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Répartition des nombres premiers

Bonjour,

Je m'intéresse sur la répartition des nombres premiers.
On sait d'apres le théorème de La Vallée Poussin que le nombre de nombres premiers entre 1 et N est environ $\frac{N}{\ln(N)}$.

Donc on peut estimer qu'entre 1 et N, on a *en moyenne* un nombre tous les $\ln(N)$...

Ma question est la suivante : a-t-on des formules (empiriques, probabilistes, ...) qui permettent d'estimer un peu mieux la répartition des nombres premiers (avoir une idée de la variance) ?

Merci de vos retours,

++,
Foufoux

Réponses

  • La question manque un peu de précision, mais je dirais ceci :

    1. Le logarithme intégral $\textrm{Li}(N)$ est une meilleure approximation de $\pi(N)$ que $\dfrac{N}{\log N}$.

    2. Il existe des formules exactes de $\pi(N)$, souvent fondées sur le théorème de Wilson, mais qui ne sont quasiment pas utilisée en pratique, en raison de leur inefficacité en terme de temps de calcul. Par exemple
    $$\pi(N) = \sum_{k=2}^N \left ( \left \lfloor \frac{(k-1)!+1}{k} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{(k-1)!}{k} \right \rfloor \right).$$
    Pour faire simple, c'est joli mais ça ne sert à rien !
  • Merci Noix pour cette belle formule...

    Je précise ma question : dénombrer précisement les nombres premiers ne m'intéressent pas : les approximations par $Li(N)$ ou $\frac{N}{\log N}$ sont tout à fait satisfaisantes.

    Je cherche plutot à connaitre la répartition de ces nombres premiers et savoir si on connait ou on peut estimer l’écart moyen entre deux nombres premiers consécutifs.

    La première approximation consiste à dire que la répartition est uniforme, mais l'est elle vraiment ? Existe-t-il quelque chose de plus fin ?

    En espérant que ma question soit plus précise...

    Merci

    ++,
    Foufoux
  • Cette page https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap donne pas mal de renseignements.
  • si on utilise cette formule d'estimation du nombre de premiers entre $1$ et $N$, on peut admettre que la quantité de premiers entre N et 2N serra pratiquement la même, donc la répartition est à peu près uniforme...
    c'est même assez curieux que cette formule d'estimation : $\frac {N} {log N}$ est plus précise pour estimer le nombre de premiers entre N et 2N....A la différence c'est que cette estimation , peut être légèrement supérieur à la réalité, quelque fois, ce qui en fait, une estimation qui oscille entre + ou - du nombre réel de premiers, entre un entier $N$ et $2N = 30k$

    Curieusement, cela serait une conséquence, de la conjecture de Goldbach...

    Je ne sais pas si il y a des informations à ce sujet....?

    Cela s'explique avec le crible de Goldbach, pour cribler les entiers non congrus à 30k (modulo Pi) ("estimation que j'avais trouvée en faisant ce crible")

    Estimation qui est nettement supérieur au postulat de Bertrand...
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