégalité désiré .
    Maintenant on s'attaque à la deuxième partie :
    $ cos(0.1b^2)cos(0.75a^2) \leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)+sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)$
    Qui est équivalente à :
    $sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)\geq 0$
    Ce qui est vrai.
    De plus on à la formule $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
    Donc on arrive à :
    $cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)+sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)=cos(0.75a^2-0.1b^2)$
    On a encore cette avant dernière partie à justifier :
    $cos(0.75a^2-0.1b^2)\leq cos((0.75-0.1)a^2) \leq \cos((0.65)ab)$
    On remarque qu'on a :
    $0.75a^2-0.1b^2\geq (0.75-0.1)a^2 \geq (0.65)ab$
    Comme la fonction cosinus est décroissante cela renverse le signe de chaque inégalité on obtient donc cette avant dernière partie .
    Reste à démontrer que :
    $\cos((0.65)ab)\leq cos(\sqrt{0.75*0.1}ab)^2$
    Je laisse cet fin d'exercice au lecteur .
    Cordialement.
  • Ca coince dès la première ligne : "Celle ci se réécrit ainsi car chaque cosinus est positif" ... C'est nouveau, le cosinus est positif sur $\R_+$ maintenant ?

    Je plussoie gebrane0, incompréhensible que la modération te laisse pourrir tous les fils. T'as ouvert un bouqiuin de 6ème comme te l'a recommandé YvesM ? Non, bien sûr que non, t'es tellement au-dessus tout ça ... Bah reste comme ça tu iras loin ... Et la prochaine fois que tu te demandes où ça coince, inutile de poster, ce sera dès la première ligne, avec une probabilité de 1.
  • Oui il est positif sur [0;1] faut tout de même faut pas me prendre pour un demeuré , lis bien ma démonstration avant d'attaquer qui que ce soit .
    Cordialement .
  • Je te rappelle que tu as choisi $a$ et $b$ positif juste au-dessus. Donc pour toi, quand $a$ est positif, $0,1a^2$ est forcément dans $[0,1]$ ?
  • C'est bon la mauvaise foi de ce forum me dépasse .
    Cordialement.
  • Ahah, tu es génial max, tu viens de modifier ton post au-dessus pour prendre $a\leq 1$ :-D

    Toi qui parle de mauvaise foi, voilà un exemple magistral (tu)
  • Ok je vais ouvrir un bouquin de 6 ième .:-D
    Cordialement.
  • Bonsoir,

    $a,b\in [-1,1]$ dans la question originale de PourExemple.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Merci Rescassol de ne pas donner raison à max8128 alors que tu n'as pas vu les messages originaux. Max8128 dans ses messages précédents avaient pris explicitement $a$ et $b$ positifs, sans plus de précision !


    Et vu le taux de conneries par message de max, on ne peut pas penser à un abus de notation ...
  • Bonjour,

    Je ne défends personne, et ne tape sur le dos de personne.
    Je m'abstiens de me croire dans la tête de quiconque pour prétendre savoir ce qu'il ou elle pense.
    Je n'obéis pas aux gens qui me disent comment penser ou comment écrire ou parler.
    Je me borne à faire une simple constatation.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir,

    En tout les cas il y a au moins un domaine (très important dans un forum) ou Max peut donner des leçons à beaucoup d'entre nous, moi le premier : la politesse.

    Bonne soirée.
  • Bonjour,

    Une autre :

    $$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)+\cos(a^2+b^2)-1, \text{ pour }a,b\in[-1,1]$$

    Edit : je me suis trompé dans ma recopie, je m'excuse au prés de monsieur sagesse et perfection qui n'a pas l'habitude de faire cela, et qui doit croire au coup monté.... :-D

    Bonne journée.
  • Pourexemple a écrit:
    Une autre :

    $$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)-\sin(a^2+b^2),
    \text{ pour }a,b\in[-1,1]$$
    manifestement faux (prendre a=b=1).
    Le plaisir de se tromper ??
  • Je vais jouer le role de max en ce dimanche
    Demontrer $$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)-\sin(a^2+b^2), \text{ pour }a,b\in]-1,1[$$
    @gerard0 ton contre ne marche plus:-D
  • @Gebrane0 : joue plutôt ton rôle, en essayant de trouver un contre-exemple ou la preuve que cela est vrai...
  • Par continuité le contre exemple de gerard0 suffit à prouver que ton inégalité reste fausse, donc en un certain sens son "contre" marche encore :-P

    Mais pourquoi vouloir jouer le rôle de max, tu ne te satisfais pas de l'original ? ;-)
  • @Skyffer : tu es sûr, regarde bien, il n'y a plus que des cosinus.
  • desolé faute de frappe:-D je voulais ecrire
    Demontrer
    $$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)-\sin(a^2+b^2),
    > \text{ pour }a,b\in[-\frac12,\frac12]$$
  • pourexemple a écrit:
    tu es sûr, regardes bien, il n'y a plus que des cosinus.
    Oui je suis sûr, bien que j'ai la flemme de rédiger proprement le résultat. Et le cosinus n'est pas continu ???
  • @Gebrane0 :
    $$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)+\cos(a^2+b^2)-1, \text{ pour }a,b\in[-1,1]$$

    Faisons ce que je fais avec Max, tu me donnes la preuve de ton inégalité je te donne la preuve pour la mienne.
  • @Skyffer : je te rejoue la scène au ralenti :

    $a=b=1$

    $$\cos(2)=\cos(2ab)=\cos(a^2-b^2)-1+\cos(a^2+b^2)$$

    Si tu veux plus de détaille n'hésite pas, après (n'étant pas parfait) je peux me tromper et toi ?
  • J'ai déjà donné ma preuve, tu ne sais pas appliquer un argument de continuité à une fonction à deux variables en utilisant un ouvert et un epsilon bien choisi ?
  • @Skyffer : tu es sûr que mon inégalité est fausse ?

    Si oui, je publierais avec plaisir ma preuve, sinon on peut tous (sauf peut-être monsieur sagesse et perfection) se tromper la preuve tu te serais trompé.
  • Je m'en fous royalement de ton inégalité, relis depuis le début je réponds à la première inégalité de gebrane0 $\cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)-\sin(a^2+b^2), \text{ pour }a,b\in]-1,1[$, tous mes messages s'adressent avant que tu viennes avec la tienne. La tienne je n'ai aucune intention de la regarder.
  • Citation Skyffer :
    Je m'en fous royalement de ton inégalité...

    Max se trompe comme moi je peux le faire souvent, mais il a un gros avantage sur toi, c'est que lui reste poli même quand il est mis en défaut, ce dont vraisemblablement tu sembles incapable.

    J'ajoute qu'il semble bien qu'ici, tu fasses référence à mon inégalité.

    Comme quoi nous avons beaucoup de chose à apprendre de Max.
  • Tu es de mauvaise foi tout comme lui, je réponds à gebrane et tu me demandes si je suis sûr, bah oui je suis sûr ...

    Quant à la politesse je n'ai aucune leçon à recevoir de toi, et encore moins de max qui accuse notre mauvaise foi sur ce forum alors qu'il édite ses messages en cachette. Ce que tu viens aussi de faire avec ta première inégalité, heureusement gerard a eu la présence d'esprit de te citer dans sa réponse, ton petit truc tombe à l'eau.
  • L'inégalité de Gebrane contient un sinus, donc ici on ne parle pas de la sienne : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1402812,1404680#msg-1404680

    Je ne parlerais pas de mauvaise foi, je dirais juste que tu t'es trompé, comme cela peut arriver à chacun d'entre nous (sauf peut-être monsieur sagesse et perfection), qu'en penses-tu ?
  • Bonjour,
    Pas de violence svp
    Merci et bonne continuation
  • Non je ne me suis pas trompé, l'inégalité de gebrane est fausse par un simple argument de continuité en partant du contre exemple de gerard0.

    Je t'ai déjà dit, je m'en fous complètement de tes inégalités que tu édites sans cesse sans prévenir personne, parce que tu as mal "recopié" X:-( C'est plus que mal recopier là, le sin devient cos, l'intervalle change, il y a un -1 qui se rajoute, tu te moques de nous et en conséquence je ne perdrais jamais mon temps à répondre à tes inégalités.
  • @skyffer3
    Tu doutes encore que pourexemple et max est la même personne?
  • J'ai fait la simplification abusive :
    $$\sin=1-\cos$$
    Bon après tu es libre de ne pas lire mon inégalité, comme je suis libre d'éditer mes messages quand j'ai fait une boulette que je reconnais (cf le commentaire de l'édit).

    Bonne journée.
  • gebrane0 a écrit:
    Tu doutes encore que pourexemple et max est la même personne?

    Je ne savais pas, mais effectivement ça commençait à me perturber cette même mauvaise foi et ce même attrait pour des inégalités foireuses (:D
    Tu dis ça comme ça ? Parce que si c'était le cas la modération devrait le savoir et aurait dû réagir.
  • Bonjour,

    @Gebrane et Skyffer : Par respect pour votre capacité (que je n'ai pas) en la résolution de problème mathématique, je vous propose d'en rester là.

    Bonne journée.
  • @Pourexemple c'est pas grave je prend la relève avec cette inégalité : Soit $a$ et $b$ appartenant aux réels et $m$,$n$ des entiers positifs montrer que l'on a :
    $$(sin(a^2)cos(b^2))^m(sin(b^2)cos(a^2))^n\leq \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$$
    Cordialement.
  • Note @ gebrane0 :
    L'identité max8128 = pourexemple est fausse. Les pseudo multiples n'ont pas cours sur le forum.
    Et il est temps de fermer cette discussion.

    Voir par ici pour les modifications d'énoncé a posteriori
Cette discussion a été fermée.
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