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Suite convergente dans un compact

Bonsoir,

Je commence le chapitre sur la compacité et je trouve ces notions difficiles et subtiles.

Je bloque sur les passages encadrés. J'y ai réfléchis mais je n'arrive pas à les comprendre seul.

Il s'agit de la démonstration du théorème suivant :

Une suite à valeurs dans une partie compacte est convergente si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Pour le premier passage, je pense qu'on pose $\varphi(n)=n+n_0$ mais je n'arrive pas à en déduire que $$(\exists \ \varepsilon >0 \ \ \forall \ n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n- \alpha|| > \varepsilon) \implies (\forall n \in \N \ ||a_{n+n_0}- \alpha || > \varepsilon)$$ ...

Pour le deuxième passage, je ne suis pas sûr. La composée de deux sous-suites est une sous-suite car si $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont strictement croissante alors la composée $\varphi_1 \circ \varphi_2$ aussi ?128532
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Réponses

  • Qu'est-ce qu'une valeur d'adhérence pour toi ?
  • Algèbre? Bizarre.

    Sinon, voir ici.
    C’est fou quand même.
  • Où est donc l'algèbre (de monsieur Seguin) là-dedans ?

    Essaie de comprendre la manière dont on construit la suite. C'est grave quand même, tu as vu cent fois des constructions du genre.

    Sinon la compacité niveau spé n'est pas une notion spécialement subtile, bien au contraire c'est un type d'ensembles vraiment idéal et confortable pour faire de l'analyse. Si bien qu'une technique courante pour établir certains théorèmes est d'écrire certains ouverts comme des limites de compacts.

    Un compact c'est juste un ensemble "pas trop gros". Il est tangible en dimension finie (fermé et borné, en gros tout ce sur quoi on a une prise véritable), en dimension infinie il est précieux puisque minuscule (il ne contient pas de boule fermée par exemple, donc il n'est que fumée bien que fermé), mais dans tous les cas il est pratique : on peut prendre des limites de suites, des extremas de fonctions, bref établir des existences d'éléments sans problème.
    Voilà à quoi servent les compacts en première approche. Ce ne sont pas des mots stylés et nébuleux donc cesse de te braquer dès qu'il y a un mot un peu classe quelque part.
  • Une valeur d'adhérence est la limite de toute sous-suite d'une suite.

    Je ne comprends pas comment on construit la sous-suite $(b_n)$ j'ai relu les messages ça ne me débloque pas...

    RLC j'ai souvent des blocages avec les raisonnements qui utilisent les suites extraites…
  • Bonsoir
    la ligne du dessus est vraiment importante Mr Oshine :-D. Il est marqué que pour tout $n_{0}$ il existe... C'est là que se cache la construction de ta sous-suite car on fait une énumération croissante des entiers qui vérifient cette inégalité. ce qui permet d'aboutir à ce qu'on cherche.
  • Noobey je rectifie :

    On appelle valeur d'adhérence d'une suite $(a_n)$ tout élément de $E$ qui est limite d'une sous-suite de $(a_n)$.

    Gon d'accord merci. Voici mon idée.

    Pour $n_0 =0$ il existe un élément $n$ tel que $n \geq n_0 \implies ||b_n - \alpha || > \varepsilon$. Notons-le $\varphi(0)$.

    Pour $n_0 =1$, il existe un élément $n'$ tel que $n \geq 1 \implies ||b_n - \alpha || > \varepsilon$. Posons $\varphi(1)= \max( \varphi(0), n')$

    Pour $n_0 =2$, il existe un élément $n''$ tel que $n \geq 2 \implies ||b_n - \alpha || > \varepsilon$. Posons $\varphi(2)= \max( \varphi(0), \varphi_1, n'')$

    Ainsi, par itération on construit une suite $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante.

    Par contre, je n'arrive pas à montrer que $\forall n \in \N \ \ ||b_n- \alpha|| > \varepsilon$.
  • Bonsoir
    J'ai lu en vrac ce que tu as écrit mais la suite qui vérifie ton inégalité découle de la ligne dont je te parlais plus haut, donc qu'est-ce que tu veux montrer ?
  • Ah d'accord merci.

    Je crois que ma construction est correcte.

    Pour chaque entier n il existe un rang N qui dépend de n a partir duquel on a l'inégalité voulue.
    Ensuite c'est juste de la rédaction et on doit bien ordonner les N pour avoir phi strictement croissante.
  • Tu voulais étudier la composée de 2 sous-suites, qui serait croissante.

    La notion de suite croissante, c'est défini parfois, mais pas systématiquement. Ici, non. Tu as tenté un truc au hasard, et mauvaise pioche.

    Et pire. Tu parles de la composée de 2 sous-suites. C'est un concept que tu viens d'inventer ? Tu définis ça comment ?

    T'es comme les mauvais élèves de lycée, tu mets des mots à consonnance mathématiques les uns derrière les autres, et ça te donne l'impression de faire des maths.
  • Tu écris « posons $\varphi(1)=\max (\varphi(0), n’)$ » et ensuite tu espères montrer que tu as une extractrice?
    C’est une démarche débile.
    Tout ça parce que t’as du mal à comprendre qu’avec une infinité de termes d’une suite on peut en extraire une sous-suite...
  • J'aimerais revenir sur les valeurs d'adhérence après notre conversation sur l'uniforme continuité et la difficulté à visualiser les choses.

    Comment tu visualises concrètement une valeur d'adhérence ?
  • RLC je ne visualise rien et ton message sur la compacité c'était du chinois pour moi. Mais je n'ai pas encore terminé le chapitre, je me vois mal avoir du recul sur une notion que je découvre.

    Shannon bien vu c'est $\varphi(1)=\max( \varphi(0)+1,n')$ sinon on n'a pas la stricte croissance.

    Lourran je me suis mal exprimé.

    Une sous-suite d'une sous-suite est une sous-suite.
    Démonstration :
    Soit $u$ une suite et $(u_{\varphi(n)})$ une sous-suite extraite de $u$. Alors $\varphi$ est une application strictement croissante de $\N$ dans $\N$.
    Posons $v_n=u_{\varphi(n)}$ Une sous-suite de $v$ est $(v_{\psi (n)}$) avec $\psi$ strictement croissante.

    Comme $\psi \circ \varphi$ est strictement croissante comme composée de deux applications strictement croissantes de $\N$ dans $\N$ alors $(u_{\psi \circ \varphi})$ est une sous-suite de $u$.
  • Il faut juste justifier que $\phi(1)=\max(\phi(0)+1,n')$ vérifie bien la relation $||b_{\phi(1)}-a||>\epsilon$ par exemple quand $\phi(0)>n'$.

    Tu sais le faire ?
  • Noobey cela découle de la définition de $\varphi_1$ et du fait que $\varphi_1 \geq n'$.

    RLC une valeur d'adhérence c'est un valeur où s'accumulent une infinité de terme de la suite.
  • Bonsoir
    En revenant à ce que tu as écrit plus haut, il suffit avec une feuille et un stylo de voir comment on construit notre sous-sous-suite (en parlant surtout des indices en question).
    Tu peux même construite cette application en posant $\phi(n)=\max\{n \in \mathbb{N} \ ;\ \lvert U_{n}-l \rvert >\epsilon\}$.
    En revenant à mon énumération dans mon message précédent, il s'agissait de regarder :
    si on pose $N=1$, il existe $n_{1}>1$ tel que ...
    Si on prend $N=n_{1}>1$, il existe $n_{2}>n_{1}$ tel que ...
    On construit bien une sous-suite...
  • Je n'avais pas vu les messages précédents des intervenants
    Désolé.
  • Gon merci c'est très clair.
  • Si j'ai bien compris, quelque part @Os a écrit (en termes mathématiques)
    "Il y a une infinité de termes de la suite en dehors de la boule de centre a et de rayon epsilon"
    Ces termes forment une sous-suite en dehors de la boule mentionnée ci dessus.
    Donc il essaie de démontrer ce qu'il a écrit parce que il ne sait pas ce qu'il a écrit ?
  • Ca decoule de rien du tout c'était un piège c'était complètement faux...
  • Qu'est-ce qui est faux ? Je n'ai pas compris ton piège ou même le but de ton dernier message.

    Il n'y a rien à montrer, la construction de la sous-suite donne l'inégalité voulue.
  • @Os Tu n'as rien compris au message de @ Gon Tu dis que c'est clair mais tu en es certain ?
    Il dit que tu peux prendre phi(n)= max d'un certain ensemble ...
    Moi je ne comprends pas explique un peu.
  • Il y a quand même lourran qui t'a dit que c'était bizarre de ne pas chercher (juste chercher) à visualiser ce que dit une définition sans la manipuler.

    Tu connais le théorème de Bolzano-Weierstrass donc non tu ne fais rien de nouveau.
    Tu es juste de mauvaise volonté.

    Je ne demande pas de recul. Le recul ce sera le stade où justement tu comprendras qu'un compact est un ensemble parmi les plus sympas qui soient.
    Juste en une phrase autre que la définition ce que signifie "l est valeur d'adhérence de u". Une phrase en français.
    Et pourquoi le théorème de Bolzano-Weierstrass est évident sur un dessin partant de cette définition interprétée ?

    Mais si tu veux tu as le droit de préférer galerer à comprendre comment construire une suite qui dit juste "on pose $\phi(n+1)$ le plus petit entier plus grand que $\phi(n)$ tel que la relation marche" au bout de cinquante ans à "apprendre les maths" en autodidacte. J'imagine que c'est normal de ne pas avoir de recul sur des constructions aussi simples après si peu d'années et d'heures perdues à choper des sinusites pour apprendre par cœur des suites de symboles sans chercher à comprendre parce que "c'est normal que ce soit du chinois" avant d'aller fixer des énoncés tel un bovin pendant des heures histoire de faire semblant de les chercher avant d'aller copier le corrigé.
  • Je t'assure Oshine que si tu dis que phi(1)=phi(0)+1 convient parce que phi(1)>n' c'est que tu n'as absolument rien compris. Mais ça je n'en doutais pas.
  • RLC je ne sais pas pourquoi le théorème de Bolzano-Weierstrass est évident sur un dessin.
    Une valeur d'adhérence c'est un valeur où s'accumulent une infinité de terme de la suite.

    Bd2017 je crois que l'expression de $\phi(n)$ de Gon est fausse car l'ensemble $\{ n \in \N \ | \ ||u_n - \alpha || > \varepsilon \}$ n'est pas majoré.

    Noobey je n'ai jamais dit ça. Voici ma construction d'une sous-suite.

    Si $N=0$, il existe $n_0 \in \N$ tel que $n \geq n_0 \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(0)=n_0$

    Si $N=1$, il existe $n_1 \in \N$ tel que $n \geq n_1 \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(1)=\max \{ n_1, \varphi(0)+1 \}$

    Si $N=2$, il existe $n_2 \in \N$ tel que $n \geq n_2 \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(2)=\max \{ n_2, \varphi(1)+1 \}$

    Si $N=k$, il existe $n_k \in \N$ tel que $n \geq n_k \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(k)=\max \{ n_k, \varphi(k-1)+1 \}$

    On voit clairement lors de la construction que $\boxed{\forall k \in \N \ \ ||u_{\varphi(k)} -\alpha|| > \varepsilon}$
  • La cata...
  • Je ne comprends pas le problème.

    Donnez-moi une solution correcte alors.
  • Tu veux la solution mais elle est là (voir ci-dessus ton message encadré) !

    Je répète la première ligne signifie qu'il existe une infinité de $a_n $
    en dehors de la boule $B(\alpha, \epsilon).$

    Les termes de cette suite qui sont en dehors de la boule est donc une sous-suite qui répond à la deuxième ligne. C'est une évidence. Que peut-on démontrer de plus?

    Ceci montre que tu ne sais pas lire.
    Et quand quelqu'un écrit n'importe quoi (comme on peut le constater ci-dessus) tu trouves que c'est clair
    mais quand c'est vraiment clair, pour toi c'est du chinois.

    Cela va continuer combien de temps?128542
  • O Shine,

    à quoi servirait un "solution correcte" alors que tu es capable d'écrire ce message ? Tu écris, tu écris, tu imites des démonstrations en copiant leur écriture, jamais leur signification !! Tu ne t'es même pas rendu compte que ce que tu écris permet de prendre $n_0=n_1=n_2 = ...$ puisque c'est le même $\varepsilon$. Tu écris sans même te rendre compte que ta condition initiale "Si $N=0$", "Si $N=1$", "Si $N=2$", ... est aberrante puisque ce qui suit ne dépend pas de $N$.
    Tu ne fais pas des maths, seulement de la calligraphie. Et sur ordinateur, c'est vraiment sans intérêt.
  • Tiens gerard, on rompt le vœu de silence ?
  • Non, le vœu est seulement d'arrêter d'aider OS. Mais comme je ne parle ici que des âneries qu'il a écrites, ça ne l'aide pas (il n'en tient jamais compte, il attend des calculs ou raisonnements tout faits, à copier, garder en réserve, et oublier (:P)

    Cordialement.
  • Au bout de deux ans...
    OShine a écrit:

    pourquoi OShine ?

    PS. B-)-
  • Bd2017 ok j'ai compris ta réponse mais cela ne donne pas la construction explicite de la suite.

    Gerard je ne comprends toujours pas l'erreur.

    Je sais que le $n_0$ ne dépend pas de $\varepsilon$. Mais c'est le $n \geq n_0$ qui dépend de $n_0$.

    Je ne vois toujours pas où est mon erreur :-S

    Gon a fait la même "erreur" que moi et pourtant personne ne fait de remarque sur son message.
  • OShine à partir de cette formule logique : $\forall \ n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n- \alpha|| > \varepsilon$

    tu dois pouvoir construire une suite extraite qui convient, donc une application $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que pour tout $n\in \N$, $||a_{\varphi(n)}- \alpha|| > \varepsilon$.

    Et supprime tes symboles $\implies$ qui n'ont rien à faire là.
  • raoul.S merci j'avais mal écrit la négation de la convergence :-(

    Si $n_0 =0$ alors il existe $n \geq 0$ tel que $||a_n - \alpha|| > \varepsilon$.

    Posons $\varphi(0)= \min \{ n \in \N \ \ n \geq 0 \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$

    Si $n_0 =1$ alors il existe $n \geq 1$ tel que $||a_n - \alpha|| > \varepsilon$.

    Posons $\varphi(1)=\max \left( \min \{ n \in \N \ \ n \geq 0 \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \} +1, \min \{ n \in \N \ \ n \geq 1 \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \} \right)$

    On a donc $\varphi(1) > \varphi(0)$

    Et on continue par itération. Les $\varphi(n)$ sont des éléments de l'ensemble $\{ n \in \N \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$ ainsi on a $\forall n \in \N \ \ ||a_{\varphi(n)}- \alpha || > \varepsilon$
  • Toujours pas...
  • Je ne vois pas l'erreur :-S
  • Mais ça n'a juste aucun sens. Je ne comprends absolument pas comment ça peut t'échapper à ce point.
  • OShine tu t'approches de la bonne méthode mais la tienne elle peut foirer.

    Imagine dans ta construction ci-dessus que $\min \{ n \in \N \mid n \geq 1, \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$ est égal à $\varphi(0)$ (ça pourrait arriver en pratique) que vaudra ton $\varphi(1)$ ?
  • $\varphi(1)=\max(\varphi(0)+1 , \varphi(0) ) = \varphi(0)+1 > \varphi(0)$ dans ce cas et je ne vois pas le problème.

    C'est pour cela que je prend le maximum.

    RLC voici une méthode plus simple que j'ai trouvée.

    Si $n_0 =0$ alors il existe un entier $N_0 \geq 0$ tel que $||a_{N_0}- \alpha|| > \varepsilon$. Posons $\varphi(0)=N_0$

    Si $n_1 = N_0+1$ alors il existe un entier $N_1 \geq N_0+1$ tel que $||a_{N_1}- \alpha|| > \varepsilon$. Posons $\varphi(1)=N_1$

    Si $n_2 = N_1 +1$ alors il existe un entier $N_2 \geq N_1 +$ tel que $||a_{N_2}- \alpha|| > \varepsilon$. Posons $\varphi(2)=N_2 $

    La construction impose clairement la stricte croissance de $\varphi$.
  • OShine a écrit:
    dans ce cas et je ne vois pas le problème.

    Tu m'étonnes... B-)-

    Le problème c'est que rien ne te garantit que $\varphi(0)+1\in \{ n \in \N \mid n \geq 0 ,\ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$ et donc tu n'as pas forcément $||a_{\varphi(0)+1}- \alpha|| > \varepsilon$...

    Pour ta méthode ci-dessus c'est effectivement la bonne.
  • Merci Raoul.S je n'avais pas vu cette subtilité :-X

    Finalement j'ai mis 2 jours à trouver mais au moins je ne l'oublierai pas vu qu'on ne m'a pas donné la solution.
  • "Finalement j'ai mis 2 jours à trouver mais au moins je ne l'oublierai pas vu qu'on m'a pas donné la solution"

    C'est bien trop tard pour qu'on te félicite de dire ça. On dirait presque du foutage de gueule.
  • Ok, mais as-tu compris que l'ensemble $\{ n \mid || a_n - \alpha||> \varepsilon\}$ était infini?
    Parce qu'en fait, la suite (ce n'est pas un jeu de mot) ne présente vraiment aucune difficulté...
    D'ailleurs, ton livre utilise la lettre $\beta$ mais c'est inutilement compliqué... (edit : je vais être de bonne foi et remplacer "compliqué" par "maladroit")
  • Oui c'est qu'avait fait remarqué Bd2017 que l'ensemble était infini.

    La suite est sans difficulté en effet, c'est ce passage qui me bloquait.
  • Bon, alors allons-y!
    $\{ n \in \N \mid || a_n - \alpha||> \varepsilon\}$ est infini, donc?
  • Os a écrit:
    Bd2017 ok j'ai compris ta réponse mais cela ne donne pas la construction explicite de la suite.
    Non tu n'as pas compris.

    Je répète une troisième fois

    La première ligne dit
    "Il y a une infinité de termes de la suite en dehors de la boule de centre a et de rayon epsilon"

    Ces termes forment une sous-suite en dehors de la boule mentionnée ci dessus.


    Et bien si ce n'est pas une construction explicite, c'est quoi?

    Une personne avec un peu de jugeotte doit voir que c'est la plus grande sous-suite qui répond à la question
    et ne dira pas que la construction n'est pas explicite.

    En fait tes 2 jours on servit a montrer que dans cette (sous-)suite que j'ai donnée, on peut construire une sous-suite, c'est à dire à brasser du vent.

    Bravo l'artiste!
  • Bd2017 je sais que ta réponse est juste mais j'avais besoin d'une solution plus explicité pour apprendre à construire des sous-suites.
  • Je n'ai pas tout suivi mais mais mathématiquement c'est surement cela que tu appelles "explicité"
    Tu veux utiliser (*) ci-dessous
    (*) pour tout $n_0$ il existe $n\geq n_0$ tel que $a_n$ n'est pas dans la boule.
    D'après (*) on peut dire qu'il existe $n_0$ tel que et $n_0\geq 0$ tel que $a_{n_0}$ ne soit pas dans la boule.

    D'après (*) on peut dire qu'il existe $n_1$ tel que et $n_1\geq n_0+1$ tel que $a_{n_1}$ ne soit pas dans la boule.
    Et ainsi de suite par récurrence.
    En posant $\phi(i)=n_i,i=0,...,n$ on a bien construit une sous-suite $a_{\phi(i)}$ qui est en dehors de la boule.

    En quoi c'est explicite ? je ne vois pas...
    Grosso modo ce que tu as fait en 2 jours c'est simplement rappeler qu'une sous-suite de la suite (a_n)
    c'est une suite qu'on peut numéroter avec $\phi(n),n=0,\ldots $ où $\phi$ est croissante vers $\N$.
    Autrement la suite que tu donnes est moins explicite que celle que j'ai donnée.
    Et en plus c'est un sacré retour en arrière par rapport à la notion de compact.
    Cela veut dire que tu abordes la notion de compact avec des lacunes en pagailles sur les suites...
    Comment veux tu progresser ?
  • bd2017 a écrit:
    Ces termes forment une sous-suite en dehors de la boule mentionnée ci dessus. Et bien si ce n'est pas une construction explicite, c'est quoi?

    Désolé bd2017 mais ce que tu dis n'est pas une construction explicite, là tu es plutôt en mode physicien. Si on veut être rigoureux il faut la construire la suite extraite, et quand je dis construire je veux dire prouver qu'il existe une fonction $\varphi:\N\to \N$ qui fait le job.

    Et si tu n'es pas d'accord je te propose comme challenge d'oser aller le dire sur le sous-forum "Fondements et Logique" (et prépare-toi à te faire incendier, quoique dernièrement il est plutôt mort ce sous-forum...) :-D.

    Alors oui lorsqu'on a l'habitude et qu'on voit $\exists \ \varepsilon >0 \ \ \forall \ n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n- \alpha|| > \varepsilon$ effectivement on ne va pas démontrer qu'un tel $\varphi$ existe. Mais OShine n'a pas l'habitude de se salir les mains pour démontrer les choses basiques au moins une fois, et donc pour lui expliciter la fonction $\varphi$ était formateur.

    PS. en espérant qu'il n'a pas pompé tout ça quelque part... 8-)
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