Suite de Syracuse

Bonjour
Sur ce site
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=180941&t=180941&gt;
Le post du 20 juillet 2005 à 5h 17 fait apparaitre la formule évoquée par Magnat Leo.

Bonne recherche

Bonjour Magnat Leo,
tu en es où de ton TIPE ? une chose est sûre, c'est que l'étude du vecteur parité conduit à beaucoup de résultats et pousse à partitionner en classes mod 2^k : c'est l'axe de travail le plus répandu. je le recommande donc.

Jules, tu es dans les parages ?
je me replongeais dans ta démo et je bute déjà sur la dernière ligne du chapitre 2 : ce n'est malheureusement pas assez justifié. Autant il vrai que le dernier élément d'un VRM, s'il est impair, vérifie N(i)<2*N(1), autant pour les impairs non indéterminés sur le vol, ce n'est pas justifié. Du coup le chapitre 3 est peut être faux.
J'ai relu également le poste "puissances de 2 et 3" tout y est vrai, mais on aurait pu l'écrire en 2 lignes :
si pour B(n) donné, 2^A(n)>3^B(n) avec A(n) max, comme B(n)=E[A(n)*ln(2)/ln(3)] et A(n)=E[B(n)*ln(3)/ln(2)], si A(n+1)=A(n)+2, alors B(n+1)=1+E[(E[B(n)*ln(3)/ln(2)]+2)*ln(2)/ln(3)].
On peut relancer la discussion si tu veux.

Salut Jules !

même si c'est vrai (n_i<2n_1), ça manque de justification. Même si c'est vrai (et ça l'est) à partir du moment où ce n'est pas clairement justifié, je considère que c'est faux. Et ici il n'est écrit nulle part que c'est vrai pour les impairs non terminaux.

De mon côté, j'ai continué de temps en temps. Comme je développe des librairies en C pour la manipulation de grands nombres, de temps en temps je les teste sur Syracuse, ça m'amuse.

Je te cite :
« Autant il vrai que le dernier élément d'un VRM, s'il est impair, vérifie N(i)<2*N(1), autant pour les impairs non indéterminés sur le vol, ce n'est pas justifié. Du coup le chapitre 3 est peut être faux. »

Quel que soit x, le vol initié par 4x+3 est rasant jusqu’au deuxième impair
On obtient la suite : 4x+3, 12x+10, 6x+5,18x+16, 9x+8
Les impairs 4x+3 et 6x+5 sont respectivement < 2(4x+3)
La parité du dernier terme 9x+8 est fonction de la parité de x et puisque 9x+8>2(4x+3) nous rendons ce terme pair en remplaçant x par 2x
On obtient la suite : 8x+3, 24x+10, 12x+5, 36x+16, 18x+8, 9x+4
Les 5 premiers termes ce cette suite sont les transformés des 5 termes de la précédente par l’opération x en 2x et par conséquent les impairs 8x+3 et 12x+5 sont < 2(8x+3)
Puisque 9x+4<2(8x+3) nous rendons ce terme impair en remplaçant x par 2x+1
On obtient la suite : 16x+11, 48x+34, 24x+17, 72x+52, 36x+26, 18x+13, 54x+40, 27x+20 qui détermine un VR jusqu’au 3ème impair.
Les 6 premiers termes de cette suite sont les transformés des 6 termes de la suite précédente par l’opération x en 2x+1 et par conséquent les impairs 16x+11, 24x+17, 18x+13 sont <2(16x+11)
On obtient ainsi une série de suites dont chacune se déduit de la précédente par une transformation des termes qui n’affecte pas, pour les impairs, la relation N(i)<2N(1)

Je pense que tu sauras mieux que moi formaliser ce résultat

Bonjour,
\begin{enumerate}
\item Je ne suis qu’un modeste amateur qui de plus n’a aucune pratique de l’Anglais.
Il y a trois ans nous avions entamé ici une étude avec quelques participants au Forum dont Kashmir en particulier.
\item Vous pourrez trouver quelques-unes de nos discussions en utilisant le moteur de recherche en tapant mon nom « Jules Renucci » ou bien le pseudo « Kashmir »
\item Ma démarche est très scolaire et utilise essentiellement des procédures de calcul et j’ai de la peine à formaliser mes résultats.
\item Il n’en est pas de même pour Kashmir qui lui est un pur mathématicien et qui est un de éléments moteurs de ce forum.
\end{enumerate}
Voilà pour la présentation.

En ce qui me concerne je vous livre les éléments principaux de mon « étude »
\begin {enumerate}
\item J’utilise l’algorithme de Syracuse en ne m’intéressant qu’aux nombres de la forme $4x+3$
\item Dans les suites engendrées par l’application de l’algorithme je m’intéresse principalement aux nombres impairs.
\item Je note $n_i$ l’impair de rang $i$ et $s_i$ le nombre de pairs qui précèdent $n_i$
\item Par exemple, dans la suite $7,22,11,34,17,52,26,13,40,$
\item $n_1=7, n_2=11, n_4=13$ et $s_1=0, s_2=1, s_4=4$
\item J’ai montré qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un vol reste en altitude au rang $i$ des impairs est $ s_i\leq E (i-1)\frac{\log(3)}{\log(2}$
\item J’appelle Vol Rasant tout vol qui quelque soit $i< p$ engendre le maximum de pairs jusqu’à l’impair de rang $p$. Le vecteur paritaire d’un tel vol est $(1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,\ldots)$ La suite n’est bien entendu pas périodique.
\item La suite des $s_i$ pour un Vol Rasant est : $0,1,3,4,6,7,9,11,12,14,15,17,19,20,22,\ldots$
\item J’ai montré que cette suite coïncide avec la suite $E\big(i\cdot \frac{\log(3)}{\log(2)}\big)$
\item Une propriété des vols rasant jusqu’au rang $p$ des impairs est le fait que quelque soit $i\leq p$ on a $n_i< 2n_1$
\end{enumerate}
Voilà quelques éléments de mon travail qui, je le redis, est celui d’un amateur qui tatonne.

Bien cordialement

[Corrigé selon ton indication + quelques modifs de mise en page AD]

Kashmir, je retire donc "élément moteur" mais le remplace par "élément de référence". Es-tu satisfait ou bien dis-je encore une bêtise?

Kashmir salut!

J'ai avancé sur Syracuse, du moins je crois.
J'aurais besoin de ton avis.
Je pense avoir montré que tout vol initié par un impair de la forme n_1= 4x+3 ne peut demeurer en altitude au delà d'un rang des impairs supérieur à 3*n_1+1.
Je ne peux croire qu'il n'y ait pas de faille dans mon raisonnement et c'est la raison qui me fait solliciter ton concours si tu as un peu de temps.
J'attendrai que le Latex fonctionne à nouveau pour transcrire les éléments de ma démo.

bien amicalement

Merci Kashmir.
Dès que Latex fonctionnera je présenterai mon travail. J'aboutis à une conclusion, celle qui figure dans mon post ci-dessus, dont je n'ose envisager la portée si mes calculs sont exacts et c'est pour cela que je suis sûr qu'il y a plus d'une faille.
Peux-tu me dire quel est le domaine de recherche de Collatzfan?

Latex ne fonctionne toujours pas.. ; Je poste mon texte tel qu’il a été prévu avec Latex.

Je résume les quelques résultats que j’ai pu obtenir et je demande aux amis de Syracuse (toi Kashmir, en particulier, et si Benoît est toujours dans les parages)) qu’il veuillent bien me donner leur opinion voire quelques suggestions quitte à me dire que je tourne en rond, que mes résultats sont connus, etc.

{\bf 1- Préambule et notations} :

J’applique l’algorithme aux nombres $n=3 \pmod 4$ . Soit $n_1$ un tel nombre.
Dans la suite de Syracuse appliquée à $n_1$ je désigne par $i$ le rang d’un impair $n_i$ quelconque, par $s_i$ le nombre de pairs qui précèdent $n_i$.
On obtient facilement la formule générale :
$$n_i=\frac{3^{i-1} n_1 +A_i(n_1)}{2^{s_i}}$$
Qui peut s’écrire :
$$n_i-n_1 =\frac{(3^{i-1}-2^{s_i})n_1 + A_i(n_1)}{2^{s_i}}$$
Pour simplifier l’écriture on écrit $A_i$ au lieu de $A_i(n_1)$

{\bf 2- Résultats obtenus} :

{\bf 2A- Vol Rasant (VR)}
{\bf Définition} : On appelle vol rasant jusqu’au rang $p$ des impairs tout vol pour lequel chaque impair $n_i$ est précédé d’un nombre maximum de pairs. ($i\leq p$)

A chacune des étapes impaires d’un tel vol on a $ s_i= E((i-1) \dfrac{\log(3)} {\log(2)})$
Nous noterons le deuxième membre $e_{i-1}$ donc $s_i=e_{i-1}$

{\it Exemple} : Le vol initié par le nombre $941051$ est un VR jusqu’au 13ème impair :
(Je désigne par la lettre $p$ les emplacements des pairs.)

941051,p,1411577,p,p,1058683,p,1588025,p,p,1191019,p,1786529,p,p,1339897,p,p,
1004923,p,1507385,p,p,1130539,p,1695809,p,p,1271857,p,p,953893

Le vecteur parité jusqu’au rang 13 s’écrit : (1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0, 1,0,1,0,0,1,0,0,1)
La suite des $s_i$ est : 0,1,3,4,6,7,9,11,12,14,15,17,19

Je pense avoir montré que les suites $s_i$ et $e_{i-1}$ coîncident.

{\bf Propriété des VR} : Pour tout VR jusqu’au rang $p$ des impairs on a : $n_i<2n_1$ avec $i\leq p$ (démontré)
{\it Conséquence} : Un VR initié par $n_1$ ne peut demeurer en altitude au-delà du rang $2n_1-1$ des impairs.

{\bf 2B- Vol en Haute Altitude (VHA)} : On appellera VHA tout vol qui jusqu’au rang $p$ des impairs est tel que chaque impair $n_i$ est précédé d’un nombre minimum de pairs.
Le vecteur parité d’un tel vol est évidemment : (1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1...)

En conséquence : Tout Vol en Altitude (VA) se situe entre un VR et un VHA en ce qui concerne le nombre de pairs rencontrés avant chaque impair.
Pour tout VA jusqu’au rang $p$ des impairs on a la relation :
$$ i-1 \leq s_i \leq e_{i-1}$$ avec $i\leq p$

{\bf 2C-} Tant qu’un vol demeure en altitude ($n_i>n_1$)
$$3^{i-1}-2^{i-1} \leq A_i < (i-1)3^{i-2}$$
L’expression de $A_i$ est complexe ( voir post ci-dessus). Le fait d’avoir une majoration et une minoration de $A_i$ semble intéressant.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un vol demeure en altitude est :
$$3^{i-1}>2^{s_i}$$
Cette CNS est déterminante. Je pense sincèrement l’avoir démontrée. Que l’on me dise si c’est du déjà vu. Merci.

{\bf 3-} En partant de la CNS $3^{i-1}>2^{s_i}$ pour qu’un vol demeure en altitude et en revenant à la formule établie au premier paragraphe il en résulte que dès que le vol chute la quantité $n_1(3^{i-1}-2^{s_i})$ devient négative et que sa valeur absolue est donc supérieure à $A_i$
Toutes les simulations que j’ai pu faire font apparaître le fait suivant :
La valeur absolue de $n_1(3^{i-1}-2^{s_i}$, en altitude ou après la chute, est non seulement supérieure à $A_i$ mais aussi à sa majoration $(i-1)3^{i-2}$

Je vais donc tenter de montrer que, en particulier, tant qu’un vol demeure en altitude on a :
$$n_1(3^{i-1}-2^{s_i})> (i-1)3^{i-2}$$
(Le fait que pour un vol qui passe de l’altitude à la chute, la valeur absolue de $n_1(3^{i-1}-2^{s_i})$ soit supérieure à $A_i$, incite à penser que cette relation est également vraie avant la chute, ce que confirment les simulations)

{\bf Préambule} : On peut montrer simplement que :
Si $n_1$ ( de la forme $4x+3$, rappelons le) atteint le rang $i$ des impairs en demeurant en altitude, tout $n$ de la forme $n=n_1+k*2^{s_i+1}$ atteint le même rang $i$ avec le même vecteur parité jusqu’au rang $i$

{\it Exemple} : $31$ atteint le rang $6$ des impairs avec $s_6=6$. Il en est de même pour tout nombre de la forme $n=31+k 2^7$. En particulier les nombres $159,287,415,543$ ont même vecteur parité que $31$ jusqu’au rang $6$ des impairs.

{\bf Conclusion} : Il existe une infinité de nombres $n$ qui atteignent un rang donné $i$ avec un Vecteur Parité donné jusqu’au rang $i$
Pour les nombres cités ci-dessus le vecteur parité commun est :
(1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1)

{\it Démonstration} :
Soit un Vol en altitude (VA) initié par $n_1$ jusqu’au rang $i$ des impairs.
Considérons l’expression $1-\dfrac{i}{3 n_1}$
Montrons que l’inégalité :
$$\frac{2^{s_i}}{3^{i-1}}> 1-\frac{i}{3 n_1}$$ est impossible lorsque $i< 3n_1$
Cette inégalité conduit à
$$n_1<\frac{i}{3(1-\frac{2^{s_i}}{3^{i-1}})}$$
Si cette inégalité est vraie, elle conduit à conclure qu’il existe une borne supérieure pour tout nombre $n_1$ qui initie un VA jusqu’au rang $i$ des impairs. Or nous savons (voir préambule) qu’il existe une infinité de nombres qui atteignent ce rang $i$ avec le même vecteur parité. En fait il s’agit de la classe des $n_1 \pmod{ 2^{s_i+1}}$ Il n’existe donc pas de borne supérieure pour $n_1$ et donc l’inégalité proposée est Non Vraie.
Si cette inégalité est Non Vraie puis-je affirmer que l’inégalité opposée est Vraie ? Je pense que oui... et donc je continue :
Donc l’inégalité $$ n_1>\dfrac{i}{3 (1-\frac{2^{s_i}}{3^{i-1}})} $$ avec la condition $i<3 n_1$, est vraie.
Cette inégalité conduit à : $$n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})>i 3^{i-2}$$ donc a fortiori
$$ n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})>i 3^{i-2}-3^{i-2}$$, soit :
$$n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})>(i-1) 3^{i-2}$$
Le deuxième membre n’est autre que la majoration de $A_i$ dans la relation suivante que nous avons établie :
$$n_i-n_1=\frac{n_1 (3^{i-1}-2^{s_i}) + A_i}{2^{s_i}}$$
(Tant qu’un vol demeure en altitude nous avons montré que : $A_i< (i-1) 3^{i-2}$)

On peut donc conclure : Pour toute valeur de $i<3 n_1$, tant qu’un vol initié par $n_1$ demeure en altitude jusqu’au rang $i$ des impairs ($n_i>n_1$), la relation suivante est vérifiée :
$$n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})>(i-1) 3^{i-2}$$, et donc
$$n_1 (3^{i-1}-2^{s_i}> A_i$$
La réciproque est évidemment vraie car si $n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})> A_i$ alors $n_i-n_1>0 $ et $n'_bf _i>n_1$

Théorème} : Une Condition nécessaire et suffisante pour qu’un vol initié par $n_1$ demeure en altitude jusqu’au rang $i$ des impairs tel que $i<3n_1$ est $n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})>(i-1) 3^{i-2}$ ou bien $n_1 (3^{i-1}-2^{s_i})> A_i$

Remarque : Si le vol chute au rang $j > i$ alors nécessairement $n_1 (-3^{j-1}+2^{s_j})> A_i$
(la majoration de $ A_i$ n’est vraie que tant que le vol demeure en altitude)

La CNS ci-dessus peut également s’écrire :
$$\frac{2^{s_i}}{3^{i-1}}<\frac{3 n_1-i-1}{3 n_1}$$
Cette inégalité ne peut être vérifiée que si $3 n_1-i-1>0$, soit $ i< 3 n_1+1$

Conclusion (émise sous toutes réserves) :Le vol initié par tout $n_1$ chute nécessairement avant le rang $i=3 n_1$

{\it Observation complémentaire} : Il faudrait montrer à présent, à condition que le raisonnement ci-dessus soit juste, qu’il ne peut y avoir une boucle avant le rang $ i=3 n_1$

Il me semble, encore une fois si ce qui précède est sans faute, que le problème d’une boucle éventuelle en altitude ne se pose plus. Mais là je m’avance un peu trop.

julien b,

il y a au moins le nombre 2^n qui rejoint 1 en n étape(s), mais il en existe de plus petits. Quand tu trouves le plus petit, tu peux t'intéresser à ses caractéristiques et peut être en déduire des choses nouvelles.

tu peux t'intéresser aussi au plus petit nombre (le delay record) qui donne lieu à un vol plus long que le delay record précédent. Pour accélérer leur recherche, tu fais appel à des cribles qui sont intéressants à mettre en place. Il existe 129 delay records connus aujourd'hui.

tous ces types de records (glide / strengh / lengh / delay / class records) apportent toujours plus d'informations.

Collatzfan ne voulait pas parler de la durée max d'un vol. Il peut être aussi long qu'on veut.

Par construction, il est evident que la durée du vol est fonction du log du nombre.
On introduit donc une fonction que j'appelle finesse (d'autre gamma) qui est le rapport entre la durée d'un vol et l'altitude de départ (le log du nombre de départ).
De façon triviale on peut montrer que la moyenne de cette finesse est 2/ln(4/3) (en prenant en compte x/2 et (3x+1)/2 comme transformations.
Si on prend (x/2 et 3x+1) on obtient 3/ln(4/3).
Il à été montré par J Lagarias et moi de façons indépendantes qu'un maximum pratique pour cette finesse est de 41.6776.

J'appelle Record de Classe c le nombre le plus petit tel que la durée du vol soit c, (donc ayant une finesse maximale), C'est ça les maxima que j'essaie d'approcher.

Aujourd'hui les finesses les plus fortes jamais trouvées sont entre 36,5 et 36,75, soit assez loin de 41.6776
A part le plaisir de rechercher de nouveaux records, cela n'a aucune espece d'interet theorique :-)

Oui Kashmir, la durée d'un vol peut être aussi longue que l'on veut. Cependant il me semble avoir démontré qu'il y a une corrélation entre la valeur de n_1 et la durée du vol. En particulier pour la durée du vol en altitude. Une fois n_1 donné, le sort est jeté. n_1 ne pourra aller plus loin que 3*n_1 étapes impaires.Au delà, et même certainement bien avant, il chutera.
J'attends avec impatience ton avis sur ce sujet.

Pour Collatzfan

Merci pour tes commentaires que je vais relire avec soin.
Cependant je continue à affirmer que la relation 3^(i-1)>2^s_i est bien une CNS pour qu'un vol initié par n_1=4x+3 ne chute pas avant le rang i des impairs.
La condition est évidemment suffisante. J'ai montré de deux manières qu'elle était nécessaire.D'une part en utilisant les propriétés des Vols Rasant et, d'autre part en utilisant l'algorithme lui-même. Dès que possible je mettrai en ligne ces démos.
Du reste, je n'ai pas trouvé jusqu'à présent de contre exemple.Tu affirmes la possibilité de construire une trajectoire pour laquelle au rang i le vol demeurerait en altitude avec 3^(i-1)<2^s_i. Je ne pense pas que cela soit possible. Précision : Pour moi, être en altitude au rang i signifie que le vol est en altitude à tous les rangs précédant i
Essaye de faire, à partir du nombre 27 par exemple, le graphique des variations de (1- i/3*27) et de (2^s_i/3^(i-1)) La droite représentant la première fonction demeure, à partir du rang 2, au dessus du graphique de la deuxième jusqu'au rang 38 des impairs qui est le rang de rupture.
bien amicalement

Collatzfan, bonjour.
(entre guillemets tes citations)


« Retour sur la proposition en 2A, j'ai peut-être été un peu rapide en la rejetant.
Je ne vois néanmoins pas comment tu la justifie ,tu peux expliquer ,

On pourrait dire que pour un vol rasant issu de n_1, toutes les étapes impaires devant être inferieures à 2n_1, il ne reste que (n_1-1)/2 nombre différents disponibles (n_1+2, n_1+4... 2n_1-1) et donc qu'un tel vol ne peut rester en altitude au_dela du rang (n_1-1)/2 (ce qui est meiux que 2n_1-1) mais là encore ce raisonnement ne vaut que si l'on considère que toutes ces étapes sont distinctes, donc que la conjecture est vraie... »


Je dis, en effet, que tout vol rasant jusqu’à un rang donné des impairs est initié par un nombre n_1 que l’on peut construire en appliquant l’algorithme relatif aux VR.
Ainsi, par exemple, le nombre n_1=1989627 (modulo 2^21) est rasant jusqu’au 14ème impair.
La condition n_i<2n_1 pour les VR implique naturellement que tout VR initié par n_1 ne peut demeurer en altitude au-delà d’un rang des impairs égal à (n+1)/2. (et non (n-1=/2)
Et pour affirmer cela il n’est pas vrai qu’il faille admettre la conjecture. Pourquoi ?
Parce que nous sommes certains que pour un VR, tant qu’il demeure en altitude, les étapes sont nécessairement distinctes. Un VR ne peut engendrer une boucle en altitude puisque la suite des s_i ne peut devenir périodique. Pour un VR la suite des s_i coïncide avec la suite des e_(i-1), avec e_(i-1) = E ((i-1)Log(3)/Log(2)) qui est une suite non périodique.



« 3^(i-1)-2^(i-1)<=A_i<(i-1)3^(i-2)
pas vérifié mais ca me semble juste.
Pour une trajectoire quelconque on a (3^o-2^o)<=A_i<=(2^(n-o).(3^o-2^o)) et il faut enlever les valeurs les plus grandes pour que le vol reste en altitude.
En revanche la condition pour qu'un vol reste en altitude 3^(i-1)>2^s_i est suffisante mais non necessaire, en effet on peut construire une trajectoire ou la valeur de A_i vient compenser le deficit. Soit 3^o.x+A>2^n.x avec 3^o<2^n, il suffit qu'il existe une trajectoire issue de x telle que A>(2^n-3^o)x.
Tu dois pouvoir fabriquer une vraie CNS en prenant en compte l'encadrement de A. »



L’encadrement des A_i est juste et démontré. Cet encadrement ne peut être utilisé que durant le Vol en Altitude.
(i-1)3^(i-2) est une majoration des A_i quelque soit n_1 , tant que le vol demeure en altitude, y compris dans le cas ou le vol se mettrait à boucler en altitude.
La condition 2^s_1<3^(i-1) est nécessaire et suffisante pour qu’un vol demeure en altitude. Cette CNS est en effet fondamentale pour la suite de mon raisonnement. Je mettrai en ligne cette démo dès que possible. Il faut, en effet, éliminer l’idée que mon raisonnement serait juste si j’admets la conjecture. Cela n’aurait alors aucun sens.
Je t’invite à faire quelques simulations graphiques (je les fais avec Excel) comme je te le signalais ci-dessus. En particulier tu remarqueras que la droite d’équation 1-i/3n_1, avec n_1 donné, joue un rôle particulier en ce sens qu’elle limite les valeurs du rapport 2^s_i/3^(i-1) pour un vol quelconque tant qu’il demeure en altitude . La droite coupe l’axe des valeurs de i au point d’abscisse i=3n_1
Dès que le vol chute le graphique de (2^s_i/3^(i-1)) traverse la droite.

Bien amicalement

Jules,

2A : L'aperiodicité de la suite des s_i d'un VR suffit en effet à prouver la condition.
S. Elihaou a utilisé les VR et les propriétés des fractions continues de ln(3)/ln(2) pour demonter une limite inferieure à la longueur des boucles, je ne ma rapelle pas s'il a considéré la periodicité du vecteur de parité.

Jules,

Il se peut que je n'ai pas bien compris tes notations, mais peux-tu regarder les cas suivants :
Vol 219: (219 , 329 , 247 , 371 , 557 , 209), s_i: (0 , 1 , 3 , 4 , 5 , 8)
Vol 175: (175 , 263 , 395 , 593 , 445 , 167), s_i: (0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8)
Vol 95 :(95 , 143 , 215 , 323 , 485 , 91), s_i: (0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 8)
Il me semble bien que 3^(i-1)^=243, 2^s_i=256 > 243 et pourtant il ne reste pas en altitude au rang 6.
C'est la raison pour laquelle je pensais que la condition est nécessaire mais pas suffisante, mais j'ai pu me tromper.

En ce qui concerne le 2A, je suis d'accord avec le raisonnement, comment as-tu prouvé l'apériodicité du vecteur de parité ? Cela ne me parait pas trivial ?

L'apériodicité vient de la suite de Beatty, apériodique, qui a la bonne idée de coïncider avec le vecteur parité des VRM.

mais effectivement, ça a sans doute à voir avec l'irrationnalité du rapport.

Jules,

Tu as raison, je me mélange avec les différentes notations et définitions, je vais y regarder de plus près.

Pour l'apériodicité, l'irrationnalité de ln(3)/ln(2) ne prouve uniquement qu'aucune suite periodique ne peut representer cette quantité.

En revanche on doit pouvoir le prouver par l'absurde:

Supposons une suite periodique (n_i, o_i) correspondant à approcher la droite de pente ln(3)/ln(2) par valeurs supérieures strictes
pour une periode (N,O) et par définition on doit avoir :
0.ln(2)/ln(3) < N < O.ln(2)/ln(3) +ln(2)
soit :
ln(2)/ln(3) < N/O < ln(2)/ln(3) + ln(2)/O
N/O de la forme ln(2)/ln(3)+eps avec 0<eps<ln(2)/O
en cumulant k periodes
N'= kN
O'= kO
N'/O' reste egal à N/O soit ln(2)/ln(3)+eps
En revanche la condition devient
ln(2)/ln(3) < N'/O' < ln(2)/ln(3) + ln(2)/O'
le rapport N/O reste a eps de ln(3)/ln(2) alors que la tolerance est divisée par k.
On pourra donc toujours trouver k sufisemment grand pour que N'/O' sorte de l'intervalle.
Aucune representation periodique ne peut donc repondre au problème sauf a considérer eps nul, ce qui est exclu du fait de l'irrationnalité de ln(3)/ln(2)

J'espère ne pas avoir écrit d'anerie cette fois.

juste une correction que je ne parviens pas à effectguer en modifiant :


Il faut lire : La condition est nécessaire

En effet si c<a, c*x+d>a*x+b implique x<(b-d)/(c-a)

j'aime ton enthousiasme.

ça on est d'accord, si on admet la CNS, S_i = e_(i-1) est immédiat (2 lignes) et inversement.

en tous cas j'ai un petit programme qui tourne en ce moment (je l'ai appelé syracuserenucci.exe !) et il ne trouve pas de contrexemple à la CNS.

j'ai relu ton post d'hier à tête reposée, je ne sais toujours pas par quel bout le prendre. mais je vais l'emmener avec moi ce week-end.

Sur la forme, ce qui serait bien, c'est de ne pas rajouter de nouveaux éléments dans un nouveau post, mais d'essayer de faire évoluer un seul et même post, en le clarifiant, sinon on ne va jamais s'en sortir. Profitons des convéniences du forum

Kashmir, encore moi.
Il me semble que tu avais pris soin d'examiner le post dans lequel je tentais d'étalir la coîncidence de la suite e_(i-1) avec la suite s_i des vols rasants et que tu m'avais écrit :" pour moi c'est ok"
Peux-tu confirmer?

Si tu as un moment essayes ceci : Prends un nombre n_1 qui ait un vol en altitude relativement long, 27 par ex. ou tout autre. Trace le graphe des variations du rapport 2^s_i/3^(i-1) ainsi que le graphe de 1-i/3*n_1 dont le support est une droite de pente -1/3.
Tu constates alors que le premier graphe reste au dessous de la droite qu'il traverse dè que le vol chute ( au 38 ème rang pour 27)
J'ai tenté de démontrer cette propriété dans mon post du 19/07 à 11h.59 (page 1)

Je pars en fin d'après-midi...
Bonnes vacances

Bon, Jules est parti en vacances, c'est dommage. En lui cherchant des contre exemples j'ai observé des trucs assez fun board :

Si on prend les vols de type 4x+3, avec le mode opératoire 3x+1 x/2, on constate que l'on quitte l'altitude et que l'on y re rentre exactement quand
nb impairs * log 3 - nb pairs * log 2 change de signe.

il n'y a que 353 vols qui y font exception et ce à des étapes très précises du vol.

- soit l'étape 13 (on a alors nb impairs = 5 et nb pairs = 8)
- soit l'étape 13*2=26 (on a alors nb impairs = 10 et nb pairs = 16)
- soit l'étape 11*4=44 (on a alors nb impairs = 17 et nb pairs = 27)
- soit l'étape 5*5*3=75 (on a alors nb impairs = 29 et nb pairs = 46)
- soit l'étape 5*5*3*2=150 (on a alors nb impairs = 58 et nb pairs = 92)
- soit l'étape 17*7=119 (on a alors nb impairs = 46 et nb pairs = 73)
- soit l'étape 53*2=106 (on a alors nb impairs = 41 et nb pairs = 65)
- soit l'étape 53*2*2=212 (on a alors nb impairs = 82 et nb pairs = 130)

Certains de ces 353 vols présentant jusqu'à 3 exceptions.

55 vols présentent 2 exceptions : c'est le cas de 171 en l'étape 44 (175) et en l'étape 106 (184).

11 vols présentent 3 exceptions : c'est le cas de 411 en l'étape 44 (412), en l'étape 75 (425) et en l'étape 106 (433).

Ce qui fait que l'on dénombre 430 exceptions en tout.

Le dernier vol à présenter une exception débute par 9 227.

A l'occasion de ces exceptions, la quantité (nb impairs * log 3 - nb pairs * log 2) est toujours négative (et bien sûr très proche de 0).

Ces vols butent souvent sur les mêmes maillons, on n'en dénombre que 68 pour 430 exceptions : 8,16,20,40,52,92,106,160,175,184,233,244,263,325,334,350,395,412,425,433,466,
479,488,502,526,566,577,593,638,650,668,700,719,754,790,850,866,890,911,958,976,
1079,1132,1154,1186,1276,1300,1336,1367,1438,1619,1732,1780,1822,2051,2158,2308,
2429,2734,3077,3238,3644,4102,4616,4858,6154,7288,9232

Par exemple les 33 derniers vols (à partir de celui qui démarre par 8707) butent tous sur 9232 : le vol qui débute par 8707 bute sur 9232 à l'étape 106

Il n'y a qu'un vol qui bute à l'étape 26 : le vol initié par le 39 et qui bute sur 4.

Il n'y a que 2 vols qui butent à l'étape 212 : le vol initié par le 6943 et qui bute sur 7288 et le vol initié par le 8959 et qui bute sur 9232.

Je n'ai pas trouvé d'exception à la première sortie d'altitude.

Collatzfan,

je relis aussi ce qu'écrit Jules, mais j'ai du mal : dans son message du 20/07/07 17:14:11, on peut reconstituer ce qu'il a voulu dire, mais il manque un passage dans sa démonstration (au niveau de la phrase "L’inégalité ne peut être vérifiée quelque soit x. ."), et c'est le passage le plus attendu, le reste c'est même du détail comparé à la partie manquante.

Sinon son encadrement de A_i me pose problème, il me semble qu'il utilise les conclusions comme hypothèse.

Pour mes exceptions, tu as raison, le rapprochement avec les fractions rationnelles est immédiat. Je m'attendais donc à voir apparaître d'autres exceptions. Et pourtant non, je n'en ai pas vu depuis 9 227, ça s'arrête brutalement (j'ai vérifié jusqu'à 3 000 000 000 et lundi je devrais avoir les résultats jusqu'à 6 000 000 000)

Kashmir, Collatzfan, salut !
Je romps le silence ... en espérant que vous ferez un passage ici.

Je voudrais, ici, démontrer que pour les Vols Rasants (VR) la relation $s_i= e_{i-1}$ est établie.
Je tape le texte en Latex en espérant que cela passera.
Quitte à lasser je reviens d’abord sur la construction d’un VR

{\bf1 – Définition d’un VR} : On appelle Vol Rasant (VR) tout vol initié par $n_1=4x+3$ pour lequel $s_i$ est maximum à chaque rang $i $ des impairs.
Le VR est maintenu en altitude ($n_i>n_1$) jusqu’à un rang donné $p$ des impairs.
$s_i$ maximum signifie qu’à chaque rang $i\leq p$ des impairs le vol se trouve en limite de rupture.
{\bf2 – Construction d’un VR} :
Appliquons l’algorithme de la conjecture au nombre $4x+3$. On obtient jusqu’au 5ème terme la suite :
$4x+3,\ 18x+10,\ 6x+5,\ 18x+16,\ 9x+8$ et le Vecteur Parité correspondant $(1,0,1,0, ?)$
Le 5ème terme $n_5=9x+8$ est de parité indéterminée. On a $n_5>2n_1$, donc on peut « rendre » $n_5$ pair sans faire chuter le vol. Pour cela on effectue la transformation $x$ en $2x$ et on obtient la nouvelle suite :
$8x+3,\ 24x+10,\ 12x+5,\ 36x+16,\ 18x+8,\ 9x+4$
Avec le vecteur parité : $(1,0,1,0,0, ?)$
Le 6ème terme $n_6= 9x+4$ est de parité indéterminée et $n_6<2n_1$. Pour éviter la rupture il est nécessaire de rendre $n_6$ impair en effectuant la transformation $x$ en $2x+1$. D’où la nouvelle suite :
$16x+11,\ 48x+34,\ 24x+17,\ 72x+52,\ 36x+26,\ 18x+13,\ 54x+40,\ 27x+20$
Et le vecteur parité : $(1,0,1,0,0,1,0, ?)$
Cette opération peut être poursuivie indéfiniment. Les termes de chacune des suites ainsi obtenues sont les transformés des termes de même rang de la suite précédente par l’une des transformation $x\mapsto 2x$ ou $x\mapsto 2x+1$
Par construction, les impairs de chacune des suites que nous désignerons désormais par $ n_i$ sont tels que $n_i<2n_1$
Cette relation est caractéristique du VR.
{\bf Conséquence : Un VR ne peut comporter plus de 2 pairs entre deux impairs consécutifs.}

Nous savons donc construire le premier terme d’une suite qui initie un VR jusqu’à un rang $p$ donné.
Désignons le premier terme d’une telle suite par $a_1.x+b_1$
Par construction du VR et quelque soit $x$ on a la relation :
$$a_1 x+b_1< a_i x +b_i< 2(a_1 x+b_1)$$
Pour $x=0$ nous aurons la suite initiée par $b_1$ et par conséquent :
$$b_1<b_i<2b_1$$
Puisque, quelque soit $x$, tant que le VR demeure en altitude, $b_i>b_1$, on peut écrire :
$a_i x+b_i>a_1 x+b_1$ équivaut à $a_i>a_1$

La formule générale donnant l’impair $n_i$ (dans un vol quelconque, en altitude ou pas), à savoir :
$$n_i=\frac{3^{i-1} n_1+A_i}{2^s_{i}}$$ peut s’écrire :
$$a_i x+b_i = \frac{3^{i-1}(a_1 x+b_1)+A_i}{2^{s_i}}$$ soit
$$a_i x+b_i = \frac{3^{i-1}}{2^{s_i}}a_1 x + \frac{3^{i-1}b_1+A_i}{2^{s_i}}$$ et donc :
$a_i=\dfrac{3^{i-1}}{2^{s_i}}a_1$
$b_i=\dfrac{3^{i-1} b_1+A_i}{2^{s_i}}$

{\bf Exemple} : Soit la suite du VR initié par $128x+123$ jusqu’au 5ème rang des impairs :
$a_5 x+b_5=\dfrac{3^4}{2^6}.128.x + \dfrac{3^4.123+85}{2^6}$
$a_5 x+b_5=162x+157$ et donc $a_5=162,\ b_5=157$
($A_5$ se calcule par la relation $A_i=3A_{i-1} +2^s_{i-1}$ avec $A_1=0,\ A_2=1,\ A_3=5$
L’équivalence caractéristique des VR établie ci-dessus, implique, quelque soit $x$ et quelque soit $i\leq p$ :
$a_i>a_1$ équivaut à $\dfrac{3^{i-1}}{2^s_{i}} a_1>a_1$ soit $\dfrac{3^{i-1}}{2^{s_i}}>1$
$s_i$ étant maximum par construction, on aura :
$\dfrac{3^{i-1}}{2^{s_i}}>1,\ s_i $ max équivaut à $s_i=E\left((i-1)\dfrac{\log(3)}{\log(2)}\right)$
Ce que nous écrivons :
$$s_i=e_{i-1}$$
Kashmir, Collatzfan, est-ce du verbiage, est-ce que je tourne en rond, ou bien cela a-t-il un sens ?

[Merci à Jean-Louis Lambda pour la correction du LaTeX. AD]

Idem pour moi