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isométrie infinitésimale


Bonjour
réf. Gonnord et Tosel Tome II p33

Il s'agit en gros de démontrer que si la différentielle d'une fonction f de classe C1 sur un ouvert connexe de $\R^n$ est une isométrie alors f est une isométrie

Pour cela en 2b) On utilise

$I=\int_{0}^{1} df(x_0+(t(x-x_0))(x-x_0)dt$

avec $t\in[0,1]$

Taylor donne $I=f(x)-f(x_0)$

On nous dit alors que $||I||=1$
pour moi il faut diviser par $||x-x_0||$ pour avoir ce résultat

Mais alors la conclusion comme quoi l'intégrande est constante ne donne plus le résultat escompté (isométrie affine locale) à cause de cette norme qui vient se rajouter:

en effet en t=0 on a

$df(x_0)(x-x_0)=(||x-x_0||)(f(x)-f(x_0))$ ce qui ne fait pas à priori de f une isométrie affine au voisinage de x0

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