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Continuité

Bonsoir,

Je n'ai pas étudié les fonctions à plusieurs variables, juste la continuité dans un espace vectoriel normé.

Je ne vois pas comment justifier que $g$ est continue. Le corrigé dit que $g$ est continue sans l'expliquer.

La méthode conseillée était de vérifier d'abord qu'elle est lipschitzienne mais ici ça me semble compliqué.128604
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Réponses

  • Utilise la caractérisation séquentielle si tu veux détailler une preuve de la continuité de la fonction $g$.
  • Apprendre le cours de L1 sur la continuité.
  • Tu as vu que la composition de fonctions continues est continue ?
  • Non ce n'est pas niveau L1, on est dans les espaces vectoriels normés. La continuité de la norme n'est vue qu'en L2/ MP.

    Raoul.S oui c'est vrai je n'y avais pas pensé.

    On a $g(x,y)= \varphi \circ N_2(x,y)$

    Or on sait que l'application $(x,y) \mapsto N_2(x,y)$ est continue sur $\R^2$ (cours sur les espaces vectoriels normés) et que l'application $r \mapsto \dfrac{e^{r^2}}{1+r^2}$ est continue sur $\R$ comme quotient de fonctions continues.

    Pour la caractérisation séquentielle je ne suis pas sûr mais j'essaie.

    Si $(x_n,y_n)$ une suite qui converge vers $(a,b)$. On doit montrer que $g(x_n,y_n)$ tend vers $g(a,b)$.

    Ainsi $x_n \longrightarrow a $ et $y_n \longrightarrow b$. Et $x_n ^2 + y_n ^2 \longrightarrow a^2+b^2$ puis par continuité de l'exponentielle $\exp( x_n ^2 + y_n ^2) \longrightarrow \exp(a^2 +b^2)$

    Par ailleurs, $1+x_n ^2 + y_n ^2 \longrightarrow 1+a^2 +b^2$

    Donc le quotient, lorsque $n$ tend vers plus l'infini, tend vers $\dfrac{\exp(a^2 +b^2)}{1+a^2 +b^2} = g(a,b)$
  • Bonjour
    Un peu compliqué pour montrer qu'il y a un minimum global qui par ailleurs est unique.

    $g(x,y)=f(x^2+y^2) $ avec $f(r)=\exp(r)/(1+r), \ r\geq 0$ La fonction $f$ est strictement croissante $\R^+$ donc elle présente un minimum global unique en $r=0.$

    Mais $(x^2+y^2)=0$ ssi $(x,y)=(0,0).$ Ce qui précède que $\inf _{\R^2}g(x,y) =1$ et que cet $\inf$ est atteint en l'unique point $(0,0)$.

    De toute façon on demande seulement de démontrer qu'il y a un minimum global. Pourquoi tout ce travail puisqu'il suffit de remarquer que $g(x,y)\geq 1$ pour tout $(x,y)$. Donc $g$ est minorée et l'inf est atteint puisque $g$ est continue.
  • Bd2017 oui bien vu, la solution du livre est plus compliquée car l'auteur n'a pas encore parlé de la continuité en dimension finie. Cela vient quelques pages plus tard.

    Donc on doit travailler sur un compact car le théorème des bornes atteintes a comme hypothèse d'être sur un compact.
  • Non tu as tort dans ta remarque. La démonstration ne demande aucune connaissance sur la continuité, elle n'utilise que des notions élémentaires:

    L'inégalité $f(r)=e^r/(1+r)\geq 1$ avec $f(r)= 1$ ssi $r=0$ est de niveau terminale. On n'utilise même pas que g est continue dans ma seconde remarque

    L'auteur fait compliqué pour utiliser les compacts. On aurait pu choisir un meilleur exercice en réfléchissant un peu.
  • Ah d'accord,
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