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Théorème de Runge

Bonjour à tous,

je cherche à démontrer le théorème de Runge, et après plusieurs tentatives et l'aide de personnes sur ce forum, j'ai fini par tout reprendre du début. (Merci à tous)

Voilà donc ce que j'ai fais (je crée un nouveau sujet car les autres sujets n'étaient pas vraiment sur Runge !!). REGARDEZ LA PIECE JOINTE.
J'ai mis en couleur le point que je n'arrive pas à finaliser.

Pourriez-vous me donner une indication s'il vous plait, je n'y arrive pas, et j'ai du chercher dans au moins 30 bouquins depuis 4 jours !! :(

Merci à tous.

Réponses

  • Pour ceux qui ne pourrait pas télécharger mon fichier .pdf, je mets la version "latex normale" ici :

    {\bf LEMME: }
    Pour la division équidistante de $[a,b]=[-1,1]$, on a
    $x_{i}^{(n)}= -1 + 2 \frac{i}{n}$ pour $i\in \{ 0,1,\ldots,n\}$,
    et pour le polynôme $\displaystyle\pi_n(z) = \prod_{i=0}^{n}
    (z-x_{i}^{(n)})$ on a
    $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert \pi_n(z)\vert} = G(z) $$

    $$G(z) = exp\Big( \frac{1}{2} \Re((z+1)\log(z+1) - (z-1)\log(z-1)) -1 \Big) $$


    {\bf REMARQUE: }
    pour un $x \in [-1,1]$, ona:
    $$ G(x) = e^{-1} \sqrt{(1+x)^{1+x}(1-x)^{1-x}}$$
    En particulier $G(0)= \frac{1}{e}$ et $G(\pm 1)=\frac{2}{e}$



    {\bf Théorème de Runge }
    Soit $f$ une fonction rationnelle définie sur $[-1,1]$ et
    $\beta\in [-1,1]$.\\
    Si $f$ n'a pas de singularité dans $\{
    z,G(z)\leq G(\beta )\}$,
    alors :
    $$\displaystyle\lim_{n\longrightarrow\infty} p_n(x)=f(x)
    \text{ pour } x\in [-\beta,\beta ]$$


    {\bf PREUVE: }
    Soit $\gamma$ la courbe fermée définie par $G(z)=G(\beta)$. Par
    hypothèse, tous les pôles de $f(z)$ sont en dehors de $\gamma$.\\
    Pour $x\in [-\beta,\beta ]$ :\\
    $x$ est à l'intérieur de la courbe, donc $G(x)\leq G(\beta ),
    \forall x\in [-\beta,\beta]$.\\
    Or, $G(\beta )=G(z), \forall z\in\gamma$, donc $G(x)\leq G(z)
    \forall z\in\gamma$\\
    et alors bien sûr, comme $\sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} < \lim_{n
    \to \infty} \sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} = G(x)$ alors:
    \textcolor{blue}{$$\sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} <
    G(z)=G(\beta)=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert
    \pi_n(z)\vert}, \forall z\in\gamma$$}
    {\bf POURQUOI a-t-on alors} $\exists \ 0
  • S'il vous plait, une indication. :(

    Pour ceux qui ne veulent pas tout lire, je récapitule la ligne qui me posent problèmes :

    $$\sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} <
    G(z)=G(\beta)=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert
    \pi_n(z)\vert}, \forall z\in\gamma$$
    {\bf POURQUOI a-t-on alors } $\exists 0
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