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Variation de l'aire d'un rectangle

Bonjour,

Je suis confronté au problème suivant, je cherche les positions du point M qui rendent l'aire de MNPQ maximale et minimal.
J'ai eu l'intuition d'écrire que l'aire de MNPQ est: MNxNP et exprimer MN et NP en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles MNB (rectangle en B) et NPC (rectangle en C) puis de faire apparaître une inconnue x qui serait égale à BN et CP mais ça n'a pas marché.

Quelqu'un voit une autre méthode svp?
Cordialement, Lorentz.128570

Réponses

  • L’aire du quadrilatère s’obtient par soustraction et ça devrait donner une fonction polynomiale du second degré (à vue de nez).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Pour l'aire maximale, on peut tout de même l'avoir sans aucun calcul.
  • D’ailleurs, MNPQ n’est pas nécessairement un rectangle.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Il faudrait savoir dans quelle classe est posé ce problème, et donc quels outils mathématiques sont requis pour le résoudre.
    La première idée est de noter $a$ et $b$ les côtés du rectangle $ABCD$, avec $0<a \le b$, de prendre $x$ comme variable et d’étudier l'aire et le périmètre du parallélogramme $MNPQ$ comme fonctions de $x$.
    Il y a peut-être d'autres méthodes sans « calculus », il faut voir.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • J'ai suivi ton raisonnement, j'ai d'abord exprimé l'aire de ABCD qui est de 48 puis en remarquant que l'aire de MBN est égal à celle de PDQ puis que l'aire de NCP est égal à celle de QAM, je dois exprimer l'aire de ces triangles rectangle en fonction de la base qui est x = AM puis de soustraire l'aire de ces triangles à 48.

    C'était bien ça ton idée?
  • C'est destiné à des élèves de secondaire donc terminale maximum, j'ai rédigé quelque chose mais j'obtiens une fonction polynomiale du second degré avec un discriminant négatif. Je ne sais pas si c'est logique.
  • On se moque du discriminant.
  • Si x=AM est entre 0 et 6, a priori l'aire est toujours positive. Ton polynôme ne s'annule pas entre 0 et 6.

    Ici c'est logique de vérifier que le polynôme ne s'annule pas dans cet intervalle. Mais ailleurs... bof

    Il serait plus logique de vérifier ton calcul avec x=0 ou x=6.
  • J'ai gribouillé ça, j'ai étudié mon polynôme sur l'intervalle [0,6], j'ai trouvé que l'aire est minimale lorsque x= 3.5 et maximal lorsque x= 0.128572
  • Oups, je n'avais pas vu que les côtés du rectangle $ABCD$ étaient donnés. Mais il est intéressant de résoudre le problème en général. Pour le périmètre, il faudra quand même savoir si l'on peut utiliser la dérivée.
  • Bon, d'après le manuscrit de Lorentz, on peut utiliser les dérivées. Pour l'aire, ce n'est pas indispensable. Il y a une chose dont je ne cesse de souligner l'importance, c’est la forme canonique du trinôme.
  • A un facteur près x(8-x)+x(6-x)=x(14-2x) est minimum pour x=7/2.... pourquoi cette étude de variation un peu longuette?
  • J'avoue mais j'avais suivie les consignes de quelqu'un sur le forum donc j'ai fait comme ça mais j'avoue ta méthode est plus rapide.
    Après si j'ai trouvé c'est l'essentiel
  • ...j'avais suivi...
    C'est le verbe suivre, non le verbe suivier.
  • Merci pour l'orthographe Chaurien mais là je cherche à exprimer le périmètre de MNPQ et je suis bloqué.
  • Pour le périmètre j'ai regardé un peu ce que cela donne.

    Le 1/2 périmètre c'est MQ+QP que tu exprimes en fonction de x (grâce à Pythagore).

    Contraire à l'aire, tu obtiens une somme de 2 racines de polynômes du second degré. Ici, je vois mal comment on peut éviter le calcul avec la dérivée.

    Il faut alors dériver et chercher quand cette dérivée s'annule. Ce n'est pas trop compliqué mais il faut bien s'y prendre.
  • Je bloque à partir de là, je ne vois pas comment exprimer le demi périmètre.128574
  • Justement tu ajoutes les 2 racines de ces 2 polynômes et c'est cela dont tu dois chercher les extrémums.
  • Mais justement ces deux polynômes n'ont pas de racines réelles, je trouve des discriminants négatifs: -256 et -144.
    Je ne suis pas sûr de comprendre
  • Lorentz
    On pourrait savoir pour quelles raisons ces discriminants négatifs t’étonnent et en quoi ces discriminants seraient utiles?
  • Parce que bd2017 me dit: "tu ajoutes les racines de ces deux polynômes" Là je vais trouver des racines complexes.
  • Allez pour jouer un peu : on se doute que la variation de l'aire est symétrique par rapport à son minimum, et que chaque valeur d'aire sera atteinte une fois de chaque côté du minimum (soit à cause du dessin, soit parce que pour causes de dimension la relation est forcément une somme de termes quadratiques donc un polynôme de degré 2).
    Comme il est facile de se convaincre que les cas où on prend pour x les demi-longueur et demi-largeur donnent les mêmes valeurs, c'est que le minimum est atteint au milieu de ces valeurs, soit 3,5.
  • J’ai l’impression de revivre le sketch des inconnus ’’Stéphanie de Monaco’’.:-D
  • Pour le périmètre minimum, je trouve $x=\frac {ab}{a+b}$, avec quand même quelques calculs.
  • Toi tu trouves et moi je n'ai toujours pas trouvé la fonction à étudier.
  • Cette fonction s'obtient au moyen du théorème de Pythagore, ainsi que l'a dit bd2017 :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2326396,2326538#msg-2326538
  • Bonjour
    En disant ajouter les racines (je pensais aux racines carrées)

    Le $1/2$ périmètre $=\sqrt{p1(x)}+1/\sqrt{p2(x)}$ car $p_1(x)$ et $p2(x)$ sont les carrés des longueurs des côtés.

    Par ailleurs s'il fallait ajouter les racines des polynômes, je me poserai la question pourquoi?
  • Lorentz
    On pourrait savoir si ce n'est pas trop indiscret pour quelle raison tu souhaites te confronter à ce problème car visiblement tu n'es plus du tout lycéen (il y a trois ans tu discutais de sujets largement au dessus du niveau bac) et c'est pour cela que je m'étais permis ma dernière remarque (combien de fois des lycéens sautent comme un cabri avec ce "discriminant!" dès qu'il voit un x^2 traîner quelque part:-D sans chercher plus loin).
    Si cet exercice est destiné à des élèves du secondaire c'est encore trop flou, un élève de première peut utiliser la dérivée, pas un élève de seconde, même si comme le dit Chaurien on peut utiliser la forme canonique pour le sens de variation d'un polynôme du second degrés dès la seconde (en réalité la majorité des élèves de seconde est incapable d'utiliser cette méthode si il n'y a pas d'aide).
  • La forme canonique donne le minimum (resp. le maximum) de $f(x)=ax^2+bx+c$ sans qu'il soit nécessaire d'étudier la variation.
    J'ai indiqué à plusieurs reprises que dans l'étude du trinôme du second degré, il faut marquer l'importance du calcul de la forme canonique, aussi indispensable que la mémorisation du célèbre $\Delta=b^2-4ac$. La forme canonique est très utile dans les mathématiques ultérieures, dans plusieurs circonstances : extrémums, formes quadratiques, calculs d'intégrales, etc.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Biely : on donne (donnait ?) la formule toute faite pour la forme canonique d'un trinôme en seconde, qui est à peu près le seul résultat d'algèbre de l'année.
    Donc je m'étonne de lire qu'un élève de seconde sècherait sur l'exercice (sauf pour l'étape de modélisation).
  • RLC
    il me semble que c'est loin d'être systématique de donner la formule toute faite (c'est d'ailleurs bien regrettable si c'est le cas car encore une fois on met les difficultés techniques sous le tapis avec une formule que très peu d'élèves de seconde sont capables de démontrer).
    On voyait aussi des méthodes comme la résolution de l'équation a x^2+bx+c=c et en prenant ensuite (x1+x2)/2.
    Pour le périmètre cela me semble compliqué pour un élève de seconde mais on peut être moins gourmand et demander de démontrer par exemple que le minimum du demi périmètre est atteint pour x0 avec 3<x0<4.
  • Pour le périmètre minimum j'ai trouvé comme Chaurien.

    Une fois qu'on a le résultat on peut le démontrer sans calculs en introduisant les symétriques $Q_1$ et $Q_2$ de $Q$ par rapport à $A$ et $D$ puis en cherchant à minimiser $Q_1M+MN+NP+PQ_2$.
  • Tiens, je ne savais pas qu'on enseignait la méthode que j'ai utilisée pour résoudre le problème ici en se fondant sur la symétrie de la parabole d'axe vertical passant par le sommet.
    Je suis bien d'accord que donner la formule est dommage, d'autant que ma prof de seconde ne l'avait même pas justifiée au moins sur un exemple en complétant le carré, mais je pensais que c'était au programme.
  • Bonsoir, je n'ai pas abandonné et je ne désespère pas: j'ai appliqué les conseils de bd2017 mais par contre je trouve une somme de deux fonctions pas sympa. Je sais pas si c'est bien ça qu'il fallait faire.128614
  • Pourquoi le 1/sqrt( .....)?

    Tu dois trouver quelque chose de la forme 1/2 P= racine(p_1(x) +racine de (p_2(x))

    p_1 et p_2 étant les carrés des 2 côtés obtenues avec Pythagore.
  • Je trouve que le périmètre atteint un maximum pour x =0 et un minimum pour x= 24/7. J'ai pas détaillé tout les calculs qui sont un peu lourd.128616
  • Lorentz
    f’(x)=0 n’est pas suffisant pour justifier le signe de f’(x).
  • Pas suffisant ? J'ai fait mon tableau de signe, que puis-je faire de plus ?
    Le signe est positif à l'extérieur des racines n'est-ce pas ?
  • Lorentz
    Est-ce que A+B>0 est équivalent à $A^2$-$B^2$>0?
  • Nope. Je vois le problème, je vais rectifier le tir
  • Voilà Biely, j'ai pas oublié, j'espère que c'est mieux comme ça.128710
  • Je ne comprends pas ce que tu fais. Sur quel domaine tu travailles? Je vois des égalités mélangées avec une inégalité suivi tout d'un coup d'une équivalence etc.
    Pourrais-tu résoudre sur [0;6] l'inéquation $\frac{4x-16}{\sqrt{2x^2-16x+64}}+\frac{4x-12}{\sqrt{2x^2-12x+36}}$>0 en justifiant chaque étape?
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