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Loi de réciprocité quadratique

Titre initial : loi de réciprocité quadratique et agrégation.
[Un titre doit être concis, tu postes dans la rubrique "Concours". :) AD]

Bonsoir à tous!
Est ce que quelqu'un pourrait me renseigner sur les pièges à éviter lorsqu'on propose dans son plan la loi de réciprocité quadratique ? Je pense même présenter la démonstration de ce résultat en développement... Merci d'avance !!

Réponses

  • Bonsoir,
    Pas vraiment des pièges à éviter mais des conseils pour d'éventuelles questions :
    - se renseigner sur le symbole de Jacobi (généralisation du symbole de Legendre).
    - savoir l'utiliser rapidement en pratique.
    - savoir calculer la signature de la multiplication par q modulo p (où p et q sont premiers impairs et différents).
    - sûrement plein d'autres chose encore :-)
  • Les conseils de PB sont de bon sens.

    Il existe une multitude de documents en ligne sur ce sujet, comme celui-ci :

    http://math.arizona.edu/\~{}jschettler/QuadraticReciprocity.pdf

    Comme toutes les leçons de mathématiques, ne pas oublier de :

    (i) Bien connaître son sujet et savoir démontrer (d'autant qu'ici il y a pas mal de preuves possibles).

    (ii) Fournir des applications, si possible variées.

    (iii) Montrer un zeste de culture en évoquant des sujets annexes : le symbole de Legendre se généralise en un symbole de Jacobi--Kronecker (rappelons que l'on prolonge ce symbole à $\mathbb{Z}$ tout entier en posant $(n/p)=0$ si $p \mid n$), qui n'est ni plus ni moins que le caractère de Dirichlet associé au corps quadratique dont le discriminant est la valeur absolue du module du caractère. Ce caractère intervient dans la formule du nombre de classes de Dirichlet, qui elle-même sert à calculer le nombre de classes du corps.

    Beaucoup de démonstrations modernes de la loi de réciprocité quadratique utilisent les sommes de Gauss, ce qui donne un bon prétexte pour parler de cet outil devenu aujourd'hui indispensable.

    Sans entrer dans les détails, il peut être bon de savoir qu'il existe des réciprocités plus "élevées" : loi de réciprocité cubique, loi de réciprocité d'Eisenstein.

    Il me paraît en revanche inutile d'évoquer la loi qui englobe tout ça : la loi de réciprocité d'Artin, qui prend sa source dans les entrailles de la théorie du corps de classes. Les pièges sont ici nombreux.

    L'une des références sur ce sujet est le livre suivant :

    http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/\~{}hb3/rec.html


    Borde.
  • Bonsoir! Merci pour vos conseils. Par contre je ne trouve pas énormément d'applications de ce résultat. On peut s'interesser aux diviseurs de a²+b² où a et b premier entre eux ou encore le théorème qui relie signature et symbole de Legendre mais je trouve ça un peu tiré par les cheveux.
  • Bah, savoir si 3 est un carré modulo 7919, par exemple; c'est une application... c'est beau non ?
  • Francinou et Gianella donnent quelques applications à des théorèmes rigolos, ainsi que le Parent.
    Ne me demandez pas plus de précisions, j'ai rangé tous mes bouquins. Allez, quelqu'un d'autre ?

    Amicalement
    Volny

    P.S.
    3 n'est PAS un carré modulo 7919 et si! merci PB.

    (et 7919 n'est pas un carré modulo 3) et aucun de ces deux résultats n'est une application de la loi de réciprocité quaratique 8)
  • 3 n'est PAS un carré modulo 7919
    Pourtant $3023^2\equiv 3 \mod 7919$ :S
    aucun de ces deux résultats n'est une application de la loi de réciprocité quaratique
    Ce n'est pas la loi de réciprocité quadratique qui m'a donné cette racine carrée, mais c'est elle qui m'a dit qu'elle existait :S
  • Oups, les vacances ont déjà frappé...

    Je ne suis plus capable de réfléchir plus de 30 secondes d'affilées, bonnes vacances à tous.

    Merci PB pour m'avoir réveillé, le soleil tape fort, je risquais l'insolation.

    Des précisions sur d'autres applications ? Moi, je ne dis plus rien sur le sujet jusqu'à la reprise des cours, mon potager m'attend.

    Volny
  • Bonnes vacances alors :)
  • Bonjour

    Je reprend ce Fil , et j'essai de résoudre le problème suivant dans toute sa généralité : Etant donné deux entiers a et b :
    CNS pour que a soit un résidu quadratique modulo b ?
    NB/ Je suis actuellement isolé à la maison à cause des inondations , et je fais un peu d'arithmétique.
    Cordialement et Merci d'Avance
  • On écrit $b=p_1^{m_1}...p_r^{m_r}$. Alors $a$ est un carré modulo $b$ si et seulement si $a$ est un carré modulo $p_i^{m_i}$ pour tout $i$ (thm chinois).

    Donc il suffit de savoir répondre à la question pour $b=p^m$.

    Pour simplifier, je suppose que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

    Si $p>2$ , alors $a$ est un carré modulo $p^m$ si et seulement si $a$ est un carré modulo $p$ (je sais justifier ça avec les $p$-adiques, mais il doit y avoir plus simple). Dans ce cas on utilise le symbole de Legendre, pas de problème .

    Si $p=2$: si $m=1,2,3 $, on connait les carrés modulo $2^m$ (on calcule à la main). Maintenant si $m\geq 3$, il me semble que $a$ est un carré modulo $2^m$ si et seulement si $a$ est un carré modulo $8$...et les carrés modulo 8, on les connaît.

    Et voilà, c'est plié!
  • RE


    Merci , je vais reprendre tout ça avec un stylo et du papier , pour moi c'est l'équivalent d'un devoir .


    Merci encore une fois
  • Je donnerai une chose à savoir que je Jury te demandera surement:
    Mais à quoi sert la loi de réciprocité quadratique?

    Mise à part le calcul des symboles, il faudra trouver une application convaincante! Bien sur, savoir calculer des symboles est important!
  • Un des pièges de certaines démonstrations, est d'écrire des tas d'égalités ou d'expressions sans savoir dans quoi vivent les termes employés.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Bonjour


    Ca sert à beaucoup de choses, je ne suis pas spécialiste mais j'ai entendu dire que la loi de Réciprocité quadratique a donné naissance à la Théorie du corps de classe puis au programme de LANGLANDS ..



    Merci
  • Bonjour

    Je suis entrain de travailler la Réciprocité Quadratique , j"avoue que c'est difficile à assimiller :

    _ Peut on travailler dans Z ?

    _ En quoi le symbole de Lagrange généralise t-il celui de Legendre ? les théorèmes ne sont plus valables ,notament celui qui sert à déduire que x est un résidu qudratique .

    Merci
  • Bonjour,

    Pouvez vous m'en dire plus sur l'application :"signature de la multiplication par q modulo p" s'il vous plaît.

    Bien à vous.
  • Ah c'est une preuve alternative ! D'accord.
  • Le lien ne marche pas pour moi.
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