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"il est facile de" la preuve :

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Réponses

  • Je vous propose d'essayer de résoudre l'énoncé 3
  • Merci contrexemple,
    Il va falloir que je fasse des révisions en arithmétique pour comprendre entièrement la solution de samok.

    Ton indication $x^{p-1} \mod p =1 $ m'avait permis entre temps de montrer que au delà de $2^{607}-2$ ta somme reste toujours congrue à 1 modulo $2^{607}-1$ sauf pour les multiples de $2^{607}-2$ où elle est nulle. (périodicité de période $p-1$)

    Amicalement. jacquot
  • @jacquot :
    $K=Z_p$ alors $K^*=K-\{0\}$ le groupe multiplicatif est cyclique, donc il existe $b\in K^*$ tel que pour tout $a\in K^*$, il existe $n \in [0,p-2]$, $a=b^n$.
    Donc $ \sum \limits_{i\in [1,p-1]} i^j \mod p=\sum \limits_{n\in [0,p-2]} b^{j\times n}\mod p$ qui est une série géométrique qui vaut 0 (car $b^{j\times (p-1)}=1$) ssi on n'a pas $(p-1)|j$, c'est à dire $b^j\neq 1$

    Cordialement.
  • En fait il existe une astuce plus simple que celle là je la mets en oeuvre dans cet énoncé :
    énoncé 21 :
    On note $G$ un groupe fini, multiplicatif de $A$ un anneau unitaire intègre sans diviseur de 0.
    Calculer pour tout $j$, $\sum \limits_{g\in G}g^j$.
  • Merci, contrexemple.
  • Bonjour contrexemple,

    narration de recherche :
    - je me suis dit que la puissance induirait une bijection (dans le groupe multiplicatif), mais en prenant comme exemple 13, j'ai été fort désappointé;
    - j'ai repensé à une preuve du petit théorème de Fermat, où une bijection utilisée est $x\mapsto ax$.

    voili voilou,

    S
  • L'énoncé 3 se résout en remarquant que pour tout $p$ premier et pour tout polynôme $f\in\Z/p\Z[X]$, la dérivée $p$-ième de $f$ est nulle.
  • Bonjour,

    @samok : merci.

    @JLT : bravo, cela vient de la proposition soit, $P(X)=X\times(X-1)...(X-p+1)$, pour tout $n\in \Z$, $p|P(n)$,
    on a même $p!|P(n)$.
  • Je vous propose de vous intéresser à l'énoncé 12.
  • 21: groupe multiplicatif fini d'un corps->cyclique.
    12:x=1
    16: On peut aussi remarquer que $\frac1{x^{p-1}-1}=\sum_{i\ne0}\frac1{x-i}$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
  • l'énoncé 21 : il est question d'anneau intègre unitaire (pas forcément commutatif et pas forcément fini).
    énoncé 12 : bravo, en prenant x=1, on se rend compte que f(1)>1, ce qui n'est pas possible.
    énoncé 16 : $\frac{1}{x^{p-1}-1}=\frac{1}{0}$ qui est indéterminé sur $\Z_p$
  • Un anneau intègre EST commutatif par définition. Je suppose que tu voulais dire anneau sans diviseurs de zéro.
  • 21: multiplier par un $g_0^j$ convenable
    16. Mon indication dans le 16 est évidemment à prendre dans $\mathbb Z/p\mathbb Z(x)$.
  • @Greg : sans diviseur de zéro et intègre était pour moi équivalent, ce n'est pas le cas ?
    anneau sans diviseur de zéro non commutatif : le corps des hamiltoniens.
    @Joaopa :
    21 : peux tu nous en dire plus ?
    16 : ok.
  • un peu border-line, voici le problème : (quel genre de psychopathe de la pensée l'a formulé en premier ?)48231
  • Bonjour,

    Pour ce que j'en sais de ce genre de problème la solution est rarement à chercher dans l'ensemble des solutions communes, c'est à dire qu'il serait inutile d'essayer à l'aide de déplacement des pièces dans le plan, d'obtenir "la lettre M", peut être qu'il faut appliquer une symétrie par ci par là, ou qu'il ne faut pas rester dans le plan (dans l'espace), ou que "la lettre M" n'est pas à comprendre dans le sens commun, mais à comprendre d'une manière particulière.

    J'ai free, ou à moitié free ?
  • Le déplacement des pièces dans le plan est suffisant.

    S
  • Et l'expression "la lettre M" est bien à comprendre dans un sens commun.
  • défi 52, p 80
    Je rappelle qu'il faut donner des énoncés de son cru (qui ne se trouve pas sur internet)
  • Bonjour,

    Je vous propose de réfléchir à l'énoncé 1.

    indice : cette énoncé ne repose que sur une information cachée, une fois trouvée il devient un exercice classique.
  • Réponse du 1 :
    $r(E)=E$ alors $r^k(E)=E$ donc est stable par une symétrie de centre $O$, donc $O$ est centre de gravité de $E$, une fois que l'on a dit cela l'exercice devient un classique.
  • Je vous propose maintenant de réfléchir à l'énoncé 2.

    Indice : la réponse est non, mais alors pourquoi ?
  • Réponse 2 : $card(C([0,1])=card(\R^{\N})=card(\R)$ alors si on note $E$ le complété de $C([0,1])$ pour une distance quelconque, alors $card(E)\leq card(C([0,1])^\N)=card(\R^\N)=card(\R)<card(F([0,1])$
  • Je vous propose maintenant de réfléchir à l'énoncé 4

    indice : il ne repose que sur une seule propriétaire calculatoire.
  • Réponse 4 : c'est le fameuse propriété C.E.T.
  • Il n'existe pas de configuration telle que dans l'énoncé 1 car $d(r(A_i),O)=d(A_i,O)=i$ et le fait que $r(A_i)\in E$ entraîne que $r(A_i)=A_i$ pour tout $i$, donc que $A_i=O$ pour tout $i$.

    Pour l'énoncé 4, je ne sais pas ce qu'est cette fameuse propriété C.E.T. mais je trouve 941 avec une grosse calculatrice :
    p=101
    q=1031
    f=[0]*(p+1)
    f[1]=1
    k=0
    while k<p:
    	i=p
    	while i>=0:
    		s=4*f[ i]
    		j=0
    		while j<=i:
    			s=s+f[j]*f[i-j]
    			j += 1
    		f[ i]=s%q
    		i -= 1
    	f[0]=(f[0]+3) % q
    	k +=1
    a=f[p]
    k=p
    while k>0:
    	a=(a*k) %q
    	k -=1
    print(a)
    

    L'idée est de faire le changement de variables $x=2+y$. On est amenés à poser $g(y)=f(2+y)-2=y^2+4y+3$ et à calculer la dérivée $101^e$ de $g^{\circ 101}$ en $0$. Il suffit donc de calculer le coefficient de $y^{101}$ de $g^{\circ 101}$, ce qui se fait aisément par ordinateur car on n'a pas besoin dans les calculs intermédiaires de garder en mémoire les termes en $y^k$ pour $k>101$.
  • Pour l'énoncé 1, tu as raison j'ai mal choisi les $d(O,A_i)$, mais bon l'astuce n'était pas caché là.

    Pour l'énoncé 4 : bravo ce que tu as fait revient à utiliser le fameux C.E.T (ContrExemple Theorem, je voulais ainsi vérifier qu'il y avait au moins une personne d'intéresser par les réponses, ne voyant pas trop de réactions).

    Propriété (C.E.T.) : Si $P(X) \mod Q(X)^n=R(X)$ alors $P'(X) \mod Q(X)^{n-1}=R'(X) \mod Q(X)^{n-1}$.

    Je vous propose de réfléchir à l'énoncé 8

    Je donnerais un indice en cas de besoin.
  • Bonjour,

    voici une caricature de type d'énoncés que vous demandez :
    - je l'ai fait avec mes petites mains et ma petite tête;
    - il est essentiellement trivial;
    - il est maquillé outrageusement pour masquer sa trivialité.

    Avant de me dire qu'il n'a pas de sens, je rappelle que quand j'étais petit, on m'a défini un espace vectoriel comme un triplet d'ensembles $(E,+,.)$, donc comme un ensemble. Ainsi un ensemble comme "la reine d'Angleterre" peut-être qualifié de vectoriel si on exhibe $E$, $+$ et $.$ .48287
  • Bonjour,

    Ta caricature est raté car il eut fallut avoir un énoncé très court, ce que le tien n'est pas.
    Je préfère privilégier les énoncés courts...

    Non, car il me semble que ton truc expression n'est pas bien parenthésé, sinon merci de mettre ton énoncé au format tex, cela serait plus simple pour copier coller ton truc expression.
  • Tes désirs font désordre
    L'ensemble ci-dessous est-il un espace vectoriel ?\\
    \begin{tabular}{l}
    $\{\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};$
    \\
    $\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\emptyset\}\}\}\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};$
    \\
    $\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};$
    \\
    $\emptyset\}\}\}\}\};\{\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\{\emptyset\}\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\{\{\emptyset;\{\emptyset;\emptyset\}\};\emptyset\}\};\{\{\{\emptyset\};$
    \\
    $\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\{\{\emptyset\};\{\{\emptyset\};\{\emptyset\}\}\};\{\emptyset\}\}\}\}\}\}$
    \end{tabular}
    
    48289
  • ce que tu appelles un ordre est une demande polie, à moins qu'obséder par la forme, tu n'as que peux de scrupule sur le fond.
    Le poète est celui qui marie le fond et la forme, c'est pour cela que ce n'est pas donné à tous le monde, en particulier à toi.
  • @samok : pour ton énoncé, soit le cardinal de ton ensemble est de la forme p^n (p premiers), alors on peut établir une bijection ensembliste entre ton ensemble et un espace vectoriel sur le corps à p éléments de dimension n, et alors ton ensemble devient un espace vectoriel par cette bijection qui devient une fonction linéaire bijective.

    soit ce n'est pas le cas (card <> p^n) alors on ne peut construire un e.v., car les corps finis sont de la forme p^n (avec p premiers).

    Je n'arrive pas à compter le nombre d'éléments de ton ensemble mais de toutes les façons tu as ta réponse.
  • S'il y a un énoncé dont vous aimeriez avoir une solution, vous pouvez me dire lequel, je vous en donnerais la solution que j'ai.
  • Contrexemple,

    $(a,b)=\{a;\{a;b\}\}$
    puis $(a,b,c)=((a,b),c)$
    $\emptyset=0$ et $\{\emptyset\}=1$
    $a=\{0;1\}$ puis les opérations $b$ et $c$ sont celles de $(\mathbb{Z}_2,+,.)$, par exemple $0+1=1$ s'écrit avec l'élément de $b$ : $\{\{0;\{0;1\}\};\{\{0;\{0;1\}\};1\}\}=((0,1),1)$

    C'est aussi une caricature du formalisme que je visais.
    Je ne sais pas ce que je suis mais tu sembles savoir ce que je ne suis pas, cela m'invite à ne plus intervenir dans ce fil.
    Bonne continuation.

    S
  • Samok,

    Si ma réaction te semble, inappropriée, sache que dans la plupart des cas j'essaie tel que tu le faisais, de mimer tes réponses.
    J'espère n'avoir pas franchi les limites du convenable, comme je peux te dire que tu ne les as pas franchies, ici.
    Je te rappelle que si tu veux participer au fil, sans mettre des réponses volontairement ambiguës, tu es le bienvenu.

    Au revoir.
  • Réponse 8 :
    1/$f$ injective et $f^{-1}$ est contractante.
    2/$f(\R^n)$ est fermé et ouvert dans $\R^n$, donc $f(\R^n)=\R^n$.
    3/D'où par le théorème de point fixe des fonctions contractantes on a : un unique point fixe de $f^{-1}$, donc de $f$.
  • Bonjour,

    Je vous propose de réfléchir à l'énoncé 9.

    Indice : il repose sur la même astuce que l'énoncé 10.
  • Montrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(|\sin(nx)|\right)^{\tfrac{1}{n}}=1$, pour presque tout $x$ réel.
  • $\int_{u\in[0,2\pi]} |\sin(nu)|^{\frac{1}{n}} du = \int_{v\in[0,n2\pi]} |\sin(v)|^{\frac{1}{n}} \frac{dv}{n}=\int_{t\in[0,2\pi]} |\sin(v)|^{\frac{1}{n}} du=2\pi$

    Pour la première égalité $v=n\times u$, pour la deuxième car $\sin$ est périodique de période $2\pi$, pour la dernière égalité par le théorème de convergence simple.

    Or $0\leq1-|\sin(nx)|^{\frac{1}{n}}$ et la limite de l'intégrale en $[0,2\pi]$ vaut 0, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}1-|\sin(nx)|^{\frac{1}{n}}$ est nul presque partout sur $[0,2\pi]$, on conclut à l'aide de la $2\pi$-périodicité.
  • indice 9 : c'est une application directe d'un théorème très connu (qui a déjà été mentionné).
  • énoncé 24 :
    $P(n)=2n^2+2n+1$ montrer que $P$ sur les entiers, ne prend jamais comme valeur $p=4k+3$ avec p premier.
  • On peut d'ailleurs enlever la condition « $p$ premier » vu que $n(n+1)$ est pair.
  • Bravo

    énoncé 25 :
    même Question avec $P(n)=n^2+1$
  • énoncé 25 : (renforcé)
    Montrer que pour tout $n \in \N$, si $p|P(n)=n^2+1$ avec $p$ premier impair alors $p=4k+1$
  • énoncé 26 : un nouveau critère d'irréductibilité ?
    Soit $P\in\Z[X]$ de degré $n$ tel qu'il existe $2n+1$ valeurs entières pour lesquelles $P$ vaut un nombre premier, peut-on dire qu'alors $P$ est irréductible sur $\Z$ ?
  • 25: Supposons que $p\equiv 3 \ [4].$ Alors $p$ est irréductible dans $\Z[ i ]$, qui est factoriel, et $p\mid (1+in)(1-in).$ Par le lemme d'Euclide $p\mid 1\pm i n$.

    Autrement dit, $\dfrac{1\pm in}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid 1$ dans $\Z$, contradiction.
  • Comment prouves-tu que $p=3 \mod 4$ est irréductible ?

    énoncé 27 :
    Montrer que pour tout $n\in\N$ si $p|P(n)=2n^2+2n+1$ alors $p=1 \mod 4$
  • Comme précédemment, si $p\equiv 3 \ [4]$, il divise $n\pm i(n+1)$ dans $\Z[ i ]$. Alors $\dfrac{n+i(n+1)}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid n$ et $p\mid n+1$ dans $\Z$, et ainsi $p\mid 1$ par différence, contradiction.
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