Chemins connexité par arcs — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Chemins connexité par arcs

Bonsoir,

Dans l'exemple c'est où qu'on utilise que la partie $A$ est convexe ? Comment démontrer que l'application $t \mapsto (1-t)x+t y$ est continue ?
J'essaie de répondre à ces deux questions, je ne suis pas sûr.

Posons $f(y)=(1-t)x+ty$. On a $||f(t')-f(t)||=|| x - t' x+ t'y -ty +tx-x||= || x(t-t') + y(t'-t)|| =|| (t-t') (x-y) || \leq |t-t'| \times ||x-y ||$

Donc $f$ est lipschitzienne de rapport $||x-y||$ elle est continue.

La convexité de $A$ donne que $\forall t \in [0,1] \ f(t) \in A$ donc $f$ est bien définie.

Pour l'exercice 8, je ne vois pas comment faire pour chercher la réponse.

Je sais juste qu'on doit trouver une application continue qui vérifie $\tilde{p} (c)=x$ et $\tilde{p} (d)=y$ mais je ne vois pas comment la trouver.128618

Réponses

  • - C'est la définition de convexité.
    - Cette application est une fonction polynomiale en $t$...
    - Essayez d'envoyer $[c,d]$ sur $[a,b]$ par une fonction "simple".
  • Aïe
    OS a écrit:
    1. Posons $f(y)=(1-t)x+ty$. On a $||f(t')-f(t)||=|| x - t' x+ t'y -ty +tx-x||= || x(t-t') + y(t'-t)|| =|| (t-t') (x-y) || \leq |t-t'| \times ||x-y ||$

    Donc $f$ est lipschitzienne de rapport $||x-y||$
    elle est continue.


    Analyse posons $f(y)=(1-t) x + t y$ admettons f est une fonction de y , y est un vecteur.

    Ensuite ligne du dessous $f(t)-f(t')$ .... blabla.. $t$ et $t'$ ne sont pas des vecteurs mais des réels.

    big problem ou erreur de typo? .

    2.
    OS a écrit:
    Je sais juste qu'on doit trouver une application continue qui vérifie p~(c)=x et p~(d)=y mais je ne vois pas comment la trouver.

    Si on fait ce que tu dis:

    Posons $\tilde p(t)=\frac{t-d}{c-d} x +\frac{t-c}{d-c } y $ et ensuite.....?
  • Encore une fois, si tu cherches à démontrer une continuité "évidente", tu peux passer par la caractérisation séquentielle...
    Et c'est bien dans le cours de L1 sur la continuité.
  • Merci.

    Je n'ai pas encore vu la propriété que les fonctions polynomiales sont continues mais je note merci.

    L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

    La fonction simple peut être de la forme $u(t)= \alpha t+ \beta$. On veut qu'elle envoie $[c,d]$ sur $[a,b]$

    On veut $u(c)=a$ et $u(d)=b$

    C'est un système 2x2 facile à résoudre, on trouve $\alpha= \dfrac{a-b}{c-d}$ et donc $\beta=a- \dfrac{a-b}{c-d} c$

    Ainsi $u(t)=\dfrac{a-b}{c-d} t+ a - \dfrac{a-b}{c-d} c$ et $u$ est continue (fonction polynomiale en $t$).

    Finalement $\boxed{u(t)= \dfrac{a-b}{c-d} \left( t-c \right) +a}$

    Ainsi, $\boxed{\tilde{p} (t)= p (\dfrac{a-b}{c-d} \left( t-c ) +a \right)} $

    On vérifie $\tilde{p} (c)=p(a)$ et $\tilde{p} (d)=p(b)$
  • @JLapin en deuxième lecture je peux croire qu'il a fait seulement une erreur de recopie.

    Si @Os n'a pas recopié sa petite démo quelque part, disons qu'il a raison de faire comme ça
    ( bien qu'on puisse remarquer que c'est polynomial et point barre..)

    Ce qui m'intéresse c'est la deuxième partie....
  • Bd2017 je sais que $t$ et $t'$ sont des réels d'ailleurs j'ai mis une valeur absolue sur le $t-t'$ je ne vois pas de quelle problème tu parles.
    $f$ est définie sur une partie de $\R$ et à valeurs dans un espace vectoriel normé.

    JLapin d'accord merci la caractérisation séquentielle résout la question en 1 ligne.
  • Kolakoski m'a bien aidé pour l'exercice 8.

    Je peux aller dormir tranquille, j'ai trouvé la même chose que dans le livre. (le corrigé donnait juste l'application sans rien expliquer)
  • Bon j'ai commenté en détails ce que tu as écris et tu ne vois pas.
    Comme d'ailleurs pour la deuxième partie "je sais juste...bla...bla " je suis certain aussi que tu ne vois pas le sens de ma remarque qui cherche à te faire voir que ce tu écris n'est pas correct.

    Alors tant pis. Mon film est fini et je vais me coucher!
  • Reste à conclure l'exercice en montrant que $\tilde{p}([c,d])=p([a,b])$ !

    K.
  • Bd2017 c'est posons $f(t)= $ erreur de frappe.

    La fonction $\tilde{p}$ en fonction de $x$ et $y$ que tu mets plus haut m'a l'air ok je ne vois pas le problème :-S Il y a une subtilité que je ne vois pas.

    Kolakoski

    Je crois qu'il y a un détail qui m'échappe. Je ne comprends pas pourquoi on doit montrer que $\tilde{p} ([c,d])=p([a,b])$

    D'après la définition du cours, il suffit de vérifier que $\tilde{p}$ est continue, qu'elle est à valeurs dans $A$ et que $\tilde{p}(c)=x=p(a)$ et $\tilde{p}(d)=y=p(b)$
  • Oui effectivement j'ai extrapolé l'énoncé : on parle d'un nouveau paramétrage, du coup ça sous-entend la condition que je proposais de montrer !
    Il faut comprendre ce que signifie cet exercice : si, par exemple, je paramètre le cercle unité par $[0,2\pi[\ni t \mapsto (\cos(t),\sin(t))$, je peux également le paramétrer par $[0,\pi[\ni t \mapsto (\cos(2t),\sin(2t))$... Dans les deux cas, c'est le cercle unité, mais formellement, ce n'est pas le même paramétrage. J'espère que ça n'a pas rendu le reste trop confus !
  • la subtilité que tu ne vois pas

    L'exemple que je donne est inspiré par ton manque de rigueur dans ce que tu as écrit plus haut. Dans ton premier message " je sais juste qu'il faut ....."

    Dès le départ tu donnes le ton. Ce que tu as écrit est faux. Une définition ce n'est pas de l'à-peu-près. L'exemple que je donne respecte ta (pseudo-)définition mais ne respecte pas la définition.

    A toi de faire le travail. Fais le travail sérieusement et tu verras pourquoi mon exemple est faux.
  • Bd2017 je ne trouve pas le problème. Possible que je n'ai pas bien compris la définition, c'est la première fois que je la vois.

    Kolakosky on a $\tilde{p} (t)= p \circ u(t)$ où $u(t)=\dfrac{a-b}{c-d} (t-c)+a$

    $u$ est une application définie de $\R$ dans $\R$ et continue sur $[c,d]$; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend toutes les valeurs entre $u(c)=a$ et $u(d)=b$.

    Ainsi $\boxed{\tilde{p} [c,d] = p( [a,b])}$
  • OS a écrit:
    $u$ est une application définie de $\R$ dans $\R$ et continue sur $[c,d]$; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend toutes les valeurs entre $u(c)=a$ et $u(d)=b$.

    Oui donc je te fais la même : $\cos$ est continue sur $[0,2\pi]$ avec $\cos(0)=\cos(2\pi)=1$ donc par conséquent, par le théorème des valeurs intermédiaires, $\cos([0,2\pi])=\{1\}$.

    C'est quand que tu bosses tes cours de lycée, sérieux ? Y'en a marre franchement. Il ne manque sûrement qu'un seul mot pour que ce que tu dises soit correct mais ça change tout et ça montre que soit tu recopies des trucs sans rien piger (en recopiant mal en plus).
  • Bien vu Alexique. Je rectifie.

    Soit $f : I \longrightarrow \R$ une fonction continue et $(a,b) \in I^2$.
    Alors toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes par $f$.


    Montrons que $u( [c,d])= [a,b]$ où $u(t)=\dfrac{b-a}{d-c} (t-c)+a$

    On a $u(c)=a$ et $u(d)=b$ donc toutes les valeurs entre $a$ et $b$ sont atteintes par $f$. Ainsi $ \boxed{[a,b] \subset u( [c,d] )}$

    Montrons que $u([c,d]) \subset [a,b]$.

    Soit $c \leq t \leq d$ alors $0 \leq t-c \leq d-c$ et $0 \leq (t-c) \dfrac{b-a}{d-c} \leq b-a$ et enfin $a \leq u(t) \leq b$

    Par double inclusion, on a montré que $\boxed{[a,b] = u( [c,d] )}$
  • Bd2017 je crois que ton exemple est faux car on n'utilise pas le fait que $x=p(a)$ et $y=p(b)$
  • Ce n'est pas une justification correcte. Disons tout de même que ta réponse justifie une suspicion de fausseté.

    Relis tout de même ce qu'on te dit. Je répète, ma réponse applique la dernière ligne de ton premier message.
    Et j'ai dit que cette ligne n'est pas correcte.

    Vraiment tu ne comprends pas quand on veut t'aider. Relis cette ligne et corrige la.
  • Bd2017 je ne trouve toujours pas l'erreur :-S
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!