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Théorème des bornes atteintes

Bonsoir,

Je bloque sur le passage en rouge.

On a démontré précédemment que :

Proposition :
L'image d'un compact par une application continue est un compact.

Corollaire :
Soit $A$ une partie compacte non vide. Alors toute application continue de $A$ dans $\R$ est bornée et atteint ses bornes.

Soit $f : A \longrightarrow \R$ une application continue, où $A$ est une partie compacte. L'image de $A$ par $f$ est un compact donc :
$f(A)$ est bornée ce qui assure que $f$ est bornée.
$f(A)$ est fermée, ce qui assure que les bornes de $f$ sont atteintes.

Réponses

  • Bonsoir
    Connais-tu la caractérisation des fermés par les suites?
  • Avant tout comme indication première, je dirai à @Os d'exprimer les bornes M et m de f(A).

    C'est-à-dire qu'il est interdit de dire "je bloque" avant d'avoir commencé à écrire quelque chose.
  • $f$ est bornée donc il existe $M$ tel que $\forall x \in A, \ - M \leq f(x) \leq M$.
    Donc $f(A) \subset [-M, M] $.
    Mais tout fermé de $\R$ inclus dans un segment un un segment donc les bornes de $f$ sont atteintes.
    Gon je ne vois pas comment faire intervenir les suites.
  • Connais-tu la caractérisation de la borne supérieure et inférieure par les suites?
  • Soit $A$ une partie non vide, fermée et majorée de $\R$.
    Montre que $A$ admet un maximum.
  • Toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure.

    Notons la $a=\sup A$.

    Montons que $a \in A$. Par caractérisation de la borne supérieure, il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.
    Mais $A$ est fermé donc $a \in A$.
  • Prends des initiatives ! reviens à ton problème initial ! arrête de te mettre en situation passive ! fais le lien entre les questions que les intervenants te posent et la question avec laquelle tu ouvres tes fils ! au boulot mon grand
  • J'ai posté deux solutions avec deux méthodes différentes plus haut.
  • Commence par montrer qu'il existe une suite de $f(A)\subset\R$ qui converge vers $\sup(f)$, ensuite utilise la caractérisation des partie compacte de $\R$ notamment le fait qu'ils sont fermés.
  • Je n'ai pas vu la caractérisation des compacts de R.

    J'ai déjà posté ma preuve plus haut.
  • C'est la cata encore une fois.

    1. A est un compact, qui a dit que A est une partie de $\R$?

    Cela veut dire quoi le sup A. Il y a un ordre dans A?


    Tu appelles cela une démonstration?

    Soit M=sup(f(A))

    Il existe une suite $y_n=f(x_n)$ de f(A) qui converge vers $M $

    On extrait de la suite $(x_n)$ une sous-suite (toujours notée (x_n)) qui converge vers $l \in A$.

    Par continuité $f(x_n)$ converge vers $f(l)=M$

    La borne sup est atteinte.

    exercice compléter la rédaction pour qu'elle soit irréprochable.
  • Os : tu parles d'adhérence et de borne supérieure depuis des siècles et tu n'as pas encore réalisé que la borne supérieure est un point adhérent ?
    Alors à quoi servent tous les $\varepsilon$ (d'ailleurs inutiles) que tu introduis dès qu'on te demande la définition d'une borne supérieure ou d'un point adhérent ?
  • Bd2017 j'avais pris $A$ partie de $\R$ pour répondre à JLapin mais merci.

    Rakam :

    $a$ est adhérent à $A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.

    $a = \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.

    Donc la borne supérieure est un point adhérent.

    Mais pourquoi tu parles d'adhérence ici ? C'est quoi le lien avec ma question ?
  • Bd2017

    $A$ est un compact donc une partie fermée et bornée. Or $x_n \in A$ pour tout $n$ donc $(x_n)$ est une suite bornée, on peut en extraire une sous-suite convergente d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass.
  • OShine a écrit:
    $a$ est adhérent à $A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.

    $a = \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.

    Est-ce que tu te rends compte de ce que tu écris?
  • Même un concept si simple que celui d'adhérence te pose des problèmes de représentations mentales ?
  • Soit $a=sup(f(A))$. Par caractérisation de la borne supérieure on a: $\forall n\in\N$ il existe $a_{n}\in f(A)$ tel que $a-a_{n}\leq\dfrac{1}{n}$. Donc on a l'existence d'une suite $(a_{n})_{n\in\N}\in(f(A))^{\N}$ telle $a-a_{n}\longrightarrow 0$ lorsque $n\longrightarrow+\infty$. Donc $(a_{n})_{n\in\N}$ est une suite d'éléments de $f(A)$ qui converge vers $a$. Or $f(A)$ est un compact de $\R$ en particulier il est fermé, donc par caractérisation séquentielle d'un fermé $a\in f(A)$. Ainsi il existe $x_{a}\in A$ tel que $f(x_{a})=a$. Donc $f$ atteint sa borne supérieure.
  • Shannon j'ai recopié des propriétés sur les caractérisations séquentielles, quel est le problème encore ?

    RLC je vois l'adhérence visuellement. Je sais que pour un fermé, son adhérence est égale à lui-même. Mais je ne vois pas où on utilise l'adhérence pour démontrer ce résultat :-S

    Amédé

    Ta première ligne ne sert à rien. Pour le reste je suis d'accord.

    La caractérisation séquentielle de la borne sup donne directement l'existence d'une suite d'éléments de $f(A)$ qui converge vers $a=\sup (f(A))$
  • Rakam j'ai finalement compris ta remarque, dans $\R$ toute partie non vide et bornée admet une borne supérieure et inférieure.
  • OShine a écrit:
    Shannon j'ai recopié des propriétés sur les caractérisations séquentielles, quel est le problème encore ?

    Des fois OShine je me demande si tu es aveugle...


    À part les blagues OShine, est-ce que tu ne serais pas dyslexique ? Car ça pourrait expliquer un certains nombre de choses.

    Je suis sérieux. J'ai fait une petite recherche rapide "dyslexie math" et j'ai trouvé un compte rendu d'un groupe de professeurs de mathématiques de l'académie de Strasbourg qui se sont intéressé aux problématiques liées à la dyslexie dans l'apprentissage. Voici le texte https://www.ac-strasbourg.fr/fileadmin/pedagogie/mathematiques/College/Dyslexie/Introduction_Maths_V2.pdf.

    Voici un extrait :

    Confronté en classe à des élèves présentant des troubles du langage écrit tel que
    la dyslexie, le professeur constate que la lecture en mathématiques ne va pas de soi.

    De plus, certains problèmes dont l’énoncé est développé et fortement contextualisé, les textes explicatifs, les textes de démonstrations, les commentaires d’exercices résolus et les synthèses font l’objet d’un écrit plus long.

    Ces différents types de textes, par leur taille et en raison d’imbrications d’informations peu hiérarchisées ou trop succinctes,
    demandent une attention plus importante qui dépasse la capacité de stockage en mémoire, réduite chez nombre de dyslexiques à trois ou quatre informations.

    Il est probable que les élèves dyslexiques, qui connaissent des difficultés de mémorisation n’aient qu’une représentation parcellaire des informations à traiter. Ce manque conduit à une mauvaise compréhension du texte mathématique.
  • Je ne suis pas du tout dyslexique.

    Mes deux phrases ont été écrites sans regarder mon livre. Le livre dit la même chose :

    Un point $a$ est adhérent à une partie $A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.

    Soit $A \subset \R$ une partie majorée ainsi que $s$ un majorant de $A$.
    On a $s= \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $s$.

    Donc c'est quoi l'erreur encore que je ne trouve pas même en relisant les définitions du livre et en les recopiant exactement ?
  • Oui mais toi ce n'est pas ce que tu as écrit ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2326558,2326804#msg-2326804

    Tu as dit : $a = \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$..

    Donc si je prends $A=[0,2]$, j'en déduis que $1=\sup A$ car il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $1$...
  • Ok merci Raoul.S pour le contre-exemple, j'ai oublié l'hypothèse fondamentale $a$ est un majorant de $A$.

    J'ai relu la preuve et en effet, on utilise bien le fait que $a$ est un majorant de $A$.

    Il y a tellement de caractérisations séquentielles que je me perds entre les bornes sup, les fermés, les compacts etc...
  • Tu l'as déjà dit mais c'est tellement éparpillé qu'on ne s'y retrouve plus !
    $A$ bornée admet une borne supérieure.
    $\sup A$ est un point adhérent.
    $A$ est fermé donc égal à son adhérence.
    Voilà tout ce que je te demandais de voir, ce n'était pas monstrueux !
  • Ok merci.
  • Tu prouves bien ce que j'ai dit : non, tu n'as aucune représentation de quelque chose d'aussi simple que le bord d'un ensemble.
  • Si je sais très bien que l'adhérence de $]0,1[$ c'est $[0,1]$ on prend la frontière en plus.
  • T'es quand même un champion OShine.
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