"il est facile de" la preuve : — Les-maths.net

"il est facile de" la preuve :

Bonsoir,

Je prendrais des preuve simple (courte (moins de 10 lignes) compréhensible par un élève de maîtrise), que j'habille d'un énoncé. A vous de les déshabiller, trouvez une preuve.

énoncé 1 :
On travaille dans le plan euclidien :
soient $n,k$ deux entiers plus grand que 2, $E=\{A_1,...,A_n\}$ des points du plan, $r$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{k}$, $U$ un point du plan, on suppose $r(E)=E$, $d(A_i,U)=i^2$ et $d(A_i,O)=i$. Que vaut $d(O,U)$ ?

"il est facile de" la preuve

Les incontournables de ce fil, ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1375904#msg-1375904
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Réponses

  • énoncé 2 :
    Existe-t-il une métrique sur $F([0,1])$ les fonctions réelles de $[0,1]$ dans $[0,1]$, où $C([0,1])$ est dense ?
  • énoncé 3 :
    On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/101\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en $2$.
    $f^{n}$ est la composée de $f$ $n$ fois.
  • merci pour le plagiat :-D
  • Pourrais-tu évaluer la difficulté de ces énoncés ?
    Merci.

    énoncé 4 : (usage de la calculatrice fortement conseillé)
    On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/1031\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en 2.
  • énoncé 5 :
    Existe-t-il $f$ continue de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux on a :
    $f(x)+f(y)+f(x)\times f(y)\leq -3$.
  • $f(12)+f(12)+f(12)\times f(12)=(f(12)+1)^2-1\geqslant -1 > -3$

    Mais bon 12 est-il un nombre décimal ?
    Je n'ai pas de preuve en moins de dix lignes.

    S
  • Bravo.
    énoncé 6 :
    Déterminer toutes les $f$ continues de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux tel que $x \neq y$ on a : $f(x)+f(y)+f(x)×f(y)\leq -1$ ?
  • La fonction étant continue, l'inégalité se prolonge à $x$ et $y$ réels quelconques, distincts ou non. D'après l'argument de samok, la fonction est constante égale à $-1$.
  • Énoncé 4 : J'utilise ma grosse calculatrice (maple) :
    > f:=x^2+1:
    > eval(diff(f^101,x$101),x=2) mod 1031;
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  • Je trouve Guego généreux de réussir à définir la dérivée d'une fonction définie sur un corps fini !
  • et $^$ était la composition pour subjectivement moi.

    d'où l'intérêt de se comprendre et de savoir se parler correctement.
    S
  • @Jer anonyme : bravo, (la dérivée sur les corps finis d'un polynôme est parfaitement définie : $(x^n)'=n \times x^{n-1}$

    @Guego : tu as bien calculé la composition de $f$ et non la puissance ?
    De toutes les façons, le calcul repose sur une astuce, il suffit de la donner pour résoudre le problème.
  • ok j'ai rien compris, je peux avoir free quand même ?

    S
  • Bis : dériver un polynôme, c'est facile ; dériver une fonction polynomiale sur un corps fini, ce n'est pas possible.

    Dans l'exemple ci-dessus, parce que $f$ peut également être définie (sur $\Z/101\Z$) par $f(x)=x^2+1+x^{101}-x$ et que la dérivée des polynômes $X^2+1$ et $X^2+1+X^{101}-X$ ne sont pas les mêmes.
  • @Jer, tu as raison, il s'agit bien de polynômes formels (la composition de polynômes formels est me semble-t-il canonique).

    Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés.
  • énoncé 7 :
    Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans lui même, tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$
    $f(\frac{1}{1+x^2})=2\times f(x)$
  • Fixons $x$, alors $f(x)=\frac12f(\frac1{1+x^2})$. Soient $c:x\mapsto1/(1+x^2)$ (qui contracte tout le monde vers son unique point fixe $r$) et $h:y\mapsto y/2$ (qui contracte tout vers $0$). Par applications répétées, on a : $f=h^nfg^n$. Pour $x$ fixé, $\bigl(g^n(x)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $r$ et $\bigl(h^n(f(r)\bigr)_{n\in\N}$ tend vers $0$. Seule la fonction nulle convient.
  • Bravo (sauf que $f$ n'est pas forcément continue mais comme elle va de $[0,1]$ dans lui même ta preuve marche encore).
  • énoncé 8 :
    Soit $f$ fonction de $\R^n$ dans lui même, continue tel que :
    pour tout $x,y$ de $\R^n$ on suppose : $\frac{3}{2}||x-y||\leq ||f(x)-f(y)||$
    Prouver que $f$ a un point fixe.
  • énoncé 9 :
    Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans $[0,1]$ tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$ on a :
    $\sin(f(1-x))=2 \times f(x)$
  • J'ai changé l'énoncé, car la preuve proposée par Jer marcherait encore.

    énoncé 9 :
    On prend $f(1-x^2)+f(1-x)=3 \times f(x)$
  • contrexemple a écrit:
    ... la preuve proposer par Jer marcher encore. 

    Voudrais-tu corriger aussi l'orthographe de cette phrase de sorte qu'elle soit intelligible ?
  • énoncé 10 :
    Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même tel que :
    $f(1-x^2)+f(1-x)+x=3*f(x)$ pour tout $x$ dans $[0,1]$ ?
  • énoncé 11 :
    Décrire une infinité (plus grande que $card(\R)$) de loi associative sur $\R$.
  • énoncé 12 :
    Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même, tel que :
    $f(1-x^2)+f(1-x)+e^{x}=2 \times f(x)$ ?
  • Concernant ton énoncé11, pour n'importe quelle bijection $f$ de $\R\to \R$, la loi $*_2 := f^{-1} (f(x)*f(y))$ a les mêmes propriétés que $*$. Tu devrais ajouter "non isomorphes" pour que la question soit intéressante.
  • Bravo, je n'attendais pas d'autre réponse.

    Pour non isomorphe, je ne sais pas répondre, et je rappelle que je ne mets que des questions auxquelles je sais répondre en quelques lignes.
  • énoncé 13 :
    Exprimer en fonction de $n$ un entier, la somme : $ \sum \limits_{ i \in\mathbb{[}0,n\mathbb{]} } {81}^{2^i} - 3^{2^i} $,

    Merci à jacquot
  • Ok, je répercute dans "il est facile de" pour "non isomorphes".
  • On a $81^{2^i}=(3^4)^{2^i}=3^{2^{i+2}}$.

    On a donc affaire à une somme téléscopique. (Chaque terme va en tuer un deux crans plus loin)

    Sauf erreur il reste donc le terme en $n$ plus celui en $n-1$ moins celui en $1$ et en $0$.

    Autrement dit la somme vaut : $3^{2^{n+2}}+3^{2^{n+1}} - 9 - 3.$
  • contrexemple écrivait :"Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés."

    énoncé 14 :

    Le nombre $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{2n+1}\rfloor}{10\times 3^n}$ est-il toujours entier ?

    On suppose $n \in \mathbb N$
  • @Cidrolin, et tu en as une preuve de quelques lignes ?
  • Oui, il me semble.
  • D'après mon programme sur Maple, il ne l'est pas entre [0,100].
    Attends je revérifie.
  • Maple refuse de faire le calcul, mais pour le calcul que j'ai pu faire, n=0,1,2. Cela semble marcher.
    Nous conseilles-tu l'usage de la calculette ou cela est-il inutile ?
  • C'est vous qui voyez ! Il y en a qui ont essayé. Ils ont eu des problèmes.
  • Est-ce, bien un problème de ton cru ?
  • Oui, le tout est de mon cru.
  • Ok, je reconnais que l'astuce que tu utilises pour résoudre ce problème je ne la connais pas, je te propose un échange de bon procédé choisis le problème que tu veux parmi ceux que je propose et je t'en donnerais la solution contre ta solution.

    Cela te va-t-il ?
  • Laissons les gens chercher. Et dans deux jours (en l'absence de réponses, ce que je ne crois pas) j'écris ma solution.

    Dans environ http://www.timeanddate.com/counters/fullscreen.html?mode=m&year=2016&month=1&day=14&p0=195

    Amicalement.
  • Il me semble pouvoir montrer que $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{n}\rfloor}{3^n}$ et que $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{2n+1}\rfloor}{10\times3^{2n+1}}$ est entier, me trompé-je ?
  • $29$ minutes pour trouver et proposer mieux.
  • Question :
    cette expression "il me semble avoir la preuve que ..." renvoie-t-elle à un concept mathématique particulier ?
  • Je pense que tu utilises les fractions continues, mais je n'ai pas trop l'habitude de les manipuler, donc j'attends ta solution ou celle d'un autre si elle est trouvée.
  • Cidrolin est un petit sioux, très cultivé, très porté sur l'American Monthly du 20ème siècle, je l'aime et lui souhaite une très bonne année.

    S
  • Je pense que tu utilises les fractions continues
    La quantité conjuguée est une meilleure piste.
  • @samok bonne année à toi.

    @GaBuZoMeu en effet.
  • Solution du problème 14 :

    Posons $q_1=45+\sqrt{2016}$ et $q_2=45-\sqrt{2016}$. On a $q_1+q_2=90$ et $q_1\times q_2=9$

    Le nombre $u_n=q_1^n +q_2^n$ est toujours entier. Puisque $0<q_2<1$, on a $u_n=\lfloor(q_1^n)\rfloor +1$.

    La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ vérifie $u_{n+2}=90u_{n+1}-9u_{n}$, avec $u_0=2$ et $u_1=90$ et on démontre facilement

    par récurrence que (i) $3^n|u_n$ et (ii) $10|u_{2n+1}$.

    Amicalement

    (six lignes avec le titre et le Amicalement)
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