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Equations avec congruences

il faut que résoudre les équations avec congruences
suivantes :
3x congru 7 (mod 16)
2001x congru 2002 (mod 1789)
2001x congru 1789 (mod 2001)
3x+4 congru 5x+7 (mod 31)
3x+4 congru 5x+7 (mod 2)
4x congru 3 (mod 16)

Pour 3x congru 7 (mod 16) :
Je sais qu'il faut faire
3x congru 7 (mod 16)
ax congru b (mod m)
a^m=d (la on cherche le plus grand diviseur commun de a et
m)
d=1
Si b est divisible par d donc là 7/1=1 est possible alors
il y a d=1 possibilité
Mais je capte pas comment sortir ces possibilitées de x.
Merci

Réponses

  • <HTML>En gros il faut décomposer le modu en facteur premiers et résoudre la congruence pour chacun de ces facteurs premiers.
    Pour un p^n on procède pour p puis on fait par récurrence jusqu'à obtenir p^n
    Je pense que ca devrait marcher
  • <HTML>Bonsoir,

    1) 3x=7(16)
    multiplie par 5 : 15x=35(16) ie -x=3(16) donc x=-3(16)
    solutions : x=-3+16k (k dans Z)

    2) 2001x=2002(1789)
    1789 est premier
    voici une solution
    Le but est, par des multip^lications, d'enlever le facteur 2001 et le réduire à 1.

    Réduisons l'équation tt d'abord (mod 1789):
    212x=213(1789)
    [1789/212]=9 on multiplie par 9
    1908x=1917(1789)
    119x=128(1789)
    [1789/119]=16 on multiplie par 16 et on réduit
    115x=259(1789)
    ...
    on aboutità
    x=1309(1789)

    je te laisse l'autre

    3) 3x+4=5x+7(31)
    donne
    2x=-3(31)
    multipliant par 15
    30x=-45(31)
    -x=17(31)
    x=-17=14(31)
  • <HTML>Dans la quatrième on a :
    3x+4=5x+7 mod 2
    0=1 mod 2 ce qui est impossible et il n'ya donc pas de solutions
    Enfin dans la dernière on a 4x est pair et donc 4x-3 est impair. En particulier 1- ne peut le diviser et donc il n'y a toujours pas de solutions.
  • <HTML>Un peu plus simple que ce que je disais (mais cela revient au même heureusement):

    par exemple:
    2001x=2002(1789)
    réduit
    212x=213(1789)
    on cherche alors y tel que : 212y=1(1789)
    (car on veut "effacer" le coef 212)
    cela revient à résoudre la diophantienne
    212y-1789z=1
    on trouve : y=-481(1789)
    on multiplie alors l'équation par -481 :
    -101972x=-102453(1789)
    soit
    x=1309(1789)

    voila voila
  • <HTML>Il y a des choses que je ne comprends pas
    comme :

    1)
    3x=7(16)
    multiplie par 5 : 15x=35(16) ie -x=3(16) donc x=-3(16)
    solutions : x=-3+16k (k dans Z)

    Pourquoi on multiplie par 5
    Comment de 15x=35(16) tu passes à -x=3(16)

    2)
    2001x=2002(1789)
    réduit
    212x=213(1789)
    on cherche alors y tel que : 212y=1(1789)
    (car on veut "effacer" le coef 212)
    cela revient à résoudre la diophantienne
    212y-1789z=1
    on trouve : y=-481(1789)
    on multiplie alors l'équation par -481 :
    -101972x=-102453(1789)
    soit
    x=1309(1789)

    Comment tu passes de 2001x=2002(1789) à 212x=213(1789)
    Et comment tu passes de 212y-1789z=1 à y=-481(1789)
    Et enfin -101972x=-102453(1789) à x=1309(1789)

    Merci
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