QDV 23: les questions du père Cubillo

Je pose volontiers en colle ce type d'exercice, qui a l'avantage de susciter des réponses erronées canoniques, non par plaisir de planter les élèves, mais comme un vaccin.

Exemple de telle réponse erronée : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }((2+\sqrt{3})^{n}\pi )=+\infty $, or $\sin x$ n'a pas de limite en $+\infty $, donc série divergente.

En fait, $2+\sqrt{3}$ est un nombre de Pisot, un entier algébrique qui est un réel >1 dont tous les conjugués sont des complexes de modules <1. "Tous les conjugués", ici c'est un seul conjugué, $2-\sqrt{3}$. Un tel nombre a ses puissances qui tendent vers $+\infty $, bien s\^ur, mais en se rapprochant d'entiers, avec convergence géométrique, en sorte que déjà : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\sin( (2+\sqrt{3})^{n}\pi) =0$, ce qui en fait un bon candidat pour la convergence, et en fait la série converge, à cause de la convergence géométrique.

On traite de m\^eme la série de terme général : $u_{n}=\sin ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}\pi) $, encore plus jolie puisqu'avec le Nombre d'Or. Et on peut en fabriquer ad libitum avec les nombres de Pisot, notamment de degré 3.

J'espère que l'on va trouver des choses sur le Père Cubillo, de Ceuta. Je vais demander à un pote de Dijon, qui est assez efficace sur ce genre de choses.

Bonne journée.
RC

Cubillo 2 me semble obscur, alors retour sur Cubillo 1 pour une solution plus détaillée.

Les réels $\alpha =2+\sqrt{3}$ et $\beta =2-\sqrt{3}$ sont les racines du polyn\^ome : $x^{2}-4x+1=0$.
Pour $n\in \N$, soit $s_{n}=\alpha ^{n}+\beta ^{n}$.
On a : $s_{0}=2$, $s_{1}=4$, $s_{n+2}=4s_{n+1}-s_{n}$, d'où il suit que $s_{n}$ est un entier positif pair.
En conséquence : $u_{n}=\sin (\alpha ^{n}\pi )=\sin (s_{n}\pi -\beta ^{n}\pi )=-\sin (\beta ^{n}\pi )$.
Et comme $0<\beta <1$, c'est terminé.

J'ai eu la chance d'\^etre l'élève de Charles Pisot (1910-1984) en DEA en 1980, la dernière année avant sa retraite. C'était un homme d'une grande humanité, avec un fort accent alsacien. Il ne parlait jamais de "nombre de Pisot", il disait "élément de $S$" car il avait dénommé $S$ leur ensemble, en hommage à Raphaël Salem (1898-1963), qui avait aussi étudié ces nombres.

Ces nombres peuvent donner pas mal de petits problèmes, style compétition. Par exemple : dans l'écriture décimale du nombre $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{^{2013^{2013}}}$, quel est le chiffre qui précède la virgule, et quel est le chiffre qui la suit ?

Bon après-midi.
RC