centre de gravité et intégrale

Bonjour Kushi,

Si mes souvenirs de mécanique sont corrects, il me semble pour une "plaque" (i.e une surface et épaisseur négligeable) de masse $M$, on a que l'abscisse du centre de gravité $G$ donnée par la formule :

$$x_G=\frac{1}{M}\int_a^b x\,dm=\frac{1}{M}\int_1^2 xf(x)\rho\,dx=\frac{1}{M}\int_1^2 x^3\rho\,dx$$
Car $dm=f(x)\rho\,dx$ et en on peut aussi utiliser le fait que dans le cas d'un $\rho$ constant on a que $\dfrac{\rho}{M}=\dfrac{1}{V}$
Par contre le problème reste de définir la "masse" d'un tel objet, mes connaissances en méca (et déjà à l'époque ) étant quasi-nulles, je ne m'avancerai pas plus.

En espérant t'aider

Merci Gérard pour ta remarque, effectivement la masse $M$ me "bloquait" mais ce n'est rien d'autre que la surface pour une densité de masse $1$.

Merci encore, ça permet de réconcilier mes "connaissances" en méca et les maths que je fais tous les jours.

Cordialement

Salut Bruno.

J'espère qu'un physicien ne va pas passer par là, car tu viens de définir le "centre de masse" (autrefois appelé "centre de gravité"), dont on prouve ensuite qu'il est le point qui minimise les moments d'inertie, donc est effectivement le centre d'inertie

J'espère que Kushi se manifestera pour nous dire ce dont il a besoin.

Cordialement

Eh oui !

Les "mécaniciens" sont des matheux (essentiellement), pas des physiciens !

Mais après tout, on n'est pas obligé d'unifier les noms, et "centre de gravité" me va très bien.

Cordialement

Bonjour,

Les formules de GERARD sont jolies, mais je n'aime pas trop appliquer des formules sans en avoir une représentation palpable.

Pour traiter ce problème, je découperais la plaque en bandes verticales d'abscisse moyenne $x_i$, de hauteur $x_i^2$ et de largeur infime $\Delta x$

Le centre de gravité de chaque bande a alors pour coordonnées $(x_i;x_i^2/2)$
Si la densité de la plaque est 1, la masse de chaque bande sera $x_i^2.\Delta x$
Les coordonnées du centre de gravité de la plaque seront les moyennes pondérées des abscisses et ordonnées des centres de gravité de ces bandes.

d'où:
$ x_G = \dfrac {\int _a^b x.x^2 dx}{\int _a^b x^2 dx}$ et $ y_G = \dfrac {\int _a^b \frac {x^2}{2}x^2 dx}{\int _a^b x^2 dx}$