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Exponentielle, logarithme complexe

Modifié (November 2021) dans Analyse
Bonjour, soit $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
z&\mapsto e^z
\end{align*}$ où $U_1=\{z\mid -\pi<\Im (z)<\pi\}$ et $U_2=\{w\mid \arg w\neq \pi\}$. C'est ainsi que mon cours définit les domaines qui rend l'exponentielle complexe bijective et donc qui admet sa fonction inverse $g:U_2\to U_1$.


Première question (voir 1ère photo): Si je pose cette fois la fonction $\begin{align*}
\exp:\tilde U_1 &\to \tilde U_2 \\
t&\mapsto e^{2\pi it}
\end{align*}$ où $\tilde U_1=]a,a+1[$ pour $a\in \mathbb R$ et $\tilde U_2=\{w\mid \arg w\neq 2\pi a\}$ alors j'ai encore la bijectivité n'est-ce pas? Et donc la possibilité de définir $\ln:\tilde U_2\to \tilde U_1$. Mais ma question est, quel est le lien entre toutes les fonctions logarithmes? Est-ce qu'on a un domaine standard et qu'ensuite pour tous les domaines différents qui rendent l'exponentielle bijective, il suffit de multiplier le logarithme "standard" pour avoir la fonction inverse?

Plus précisément, par exemple dans mon cours est posée la fonction $\frac{\ln}{2\pi i}:\tilde U_2\to \tilde U_1$ mais je ne comprends pas à quoi fait référence cette fonction $\ln$ dans ce cas?

Deuxième question (voir 2ème photo): Je n'ai jamais vu pourquoi cette fonction logarithme est elle aussi continue. J'ai essayé de faire quelque chose dans la deuxième photo.

Supposons qu'on a la fonction $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
x&\mapsto e^{ix}
\end{align*}$ où $U_1=]-\pi,\pi[$ et $U_2=\{y\mid \arg y\neq \pi\}$ et $g:=f^{-1}$. Je montre que $g$ est continue en tout point: Je prends $y\in U_2$ et $N$ un voisinage de $g(y)$. On "voit" que $g^{-1}(N)$ est toujours un voisinage de $y$. Je ne sais pas si c'est très rigoureux... Merci pour votre aide.128708
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Réponses

  • Modifié (November 2021)

    Bonjour, je reviens simplifier ma question car peut-être ce n'était pas clair. Soit $$\begin{align*} f:U_1 &\to U_2 \\ z&\mapsto e^z \end{align*}$$

    Où $U_1=\{z\mid -\pi<\Im (z)<\pi\}$ et $U_2=\{w\mid \arg w\neq \pi\}$.

    Comme vous le savez sans doute, ces domaines rendent $f$ bijective ce qui permet de définir son inverse $g:U_2→U_1$ appelée le logarithme $\ln$.

    Ma question est alors, si je définis cette fois $$\begin{align*} \exp:\tilde U_1 &\to \tilde U_2 \\ t&\mapsto e^{2\pi it} \end{align*}$$

    Où $\tilde U_1=]a,a+1[$ pour $a\in \mathbb R$ et $\tilde U_2=\{w\mid\arg w≠2\pi a\}$, alors dans ces domaines $\exp$ est aussi bijective je crois et donc on a une fonction inverse que je note ici $\tilde g:\tilde U_2\to \tilde U_1$.

    Dans un corrigé cependant, il est posé que la fonction inverse de $\exp$ est $\frac{\ln}{2\pi i}$, à quelle fonction $\ln$ est-il fait référence ici ? Merci.

  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)

    N’importe quel logarithme défini sur ˜U2 convient.

    Edit : désolé, je ne suis pas encore au point avec LaTeX sur le nouveau forum.

  • Modifié (November 2021)

    Je vois MrJ, mais il ne peut y avoir qu'un seul logarithme non? (Unicité de l'inverse). Ici c'est posé $\frac{\ln}{2\pi i}$ or je ne vois pas pourquoi on divise par $2\pi i$.

  • Modifié (November 2021)

    Parce que le $\ln$ utilisé (*) provient de $e^z$ alors que c'est maintenant $e^{2\pi i t}$. C'est le passage de z à t.


    Cordialement.


    (*) Il y a plusieurs définitions possibles de $\ln$, tu en as choisi une.

  • Ah je vois merci 🙂.

  • Bonjour, autre petite question, comment montrer la continuité de la fonction $\ln :U_2\to U_1$? Utilise-t-on la continuité en chaque point avec la notion de voisinages? Merci.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    Il y a sûrement une démonstration directe, mais une possibilité est d’utiliser les coordonnées polaires. Plus brutalement, tu peux aussi utiliser le théorème d’inversion locale sur la fonction exponentielle.
  • Bonjour MrJ, je n'ai jamais vu le théorème d'inversion locale mais j'ai réussi à trouver une partie de la démo ici (lien), mais dans cette démo il est nécessaire de restreindre nos domaines à $U_1=\{z\mid -\frac{\pi}{2}<\Im (z)<\frac{\pi}{2}\}$ et $U_2=\{w\mid \Re (w)\geq 0\}$ pour pouvoir utiliser la fonction $\arctan$. Il doit sûrement y avoir un moyen de s'en sortir sur tout le domaine mais je ne vois pas.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    En fait, ça revient à passer par les coordonnes polaires de la même manière.

    Tu peux aussi traiter le cas où $U_2 = \{\omega\mid \textrm{Im}(\omega)>0\}$.
    Cette fois-ci tu pourras exprimer l’argument d’un complexe de $U_2$ avec une autre fonction usuelle que $\arctan$, mais tu obtiendras aussi la continuité. 

    Pour finir, il te restera un troisième cas à traiter.
  • Effectivement pour le cas $U_2^2=\{w\mid \Im(w)\geq 0\}$ il suffit de prendre $\arccos$ et ça marche. Par contre il reste le cas $U_2^3=\{w\mid \Im(w)\leq 0\}$, je ne vois pas très bien quelle fonction trigonométrique utiliser...

    Aussi on pourra conclure en disant que vu que $\ln$ est continue sur $U_2,U_2^2,U_2^3$ alors $\ln$ est continue sur leur union? Je ne vois pas trop de quel critère il s'agit. j'ai déjà vu un critère similaire en topologie mais il marche seulement si les $U_2$ sont soit tous fermés ou tous ouverts.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    Pour la première question, je te l'écrirais plus tard si j'ai le temps de faire le calcul. Il faut dessiner un cercle trigonométrique.
    Attention, dans la définition de tes ensembles $U_2^k$ : il me semble qu'il faut des inégalités strictes.

    Pour ta seconde question : la continuité est une propriété locale.
    Chaque voisinage $V$ d'un point $p$ de $U_2$ est inclus dans un des $U_2^k$ sur lequel tu sais que l'application est continue, donc elle est continue en $p$.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    Pour compléter ma réponse précédente, tu as pour $\theta\in]-\pi,0[$ et $(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}_-^\ast$ les équations
    \[\cos(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad\text{et}\quad \sin(\theta)=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.\]
    On peut réécrire ces équations sous la forme
    \[\cos(-\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad\text{et}\quad \sin(-\theta)=-\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.\]
    On en déduit que l'on a
    \[\theta = - \arccos\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right).\]

    Édit : Correction d'une coquille suite à un message ci-dessous.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    Finalement, je viens de découvrir par hasard en cherchant autre chose sur internet que l'on peut démontrer qu'un argument de $z=x+\textrm{i} y \in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_-$ est
    $$\theta=2\arctan\left(\dfrac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\right).$$

  • Modifié (November 2021)
    Oui, c'est le théorème de l'angle inscrit. Beaucoup plus efficace que les formules qui marchent sur un quart de plan comme $\arctan(y/x)$ et variantes.
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    @Math Coss : Merci! C’est mieux de savoir d’où vient la formule (je l’ignorais).
  • Modifié (November 2021)
    Merci beaucoup pour toutes ces réponses, en effet avec l'astuce de Math Coss on s'en sort beaucoup plus rapidement  :). Cependant j'ai quand même essayé de faire avec la méthode de MrJ mais je rencontre un problème: Pour $w\in U_2^2=\{w\mid \Im(w)> 0\}$ on a que l'argument s'écrit comme $\arccos\big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\big)$ et Cauchy-Riemann est vérifié.

    Mais pour $w\in U_2^ 3=\{w\mid \Im(w)<0\}$ d'après ta remarque si $\theta\in\,]{-}\pi,0[$ alors on a que $-\theta\in\,]0,\pi[$ donc il faut prendre la fonction $\arccos \big(\cos(-\theta)\big)$ et non $\arcsin\big(\sin(-\theta)\big)$. Mais ceci donne que $\theta=-\arccos\big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\big)$ et donc on a un problème vu que Cauchy-Riemann n'est plus vérifié...
  • MrJMrJ
    Modifié (November 2021)
    Désolé : j'avais en effet mis un $\arcsin$ à la place d'un $\arccos$.
    D'après les remarques précédentes, le logarithme est défini par sur $U_2^3$ par
    $$\ln(z) = \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right) - \textrm{i} \arccos\Big(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big).$$
    Je ne suis pas assez courageux pour faire les calculs à la main, mais j'ai vérifié que la première condition fonctionne en utilisant un logiciel de calcul formel. Il faut faire attention au fait qu'il y a des $|y|$ qui apparaissent quand on calcule les dérivées.
  • Ah oui j'avais juste oublié cette valeur absolue en fait ça joue merci  :)
  • Modifié (November 2021)
    On peut s'amuser à vérifier Cauchy-Riemann.

    On peut aussi s'en dispenser en constatant que ces équations expriment que la différentielle est la multiplication par le complexe $f'(z_0)$, si bien que la différentielle de la fonction réciproque, qui est l'inverse de la différentielle de la fonction, est aussi la multiplication par un nombre complexe (namely $1/f'(z_0)$) et satisfait donc à Cauchy-Riemann. Bref, la réciproque d'une fonction holomorphe est toujours holomorphe.
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