Partie non compacte — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Partie non compacte

Bonsoir,

Je n'arrive pas à démontrer le résultat énoncé dans la méthode. J'ai tenté par l'absurde mais je ne trouve pas de contradiction.

Supposons qu'il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $(n,p) \in \N^2$ on ait $ n \ne p \implies ||u_n -u_p || \geq \alpha$ et supposons que $(u_n)$ possède une sous-suite $(u_{\phi(n)})$ convergente.128538
«1

Réponses

  • Mais bordel t'as pas l'impression que u n'existe nulle part ? Que le but c'est de la définir ?

    Mais c'est normal tu n'as pas compris la définition. Il faut un recul de dingue sur la notion de compact afin de comprendre juste la quantification qu'il y a dedans.
    Je pense qu'un élève d'ENS ne saurait pas faire et la plupart des membres du forum non plus sauf s'ils l'ont déjà vu et le rapport du jury etc etc la Chine le lycée c'est trivial maintenant vous savez c'est du chinois ah oui je vois merci mais le corrigé le corrigé ah non désolé bon merci c'est du chinois je ne vois pas ah d'accord le corrigé dit oui mais je vois pas l'idée me harceler avec des exos pourquoi vous le chinois c'est vous savez et si seulement des fois les maths j'avais enfin si le dunod dit le dunod dit dans mon livre oui le corrigé je ne vois pas le passage en rouge car oui du chinois et un jour l'agreg oui elle se simplifié vous savez les questions dures pour les chinois de toute façon donc facile hehe oui alors le chinois je ne comprends pas mais tant pis le recul pour plus tard le chinois et donc je le chinois car les compacts sont du chinois la suite je pose la suite pourquoi pas je comprends pas le chinois de la suite car sur mon livre ah non c'est bon merci homo topi toujours la ramène mais pas doué lui comment il ose alors que du chinois pourquoi pas juste la réponse du chinois m'embrouille du chinois mettre le smiley confus et du chinois

    Edit : OK, je n'avais pas vu que tu interrogeais sur le point méthode je regardais l'exercice.
    Je garde mon post de rage. Du grand Faulkner je sais.
  • Bonsoir
    Oshine, on ne termine pas un topic , et on ouvre un nouveau topic.
    On n'a rien à démontrer ici, Si on a une sous-suite convergente, en se ramenant à la définition formelle de convergence ,tu vois que ça doit marcher pour tout $\epsilon$ donc en particulier pour le réel choisi dans ta remarque, mais ce qui n'est pas le cas non? conclusion?
  • @Oshine : une petite question

    Parmi ces suites, lesquelles sont convergentes ? Vers quoi ? Pourquoi ?

    $v_n=u_{\phi(n)+1}-u_{\phi(n)}$
    $w_n=u_{\phi(n+1)} - u_{\phi(n)}$
    $x_n=u_{2\phi(n)} - u_{\phi(n)}$
    $y_n=u_{\phi(2n+\lfloor 2\sin(n)\rfloor)} - u_{\phi(n)}$

    Comment utiliser ça pour répondre à la question que tu poses ?
  • Gon je n'ai pas compris ton explication.

    JLapin
    Je ne sais pas répondre à tes questions, on ne sait rien sur $u$ :-S
  • OShine écrivait:
    >supposons que $(u_n)$ possède une sous-suite $(u_{\phi(n)})$ convergente.
  • JLapin mais on ne sait rien sur la suite u dans ton exercice je nage.
  • Quand on commence la musique en autodidacte et qu'on finit par voir un prof après plusieurs années de mauvaises habitudes, on est souvent amené à entendre un discours qui se résume ainsi :
    "Les vrais débutants au moins commencent à zéro. Avec toi, on commence à moins dix".

    Pour ma part je ne sais pas à quel nombre négatif situer ton niveau. C'est effarant.
  • S'il existe une sous-suite convergente elle est de Cauchy mais la condition dit qu'aucune sous-suite n'est de Cauchy, d'où la contradiction.
  • @ OShine : Pourtant c'est évident, si la distance entre deux termes quelconques de la suite (un) est minoré par un réel $\alpha$ non nul, il ne peut exister deux termes dont la distance est arbitrairement petite et donc a fortiori $\lt$ $\alpha$. Par conséquent aucune sous-suite de (un) ne pourra converger vers quoi que ce soit.

    Si la suite (u$\phi(n)$) converge, tous les termes à partir d'un certain rang vont se trouver dans une boule de rayon $\lt$ $\alpha/4$. Comment veux-tu dans cette condition que deux termes parmi ceux qui sont dans cette boule aient une distance $\ge$ $\alpha$ ?
  • Pour l'exercice @Os devra démontrer que A est bien une partie fermée et bornée.
    Avec ça on est parti pour un bon moment.
  • Bd2017 les suites de Cauchy ne sont plus au programme...

    Le fait qu'une boule fermée est une partie fermée c'est du cours.

    $B_f (0,1) =\{ P \in \R[X] \ | \ ||P|| \leq 1 \}$

    Soit $Q \in B_f(0,1)$. Alors $||Q|| \leq 1$ donc $B_f(0,1)$ est une partie bornée.

    Serge_S
    Merci !
  • Pour l'exercice de JLapin, on sait que $\forall n \in \N \ \phi(n) \geq n$

    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \phi(n)= + \infty$

    Mais je ne sais pas faire l'exercice :-S
  • Commençons par le début alors.
    Est-ce que $(u_{\varphi(n)+1})$ converge?
  • Comment répondre sans savoir qui est la suite $(u_n)$ ?
  • En prenant un contre-exemple si c'est faux en général ou une preuve si c'est vrai qu'elle que soit la suite ?
    Tu as vraiment régressé à ce point ?
  • OShine écrivait:
    > supposons que $(u_n)$ possède une sous-suite $(u_{\phi(n)})$ convergente.

    Est-ce que tu as envisagé que j'essayais de t'aider à répondre à la question que tu poses ?
  • Si $u_{\varphi(n)}$ converge, alors toutes les sous-suites convergent vers la même limite et $v_n \longrightarrow 0$

    De même $w_n \longrightarrow 0$

    De même $x_n \longrightarrow 0$

    On ne sait rien pour $y_n$ car l'application $n \mapsto 2n + E(2 \sin (n) )$ n'est pas croissante.
  • Mais c'est toi qui a parlé de u et de $\phi$ dans ton post initial !
    Je ne fais que répondre à celui-ci. C'est si difficile que à comprendre ?
  • Mais je viens de faire une remarque...

    Tu es au courant que les maths servent à établir des résultats généraux ou même cette simple idée c'est trop ?
  • J'ai modifié mon message.
  • Tu as faux à trois réponses sur 4.
    Tu devrais revoir en profondeur le chapitre de première année sur les suites extraites. Tu montres des lacunes sévères sur ce sujet (comme dans l'autre thread actuellement ouvert).
  • Une seule bonne réponse.
  • $u_{\phi(n)+1}$ est une suite extraite de $u$ car l'application $n \mapsto \phi(n)+1$ est strictement croissante par somme d'une application constante de d'une application strictement croissante.

    $u_{\phi(n+1)}$ est une suite extraite de $u$ car l'application $n \mapsto \phi(n+1)$ est strictement croissante comme composée de deux applications strictement croissantes.

    $u_{2 \phi(n)}$ est une suite extraite de $u$ car l'application $n \mapsto 2 \phi(n)$ est strictement croissante comme composée de deux applications strictement croissantes.

    J'ai beau relire 10 fois je ne trouve pas mes erreurs.
  • Faut revenir aux fondamentaux, tu ne sais pas ce qu'est une suite extraite. Ça ne sert à rien de faire un cours de topo et de parler de compact hein c'est du chinois à ton niveau.
  • Et surtout, tu ne sais pas lire des hypothèses pour en tirer des conclusions par un raisonnement logique.
  • Si je sais ce qu'est une suite extraite.

    C'est une suite de la forme $(u_{f(n)}$ où $f$ est une application de $\N$ dans $\N$ strictement croissante.

    Si $u_n= (-1)^n$ alors les suites définies par $u_{2n}=1$ et $u_{2n+1}=-1$ sont des suites extraites de $u$ car les applications $n \mapsto 2n$ et $n \mapsto 2n+1$ sont strictement croissantes et définies sur $\N$ à valeur dans $\N$.

    Je ne trouve pas l'erreur dans mon raisonnement, j'ai juste utilisé que la composée de deux applications croissantes est croissante.
  • N'apprends jamais la logique à tes élèves s'il te plaît. Ne sors absolument jamais des corrigés d'exercices tous faits et identiques. C'est important.
  • Mais tu n'as tout de même pas correctement répondu à ma question qui n'était pas "trouver les suites extraites de $u$".
    Et +1 pour le message ci-dessus...
  • J'ai compris mon erreur de logique. Si une suite converge alors toutes les sous-suites convergent vers la même limite.

    Si une sous-suite converge, on ne peut pas forcément dire grand chose sur une autre sous-suite.

    $v_n$ converge vers $0$ car si une suite $(u_n)$ converge vers $l$ alors $(u_{n+1})$ aussi.

    Pour les autres suites je ne trouve pas la réponse :-S
  • Bd2017 les suites de Cauchy ne sont plus au programme...

    Faut pas déconner!
  • C'est quand même fort. Tu as réussi à te tromper encore après avoir "élucidé" la faute logique.
  • C'est $w_n$ qui tend vers $0$ pardon les autres je ne sais pas faire.
  • Ok, laisse tomber les autres suites et essaye de répondre à la deuxième partie de mon message initial.
  • OS a écrit:
    les autres je ne sais pas faire

    Tu as donné toi-même un exemple de suite pour répondre à la première. C'est fou!
  • Shannon je n'ai pas compris son exercice. Pour moi il manque des infos.
    Je ne comprends pas le rapport entre l'exercice et la question de départ.
  • Pourquoi tu t'infliges ça...
  • Il n'a pas reçu suffisamment de gifles à l'oral de son concours. Pourquoi, il y a normalement 6 mains pour ça.
  • Je ne comprends rien.

    Serge_S a expliqué clairement mais je ne comprends pas le reste avec les exemples de sous-suites.
  • OShine trouve un moyen pour te raccrocher aux maths ! Prends des cours avec des profs que tu peux voir dans la vraie vie, lâche internet ! Lache ton Dunod MP, quel intérêt sérieusement ? Les suites de Cauchy ne sont plus au programme de prépa mais c'est une ignominie car c'est un outil indispensable pour faire de l'analyse ! Quel intérêt de coller au programme de prépa pour toi ?

    Tu progresseras beaucoup mieux avec ton envie d'apprendre ! Là tu fais du surplace et tu te maintiens dans un sentiment d'échec ! Pour la n+1 ème fois.

    Cordialement
  • skazeriahm a écrit:
    Tu progresseras beaucoup mieux avec ton envie d'apprendre

    Mais justement ce qui le motive ce n'est pas l'envie d'apprendre c'est autre chose, raison pour laquelle il a tous ces problèmes en math.
  • Petit rappel : le but dans la vie de Oshine est de réussir à faire des sujets de maths de Centrale Mines, 15 ans après ses échecs aux concours. Je n'invente rien il l'a déjà dit lui même sur le forum. C'est une frustration qui dure. Son but n'est pas d'apprendre les maths.
  • J'étudie dans un livre qui ne parle pas de suites de Cauchy et il y a suffisamment à apprendre je suis déjà très lent pour assimiler.

    Quelqu'un peut m'expliquer l'exercice de JLapin et le rapport avec ma question initiale ?

    Je ne vois toujours pas.
  • Ce chapitre dépasse de très loin tes capacités actuelles. Tu ne devrais pas en poursuivre l'étude dans l'état.
  • Je l'étudie et peut être que dans quelques mois j'aurai plus de recul et une meilleur compréhension.

    L'algèbre linéaire je ne comprenais pas grand chose quand j'ai étudié le cours de MPSI mais après 1 an de recul, j'ai une bien meilleure compréhension.

    Mais si tu ne veux pas m'expliquer ton exemple et le lien avec la question, tant pis JLapin.
  • Je ne comprends pas pourquoi $u_{ 2 \varphi(n)}$ n'est pas une sous-suite de $(u_n)$.

    Pourtant l'application $f : \N \longrightarrow \N \\ n \mapsto 2 \varphi(n)$ est strictement croissante.
  • C'est une sous-suite de $u_n$.
  • Non, tu es toujours nul en algèbre linéaire même de base, tu devrais déjà largement maîtriser les sous-suites puisque c'est simplement la définition
    de la composition de fonctions que JLapin te demande d'utiliser, tu n'auras jamais de recul parce que tu ne suis toujours pas les bons conseils et tu n'arriveras jamais à faire une partie de sujet X/ENS sans tricher.
    Donc arrête de mépriser les questions que te posent ceux qui veulent calmer la colère que tu leur inspires en t'offrant de l'aide, simplement parce qu'ils savent bien mieux que toi qu'il est largement préférable de pratiquer la maïeutique plutôt que te donner la becquée, ce que tu n'acceptes pas puisque tu es un bébé qui refuse encore de ne pas manger des frites tous les jours et de ne être récompensé pour bien les avoir mangées.
  • OS a écrit:
    tant pis JLapin.

    Moi si j’avais autant d’aide à ta place gratuitement, je ne m’exprimerais pas ainsi en m’adressant à mes professeurs.
    Tu as déjà fait cette erreur avec bisam, et tu vois bien que c’était au mieux très maladroit.
    Quand ce sont des personnes d’un niveau modeste comme moi, ce n’est pas bien grave. Mais tu n’es même pas capable d’identifier les interlocuteurs que tu n’aurais pas intérêt à perdre.
    Je te l’ai déjà dit, prends du bon temps.
  • Et est-ce que $(u_{2\phi(n)})_n$ est une sous suite de $(u_{\phi(n)})_n$ ?
  • @Noobey ok merci.

    Alexique non.

    Si je pose $z_n =u_{\phi(n)}$ alors une sous-suite de $z_n$ est de la forme $z_{\psi(n)}=u_{ \phi \circ \psi(n)}$

    Seule $w_n$ converge vers $0$ car $u_{\phi(n+1)}$ est une sous-suite de $u_{\phi(n)}$. Pour les autres, on ne peut rie dire.

    Pour le dernier l'application $n \mapsto 2n + E(2 \sin n)$ n'est pas strictement croissante car le signe de $\sin(n)$ varie tout le temps.

    Mais j'ai du mal à voir le lien avec la question de départ :-S
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!