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À la recherche d'une fonction

Salut
$\Omega$ est un domaine borné avec une frontière lipshitzienne $\Gamma =\Gamma_{1}\cup\Gamma_{2}$.

$\text {(a)} \ p : \Gamma_{2} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$
(b) Il existe une constante$ L_{p}$ tel que $| p\left(x, r_{1}\right)-p\left(x, r_{2}\right)| \leq L_{p}| r_{1}-r_{2}|,\quad \forall r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R} \text { a.e } x \in \Gamma_{2}$
(c) $\big(p\left(x, r_{1}\right)-p\left(x, r_{2}\right)\big)\left(r_{1}-r_{2}\right) \geq 0 , \quad \forall r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R} \text { a.e } x\in \Gamma_{2}.$
(d) L'application$ x \mapsto p(x, r)$ est mesurable, $\quad \forall r \in \mathbb{R}$.
(e) $p(x, r)=0, \quad \forall r \leq 0$ a.e $ x \in \Gamma_{2}$.

Un exemple de cette fonction est $p(x,r)=r_{+}$ où $r_{+}=\max\{0,r\}$
Je cherche une fonction qui vérifie les hypothèses au dessus mais dans la place de $c$ on met $c'$ où $c'$ est
$(c')\quad\left(p\left(x, r_{1}\right)-p\left(x, r_{2}\right)\right)\left(r_{1}-r_{2}\right) \geq m_{p}\mid r_1-r_2\mid^{2}, \quad \forall r_{1}, r_{2} \in \mathbb{R} \text { a.e.x } \in \Gamma_{2}.$
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