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Bonjour, je bloque sur une question.
Soit X une v.a. intégrable. On suppose que X et -X ont la même loi. Soit $\Phi$ sa fonction caractéristique.
Montrer que $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\Phi(u)}{u^2}=\int_{\R} \frac{x^2}{2}f(x) dx$.
J'ai montré précédemment que $\Phi$ est à valeurs dans $\R$ et que $\Phi(\frac{1}{\sqrt{n}}) >0 $.

Merci d'avance et bonne journée.

Réponses

  • Je n'ai pas réussi mais on m'a dit d'utiliser $\lim\limits_{u \to 0} \frac{1 -cos(ux)}{u^2} =\frac{x^2}{2}$ pour tout x et $0 \le \frac{1 -cos(ux)}{u^2} \le \frac{x^2}{2}$....
  • Bonjour.

    Ton énoncé n'a pas de sens !
    Rad a écrit:
    Montrer que $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\Phi(u)}{u^2}=\int_{\R} \frac{x^2}{2}f(x) dx$
    La limite sur x porte sur une fonction qui ne dépend pas de x; dans le second membre, il y a un f(x) qui sort de nulle part.

    Cordialement.
  • Oui en effet, la limite est sur u et f est la densité de X. X est supposée centrée aussi.
    Vraiment désolé pour ces imprécisions...
    J'ai fait la suite ainsi que le début mais je bloque complètement sur cette question...
  • Encore désolé pour avoir oublié ces informations...
    Personne n'a d'idées?
  • Pourquoi ne pas écrire la relation entre Phi et f, par définition.
    Puis faire de même pour la v.a.r -X.
    Former l'expression à droite de l'égalité et penser à une intégration par partie.
  • Bonjour et merci pour votre aide.
    Cependant, j'ai une question : comment faire une intégration par parties si f est une densité (donc pas de classe $C^1$)?
    A moins que je n'ai pas bien compris l'argument ce qui est fort possible.

    Encore merci et bonne journée.
  • Finalement c'est bon! Merci beaucoup et bonne journée :)
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