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Proposition suffisante mais pas nécessaire

Bonjour,

Je connais des proposisions nécéssaires mais pas suffisantes, par exemple : $\displaystyle {\sum_n u_n}$ converge $\Rightarrow$ $\displaystyle {\lim_{n \to \infty} u_n = 0}$

Je connais également des propositions nécessaires et suffisantes, par exemple : $f$ est de classe $C^1 \Leftrightarrow$ les dérivées partielles de $f$ existent et sont continues.

Mais existe-il des propositions suffisantes mais non nécessaires ? Si oui, pourriez-vous m'en donner un exemple, en algèbre ou en analyse ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • Pour rester dans l'exemple série, $u_n=o(n^{-2})$ est une condition suffisante, non nécessaire pour que la série de terme général $u_n$ converge.
  • En analyse : la convergence normale d'une série est une condition suffisante de convergence uniforme, mais elle n'est pas nécessaire.
    En algèbre : la propriété pour une famille de polynômes d'être de degré deux à deux distincts est suffisante pour assurer la linéaire indépendance, mais ce n'est pas nécessaire.
  • Facile : Si $f$ est une fonction polynomiale de la variable complexe $z$, alors elle est holomorphe. C'est suffisant mais pas nécessaire.

    Autre exemple : si $f$ est dérivable alors elle est continue.
  • Le cinéma coûte 6 euros. Ainsi, "avoir 8 euros dans ma poche" est une assertion suffisante pour me payer le cinéma.


    Borde.
  • Ok. Merci à tous pour vos réponses :)

    Et bonne et joyeuse année à tous ! ;)
  • borde écrivait:
    > Le cinéma coûte 6 euros. Ainsi, "avoir 8 euros dans ma poche" est une assertion suffisante pour me payer le cinéma.


    Quelle coïncidence, j'avais pensé à cet exemple il y a quelques années, je n'ai jamais pu le faire comprendre à mes étudiants. Il ne leur viendrait pas à l'idée d'aller « taper » leurs parents en disant « Donnez-moi 10 euros, ça me suffira », leur formulation est systématiquement « Donnez-moi 10 euros, il me les faut. »
    Formule malheureuse qui entretient la confusion entre ce qui est nécessaire et ce qui est suffisant.
  • La convergence de la suite $(u_n)$ vers $0$ est une condition nécessaire pour avoir la convergence de la série associée.

    La convergence de la série est une condition suffisante pour avoir la convergence vers $0$ de la suite associée.
  • Olivier, le cinéma est vraiment à 6€ en Auvergne ou c'est juste pour l'exemple ? Parce que quand je suis allé voir Avatar en 3D lundi dernier, ça m'a quand même coûté 9,10€ avec ma carte ANPE...
  • Chez moi, on trouve des places à 4,80 €...
  • Sylvain, exile-toi à Nancy, c'est 5,80 euros pour les étudiants et les chômeurs toute la semaine (et c'est pas des manchots en théorie des nombres en plus!).
  • {\it « Donnez-moi 10 euros, ça me suffira », leur formulation est systématiquement « Donnez-moi 10 euros, il me les faut. »
    }

    Ce problème, bien soulevé par gb, est fortement récurrent chez les élèves d'aujourd'hui, où les rudiments de logique ne sont plus enseignés en lycée comme avant.

    Ces erreurs se retrouvent également dans les matières littéraires, ou, plus généralement, dans les disciplines faisant faire des dissertations, où les confusions causes--conséquences sont légions.

    Sylvain,

    J'ai envoyé mon fils au cinéma voir avatar et cela lui a coûté au moins 8 euros (td)


    Borde.
  • @Lucas : Nancy, c'est là que travaille Anne de Roton je crois, non ?

    @Borde : je ne sais pas quel âge a ton fils, mais 8€ pour voir Avatar même en 3D ce n'est pas donné pour un jeune.
  • Pour que lim (u_n)=0 il suffit de vérifier Sum (u_n) converge.
  • Bruno_1 a écrit:
    Je connais des propositions (sic) nécéssaires mais pas suffisantes, par exemple : $ \displaystyle {\sum_n u_n}$ converge $\Rightarrow$ $ \displaystyle {\lim_{n \to \infty} u_n = 0}$

    Dans ce cas tu connais des conditions suffisantes mais pas nécessaires. Il y a une dualité parfaitement évidente entre condition nécessaire et condition suffisante en renversant le sens de lecture.

    Ta phrase peut aussi bien se lire "la limite nulle de la suite est une condition nécessaire à la convergence de la série" (comme tu l'as fait) que "la convergence de la série est une condition suffisante à la limite nulle de la suite" (comme l'ont fait roger, gb ou Sylvain sur des exemples extrêmement similaires).

    C'est d'ailleurs assez remarquable que tu aies spontanément pensé à lire ton implication de droite à gauche. Puisque tu as compris ce qu'était une condition nécessaire non suffisante, tu as tout compris (tu sais lire de droite à gauche, or "tout le monde" sait lire de gauche à droite).
  • @{\it @Borde : je ne sais pas quel âge a ton fils, mais 8€ pour voir Avatar même en 3D ce n'est pas donné pour un jeune}

    Tu as raison, et c'est même un vrai scandale !


    Borde.
  • Lucas a écrit:
    ...exile-toi à Nancy, c'est 5,80 euros pour les étudiants....

    Ah non, plus maintenant....c'est 6,10 euros. :X
  • > Nancy, c'est là que travaille Anne de Roton je crois, non ?

    Oui, mais sans lui manquer de respect je crois qu'on peut dire que la théorie des nombres à Nancy est plus connue par G.Tenenbaum, dont tu dois connaître le livre, non?

    @X^2 : j'ai quitté ma Lorraine d'adoption et suis revenu à Paris il y a un an, et ici le tarif standard c'est 10 euros. N'étant plus étudiant j'ai dû faire un emprunt pour voir "Là-haut" avec les lunettes 3D. Reste en Lorraine.
  • si une fonction est derivable alors elle est continnue. C est une condition suffisante mais pas necessaire.
  • Bravo, Bachiri !

    2 ans pour répondre à une question à laquelle il a déjà été répondu ! C'est du rapide !
  • Pas sympa Gérard.;)
  • Surtout qu'entre temps, le ticket de cinéma a encore dû augmenter...
  • Bonne nuit,

    Pas autant que les fruits et légumes ! (Surtout chez Edouard Leclerc)

    Bien cordialement.
  • Zephir,

    n'est-ce pas une bonne action d'apprendre aux intervenants de ne pas répondre à tort et à travers ?

    Cordialement.
  • Mais si bien sûr Gérard ;)
    Ceci dit, chacun a sa manière et nous sommes tous de bonne volonté, même si certains en doutent quelquefois.

    Amicalement,
    zephir.
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