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Décompositions d'Erdös-Straus et nombre RSA

Salut à tous
Soit n un nombre entier >= 2 et x,y, z des entiers naturels non nuls tels que:
4/n = 1/x + 1/y +1/z
Soient b et c des entiers naturels non nuls tels que:
x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + c
et
z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
[ ] = fonction partie entière
Soit n un nombre RSA
n = p*q
Pour tout nombre RSA on peut trouver b et c tels que:
z/(b*y) = p ; avec p et q différents de 2

J'attend un contre exemple

Bien à tous

Réponses

  • jumeaux a écrit:
    J'attend un contre exemple

    La France vient d'égaliser ! Cocorico !

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Exemple :
    Pour n = 791
    b = 2 c = 1 x = 1582 y = 227 z = 51302
    p = 113 ; q = 7
  • L'égalisation de la France n'est pas un contre exemple
    Je demande à tous de parler THEORIE DES NOMBRES
  • ... et de manière plus général pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 5 on peut trouver b et c tels que :
    4/n = 1/x + 1/y + 1/z

    n = 3 b = 2 c = 1 x = 6 y = 1 z = 6
    n = 5 b = 1 c = 1 x = 5 y = 2 z = 10
    n = 6 b = 1 c = 1 x = 6 y = 3 z = 6
    n = 7 b = 2 c = 1 x = 14 y = 3 z = 6
    n = 8 b = 1 c = 1 x = 8 y = 3 z = 24
    n = 9 b = 1 c = 1 x = 9 y = 4 z = 12
    n = 10 b = 1 c = 1 x = 10 y = 4 z = 20
    n = 11 b = 1 c = 1 x = 11 y = 4 z = 44
    n = 12 b = 1 c = 1 x = 12 y = 5 z = 20
    n = 13 b = 2 c = 1 x = 26 y = 4 z = 52
    n = 14 b = 1 c = 1 x = 14 y = 5 z = 70
    n = 15 b = 1 c = 1 x = 15 y = 6 z = 30
    n = 16 b = 1 c = 1 x = 16 y = 6 z = 48
    n = 17 b = 1 c = 1 x = 17 y = 6 z = 102
    n = 18 b = 1 c = 1 x = 18 y = 7 z = 42
    n = 19 b = 2 c = 1 x = 38 y = 6 z = 57
    n = 20 b = 1 c = 1 x = 20 y = 7 z = 140

    [Les 800 suivants dans le fichier joint. AD]
  • Creusons davantage
    Et si c = 1 ...

    pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 5 et pour c = 1, on peut trouver b entier naturel tel que :
    4/n = 1/x + 1/y + 1/z
    Et ma caractérisation devient:

    x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + 1
    et
    z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + 1) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + 1) – b*n )
  • Oups ! Heureusement que le forum est trop petit pour contenir la liste de tous les entiers naturels.
  • ... b dans un très grand nombre de fois appartient à l'ensemble {4;3;2;1}
    Et particulièrement pour les n carrés de nombres premiers on a b qui est particulier
  • Pour certains n de la forme 1 modulo 24 on a aussi un b particuliers:
    n = 2521 b = 12 c = 1 x = 30252 y = 644 z = 1217643
    n = 3361 b = 290 c = 1 x = 974690 y = 841 z = 28266010
  • Remarque: il y a assez de place pour un contre exemple
    Je reviendrai avec un programme qui décompose de "grands" nombres RSA en un temps record...
  • La conjecture d'Erdös-Straus a été vérifié jusqu'à 10^17 ... 2*(10^14) officiellement
    Mais là je stipule que ce record est facilement battu. Mieux le lien étroit avec les nombres RSA
  • Au fait il n'y a pas de contre exemple à çà:

    Soit n un nombre entier >= 2 et x,y, z des entiers naturels non nuls tels que:
    4/n = 1/x + 1/y +1/z
    Soient b et c des entiers naturels non nuls tels que:
    x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + c
    et
    z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
    [ ] = fonction partie entière
    Soit n un nombre RSA
    n = p*q
    Pour tout nombre RSA on peut trouver b et c tels que:
    z/(b*y) = p ; avec p et q différents de 2
  • Bonjour Jumeaux,

    Intéressant, mais je ne comprends pas tout :

    Comment trouves-tu $b$ ?
    Par exemple pour n=4, j'ai bien l'égalité d'Erdös avec $x = 2$ et $y=z=4$
    Ta formule pour $b$ ne fonctionne pas selon tes hypothèses.
    Comment prouves-tu que $b$ et $c$ existent tels que tu les définis ?

    Ensuite, ton "lien étroit" avec RSA n'a rien d'extraordinaire beaucoup des $p$ trouvés sont soit $1$ soit $n$

    ++,
    Foufoux
  • De toutes façons, si tu prétends casser RSA, c'est un peu trop tard pour gagner des dollars, mais tu peux te faire la main sur les challenges restants. Ca sera peut-être un peu plus impressionnant.
  • Foufoux:

    4/n = 1/x +1/y +1/z
    x = b*n
    4/n = 1/(b*n) +1/y +1/z
    4/n – 1/(b*n) = 1/y +1/z
    (4*b – 1)/(b*n) = 1/y +1/z
    1/y +1/z = (4*b – 1)/(b*n)
    1/y +1/z = (4*b – 1)*([b*n/(4*b-1)] + c) / ( (b*n)*([b*n/(4*b-1)] + c) )
    1/y+1/z = ((4*b-1)*([b*n/(4*b-1)]+c)–b*N+b*N) / ((b*n)*([b*n/(4*b-1)]+c))
    1/y+1/z =1/([b*n/(4*b-1)]+c) + ((4*b-1)*([b*n/(4*b-1)]+c)–b*N) / ((b*n)*([b*n/(4*b-1)]+c))
    Posons
    y = ([b*n/(4*b-1)] + c)
    z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
    Alors on retrouve:
    4/n = 1/x +1/y +1/z

    Remarque:
    il y a deux niveaux avec ma caractérisation
    Premier niveau: j'ai raisonné avec n >= 2
    Second niveau: c'est là où j'ai parlé de nombres RSA (je n'ai pas détaillé ici l'algo...)
  • Pour le deuxième niveau je vous en donne un aperçu:

    n = 6 q = 3 b = 1 c = 1 x = 6 y = 3 z = 6
    n = 9 q = 3 b = 1 c = 1 x = 9 y = 4 z = 12
    n = 10 q = 2 b = 1 c = 1 x = 10 y = 4 z = 20
    n = 14 q = 7 b = 2 c = 1 x = 28 y = 5 z = 20
    n = 15 q = 3 b = 1 c = 1 x = 15 y = 6 z = 30
    n = 21 q = 3 b = 1 c = 1 x = 21 y = 8 z = 56
    n = 22 q = 2 b = 1 c = 1 x = 22 y = 8 z = 88
    n = 25 q = 5 b = 4 c = 1 x = 100 y = 7 z = 140
    n = 26 q = 13 b = 10 c = 1 x = 260 y = 7 z = 140
    n = 33 q = 3 b = 1 c = 1 x = 33 y = 12 z = 132
    n = 34 q = 2 b = 1 c = 1 x = 34 y = 12 z = 204
    n = 35 q = 7 b = 2 c = 1 x = 70 y = 11 z = 110
    n = 38 q = 19 b = 5 c = 1 x = 190 y = 11 z = 110
    n = 39 q = 3 b = 1 c = 1 x = 39 y = 14 z = 182
    n = 46 q = 2 b = 1 c = 1 x = 46 y = 16 z = 368
    n = 49 q = 7 b = 2 c = 1 x = 98 y = 15 z = 210
    n = 51 q = 3 b = 1 c = 1 x = 51 y = 18 z = 306
    n = 55 q = 11 b = 3 c = 1 x = 165 y = 16 z = 240
    n = 57 q = 3 b = 1 c = 1 x = 57 y = 20 z = 380
    n = 58 q = 2 b = 1 c = 1 x = 58 y = 20 z = 580
    n = 62 q = 2 b = 2 c = 1 x = 124 y = 18 z = 1116
    n = 65 q = 13 b = 10 c = 1 x = 650 y = 17 z = 850
    n = 69 q = 3 b = 1 c = 1 x = 69 y = 24 z = 552
    n = 74 q = 37 b = 28 c = 1 x = 2072 y = 19 z = 1064
    n = 77 q = 7 b = 2 c = 1 x = 154 y = 23 z = 506
    n = 85 q = 5 b = 2 c = 1 x = 170 y = 25 z = 850
    n = 86 q = 43 b = 11 c = 1 x = 946 y = 23 z = 506
    n = 91 q = 7 b = 2 c = 1 x = 182 y = 27 z = 702
    n = 93 q = 3 b = 1 c = 1 x = 93 y = 32 z = 992
    n = 95 q = 19 b = 5 c = 1 x = 475 y = 26 z = 650
    n = 106 q = 2 b = 1 c = 1 x = 106 y = 36 z = 1908
    n = 111 q = 3 b = 1 c = 1 x = 111 y = 38 z = 1406
    n = 115 q = 5 b = 4 c = 1 x = 460 y = 31 z = 2852
    n = 118 q = 2 b = 1 c = 1 x = 118 y = 40 z = 2360
    n = 119 q = 7 b = 2 c = 1 x = 238 y = 35 z = 1190
    n = 121 q = 11 b = 3 c = 1 x = 363 y = 34 z = 1122
    n = 122 q = 61 b = 46 c = 1 x = 5612 y = 31 z = 2852
    n = 123 q = 3 b = 1 c = 1 x = 123 y = 42 z = 1722
    n = 129 q = 3 b = 1 c = 1 x = 129 y = 44 z = 1892
    n = 133 q = 7 b = 2 c = 1 x = 266 y = 39 z = 1482
    n = 134 q = 67 b = 14 c = 1 x = 1876 y = 35 z = 1340
  • Souvent on a b qui appartient à l'ensemble B = {4;3;2;1} et c = 1 (FONDAMENTAL)

    Pour les nombres RSA pairs on voit que b devient plus grand. Raison pour laquelle je les ai exclus de l'analyse. De toute façon un nombre RSA pair ne sera jamais utilisé en crypto.

    n = 26 q = 13 b = 10 c = 1 x = 260 y = 7 z = 140

    n = 38 q = 19 b = 5 c = 1 x = 190 y = 11 z = 110

    n = 74 q = 37 b = 28 c = 1 x = 2072 y = 19 z = 1064

    n = 122 q = 61 b = 46 c = 1 x = 5612 y = 31 z = 2852

    n = 134 q = 67 b = 14 c = 1 x = 1876 y = 35 z = 1340
  • La même remarque pour les nombres RSA n multiples de 5 :

    n = 815 q = 163 p = 5 b = 41 c = 1 x = 33415 y = 206 z = 42230
    n = 965 q = 193 p = 5 b = 28 c = 2 x = 27020 y = 245 z = 37828
    n = 1055 q = 5 p = 211 b = 11 c = 1 x = 11605 y = 270 z = 626670
    n = 1385 q = 277 p = 5 b = 40 c = 2 x = 55400 y = 350 z = 77560
    n = 1535 q = 307 p = 5 b = 26 c = 3 x = 39910 y = 390 z = 59865
    n = 1655 q = 5 p = 331 b = 17 c = 1 x = 28135 y = 420 z = 2363340
  • Je n'ai pas compris l'intérêt de tout ceci.

    Si tu avais trouvé une méthode révolutionnaire pour trouver la factorisation de ce que tu appelles un "nombre RSA" le plus convaincant ce serait comme l'a déjà indiqué Remarque de nous factoriser les nombres non factorisés qui subsistent du challenge RSA maintenant clos.

    Tu veux remplacer la recherche des facteurs par la recherche d'autres nombres qui permettraient de trouver les facteurs en question mais tu ne donnes aucunes indications que cette recherche n'est pas, au moins, aussi complexe que de factoriser un "nombre RSA".
  • Fin de partie:
    Vous avez parfaitement raison
    Justement "The game is over" pour quelques nombres de cette liste ...
    Avec c = 1 et b appartenant à l'ensemble {4;3;2;1} on factorise facilement un très grand nombre de nombres RSA

  • Au risque de me répéter, si tu parviens à factoriser un des nombres de l'ex-challenge RSA qui ne l'ont pas encore été, tu prouveras l'intérêt de tes considérations autrement tu te fais seulement plaisir.
  • Ok bien reçu Fin de partie
  • Par la même occasion je vais factoriser les centaines de nombres RSA que le Professeur RIVEST m'a remis (le R de RSA)
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