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HR c'est simple

Pour démontrer en Mathématiques des théorèmes ou des conjectures difficiles,on tente (Quelquefois) de les transformer en des propriétés simples en formulation pour les résoudre,c'est le cas de:

- Conjecture de Goldbach : rayon de primalité de Sylvain
- Conjecture de Syracuse : durée de vol, ...etc, JP Delahay a toujours rêvé de prouver ce résultat
-En ce qui concerne,HR,Lagarias a trouvé une formulation simple de l'HR:

file:///C:/Users/user/Desktop/Jeffrey%20Lagarias%20(1).pdf


Existence d'une certaine équation diophantienne d'après CC dans un de ses messages...laquelle ?

Ma question,aux logiciens peut être,pourquoi on n' attaque pas ces formulations simples? est ce que le problème deviendra forcément plus simple?

Cordialement
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Réponses

  • Bonsoir,

    Je pense que tu confonds simple (compréhensible du plus grand nombre) avec facile à trouver.
    Ce n'est pas parce qu'un résultat est simple qu'il est facile à trouver.

    Bonne soirée.
  • Mais justement pourquoi?
  • S'il y a une chose que j'ai apprise, c'est que plus une chose est simple (évidente une fois trouvée) plus elle est dure à trouver.

    Par exemple prend cette énoncé : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1372164,1372250#msg-1372250
    Il parait difficile d’accès, pourtant quand on connait le truc cela se règle en 2 lignes.
  • Est ce que la logique nous joue des tours ?

    Dans ton exemple on dérive,je crois ?

    Est ce qu'il y'a une explication théorique à cela?
  • La difficulté à prouver un énoncer ne peut pas être bornée par une fonction raisonnable de la taille de cet énoncé.

    De plus, avec l'habitude on s'aperçoit que la démarche inverse est souvent plus fructueuse, à savoir transporter un problème dont l'énoncé, simple, nous laisse désarmé, dans un cadre plus riche, plus structuré, complexe.
  • Bonjour,

    Citation Joseph :
    Est ce que la logique nous joue des tours ?

    Pour moi, sans aucun doute.

    Citation Joseph :
    Dans ton exemple on dérive,je crois ?

    Je pense que cela ne suffirait pas.

    Citation Shah d'Ock :
    La difficulté à prouver un énoncer ne peut pas être bornée par une fonction raisonnable de la taille de cet énoncé.

    Je suis d'accord, mais cela reste une croyance, une conviction, une opinion... jusqu'à preuve du contraire, car il me semble qu'il existe des gens qui croient le contraire.

    Citation Joseph :
    Est ce qu'il y'a une explication théorique à cela?

    Je ne pense pas , car cela mettrait la logique or de cause.
    Mais par contre il existe des exemples, le principe de Dirichlet, le raisonnement par récurrence... qui sont des évidences une fois découvert, et permettent de prouver des résultats, très difficile, à prouver sinon.

    Je l'explique par le fait que la déduction logique est une escroquerie, en effet à l'aide des règles de déduction logique, nous être humain nous ne pouvons rien montrer tout au plus des résultats prévisibles, pour démontrer des résultat surprenant on a besoin de résultats intermédiaire "nouveau" (une technique ou astuce nouvelle), sans cela le résultat n'est pas surprenant, et la preuve de ce résultat est quasi-immédiat.

    Bonne journée.
  • AitJoseph a écrit:
    file:///C:/Users/user/Desktop/Jeffrey%20Lagarias%20(1).pdf

    Je n’ai pas un accès en lecture à ton ordinateur, c’est dommage.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Pourexemple: non du tout ce n'est pas une croyance. Soit f une fonction calculable telle que pour toute formule P de taille |P|, si P est prouvable alors il existe une preuve de taille moins que f(|P|).
    L'algorithme qui prend en entrée une formule P et énumère toutes les preuves de tailles moins que f(|P|), et écrit "oui" s'il trouve une preuve de P, décide l'arithmétique de Péano, ce qui n'est pas possible.

    Pareil pour ton "la déduction logique ne permet de montrer que des résultats prévisibles".
  • L'inégalité de Lagarias, bien connue maintenant du monde mathématique et qui s'appuie sur des travaux antérieurs de Guy Robin, est sans doute aussi difficile à démontrer, sinon plus, que l'hypothèse de Riemann elle-même, comme pour toutes les équivalences (ou, a fortiori, les conditions suffisantes) à HR qui ont été établies depuis 1859.

    Pour plus d'infos concernant l'hypothèse de Riemann et ses consoeurs, consulter le livre https://www.amazon.fr/Riemann-Hypothesis-Resource-Afficionado-Virtuoso/dp/0387721258/ref=sr_1_5?ie=UTF8&qid=1481464923&sr=8-5&keywords=riemann+hypothesis
  • @Shah d'Ock : pour que ta preuve soit juste, il faudrait encore prouvé que l'arithmétique de Peano soit consistante, ce qui reste un vœux pieux, jamais encore démontrer, donc oui on ne sort pas de la croyance.

    Bonne journée.
  • Pourexemple : ZF démontre la consistance de Peano
    (Et si ZF est incohérente, alors les questions telles qu'elles sont posées ici n'ont pas de sens, donc pour avoir, en ce moment, une discussion intéressante, on suppose ZF cohérente)
  • Citation Maxtimax :
    (Et si ZF est incohérente, alors les questions telles qu'elles sont posées ici n'ont pas de sens, donc pour avoir, en ce moment, une discussion intéressante, on suppose ZF cohérente)

    C'est quoi ça, une prière ?
    La menace de tomber dans l'inintéressant si ZF serait incohérent ?

    Comme on dit à chacun ses dogmes, et ZF ne fait pas partie de mes dogmes.

    Bonne soirée.
  • @Shah : je me rends compte que ta démonstration ne répond pas à ce que tu as affirmé.

    Citation :
    La difficulté à prouver un énoncer ne peut pas être bornée par une fonction raisonnable de la taille de cet énoncé.

    En effet tu sembles faire, comme si la difficulté était proportionnelle à la taille de la plus petite preuve, or ce n'est pas forcément le cas...
  • Je l'attendais, celle-là. Cependant, tu m'accorderas peut-être qu'une borne sur la difficulté d'une preuve implique une borne sur sa longueur?
  • Citation Shah :
    Cependant, tu m'accorderas peut-être qu'une borne sur la difficulté d'une preuve implique une borne sur sa longueur ?

    Non, je n'y crois pas.
  • Dans ce cas je me vois dans l'obligation de te demander ta définition précise de difficulté, sans laquelle évidemment il n'y a pas de place pour un raisonnement mathématique.
  • J'ai une définition, mais elle me semble difficilement formalisable :
    La difficulté de la démonstration d'un énoncé est proportionnelle, aux temps durant lequel il a résisté à la sagacité des mathématiciens, diviser par la taille de la plus petite preuve connue.
  • Effectivement, difficilement formalisable...
    J'imagine que parmi les mathématiciens tu n'acceptes pas les machines de Turing qui font leur boulot à leur place?

    A une époque, tu relisais tes messages et tu repassais pour en corriger l'orthographe... Tu aurais dû continuer.
  • Citation Shah :
    J'imagine que parmi les mathématiciens tu n'acceptes pas les machines de Turing qui font leur boulot à leur place ?

    Ici, ton imagination ne t'a pas trompé.
  • Zut. Je comptais sur ton esprit de contradiction pour te faire dire "si, si, je les admets"...
  • Avec ta définition, le problème des quatre couleurs ou de la bicoloration des triplets pythagoriciens sont - à ce jour, puisque l'on découvrira peut-être une preuve courte - extrêmement plus facile qu'à peu prés n'importe quel exercice posté sur ce forum?

    Et, en admettant la consistance de ZFC, les problèmes suivants ont une difficulté de plus en plus petite (alors qu'intuitivement, ce sont les mêmes):
    "je ne suis pas prouvable dans ZFC en moins de 1000 symboles"
    "je ne suis pas prouvable dans ZFC en moins de 1000000 symboles"
    "je ne suis pas prouvable dans ZFC en moins de 1000000000 symboles"
    "je ne suis pas prouvable dans ZFC en moins de 1000000000000 symboles"
    "je ne suis pas prouvable dans ZFC en moins de 1000000000000000 symboles"
    ...
  • Non, j'assume ma définition.

    Et oui, connaître une preuve de 2 lignes d'un résultat qu'on a mis au moins 10 ans à trouver, vaut, pour moi, en difficulté un résultat qu'on a mis 100 ans à démontrer en 20 lignes.
  • Pourquoi ne pas mesurer la complexité d'une preuve en multipliant le temps T qui aura été nécessaire pour trouver cette preuve par sa complexité de Kolmogorov K et sa profondeur de Bennett B ?
  • Parce que je ne crois pas que l'être humain soit une machine de Turing, sauf restriction que je ne rappellerais pas ici.
  • Donc finalement le théorème de Fermat-Wiles a une difficulté d'environ 2 an/page, alors que le théorème des 2 carrés est de difficulté environ 100/ (1/2) soit 200 ans/page à peu près : le théorème des 2 carrés est beaucoup plus difficile que celui de FermatWiles ! Qui l'eût cru ?

    Sources : Fermat-Wiles : énoncé en 1600 à peu près, prouvé en 2000 à peu près, preuve d'environ 200 pages.
    Théorème des 2 carrés : énoncé en 1600 à peu près, prouvé en 1700 à peu près, preuve (récente, de Don Zagier) d'une demi-page.
  • Citation Max :
    le théorème des 2 carrés est beaucoup plus difficile que celui de Fermat-Wiles !

    C'est possible, sauf si on réussit à trouver une preuve beaucoup plus courte de Fermat-Wiles, ce que je n'exclus pas du tout.
  • Tatata, Curry-Howard power ! Toute preuve est un programme, d'après l'Evangile selon Saint Christophe.
  • Et alors, je suis sûr qu'il existe des programmes très courts, qu'on a eu beaucoup de mal à trouver, et des programmes très longs, que l'on sait programmer rapidement.
  • Pourexemple : tu es vraiment en train de dire qu'une preuve qu'un élève de prépa peut comprendre est plus difficile qu'une preuve qui nécessite des outils à la pointe de la recherche moderne, que seuls une centaine (à la louche- au mieux un millier) de personnes peuvent comprendre ?
  • Bonjour,

    Citation Max :
    une preuve qu'un élève de prépa peut comprendre est plus difficile qu'une preuve qui nécessite des outils à la pointe de la recherche moderne, que seuls une centaine (à la louche- au mieux un millier) de personnes peuvent comprendre ?

    Je suis entrain de te dire, que :
    1/Ce n'est pas parce qu'une preuve est simple (compréhensible du plus grand nombre) qu'elle est facile à trouver.

    2/Ce n'est pas parce qu'une preuve est compliquée (compréhensible d'un petit nombre) qu'elle est difficile à trouver.

    PS : pour moi l'une des découvertes les plus importantes (et difficiles) en math, est l'associativité.

    Bonne journée.
  • Depuis le début il n'est pas trés clair si l'on parle de la difficulté d'une preuve ou d'un problème, ce qui n'est pas la même chose attendu qu'un même problème peut avoir moult preuves.

    Ensuite, ne parait-il pas raisonnable que si toute preuve de P passe par une preuve de Q, alors P est plus difficile que Q?
    Pourtant, si P et Q ont été posés en même temps, que Q a été résolu en deux lignes et P a été résolu peu de temps aprés en 2000 pages, alors Q est censé être plus difficile que P...
  • L'HR sous forme d'un énoncé simple compréhensible par un élève de Terminale,et qui pourtant reste ardu .....
    Sincèrement,je ne comprend pas,c'est bizarre
  • Qu'est-ce que ça a quoi de bizarre?
  • @Joseph : et le théorème de Fermat-Wiles ?

    @Shah : Oui, ce n'est pas transitif et alors ?
    Prend pour illustration le concept de lois associatives, on a besoin de cela depuis que l'on connait les opérations élémentaires, et pourtant une des plus grandes découvertes mathématiques (pour moi) n'a été faîte que longtemps après...
  • quoi quoi quoi transitif pas transitif? On n'a pas affaire à une relation binaire ce me semble.
  • Citation Shah d'Ock :
    P est plus difficile que Q

    Bonne journée.
  • Bah oui mais ça c'est clairement transitif.
  • Je ne crois pas.
  • Ben $diff(P) \ge diff(Q)$ et $diff(Q) \ge diff(R)$ implique par transitivité de $\ge$, la relation d'ordre sur $\mathbb R$, que $diff(P) \ge diff(R)$.
  • Non, car $diff(Q)=f(temps)$, donc ce n'est pas une fonction au sens de Turing (les raisonnements logiques ne marchent pas sur ce type de transformation).

    Bonne soirée.
  • Évidemment si ça dépend du temps, le raisonnement ci-dessus n'est valable que pour un instant $t$ donné. De même si ça dépend de la température ou de la pointuredes bottines du capitaine.
  • Non, cela ne veut rien dire, sauf si tu veux donner un sens à cela, alors je suis tout oui... :-D
  • Tu es tout oui? Moi je suis tout non. J'avais pourtant bien juré de ne plus m'y laisser prendre.
  • Bon alors, le cours de physique quantique et relativité générale unifiées est reportée...

    Merci quand même pour l'échange.

    Bonne soirée.
  • Bonjour,

    Citation Shah d'Ock :
    J'avais pourtant bien juré de ne plus m'y laisser prendre.

    Je suppose que tu fais référence à cela : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1321716,1322054#msg-1322054

    Ma question est : en quoi ici, nous ne sommes pas dans les même conditions que je précise ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1321716,1322072#msg-1322072 ?

    Bonne journée.
  • Bonsoir,

    En général, quand on pose une question, c'est que l'on aimerait une réponse, et ici je ne fais pas exception.

    Bonne soirée.
  • Ce que je te reproche et je te l'ai déjà dit c'est de n'être pas dans le débat mais dans la contradiction bornée. Tu cherches toujours à avoir raison en donnant continuellement tort à celui qui se laisserait prendre à ton petit jeu (évidemment pour cela tu utilises tous les arguments fallacieux qui sont à ta portée). C'est pourquoi j'avais décidé de ne plus m'y laisser prendre.
  • Citation Shah :
    évidemment pour cela tu utilises tous les arguments fallacieux qui sont à ta portée

    Tu aurais un exemple manière de ne pas rester encore sur des accusations gratuites.
  • Disons, rien que dans ce fil, la géométrie variable de ce que tu appelles la difficulté. C'est donné par une fonction mais quand tu en as besoin c'est une fonction qui dépend du temps et puis quand tu en as besoin c'est une fonction qui dépends du temps mais qu'on ne peut même pas évaluer à un instant donné...

    Restons-en là s'il te plait.
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