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Exponentielle matricielle de complexes

Bonjour
J'ai une question bête.

Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$. Peut-on dire que $z^A = e^{\log(z)A}$ appartient à $M_n\big(\mathbb{C}((z))\big)$ ? Et à $M_n(\mathbb{C}\{z\})$ ?

P.S. $\mathbb{C}\{z\}$ désigne l'ensemble des éléments de $\mathbb{C}((z))$ qui représentent une fonction méromorphe au voisinage de zéro, i.e qui convergent sur un disque ouvert épointé en zéro.

En vous remerciant

Réponses

  • Tu peux dire ce que tu veux, tant que ce n'est pas contraire à la loi.

    Par contre, il faut clairement préciser ce que tu entends par $log(z)$ et les propriétés que tu souhaites.
  • Oui enfin tu chipottes sur les mots la. "Peut-on dire que" signifie bien sûr "est-il vrai que".

    $log(z) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{(1-z)^n}{n}$.
  • Pour qu'on puisse répondre à "est-il vrai que", encore faut-il que la question ait un sens. Jusqu'à définition claire, $z^A $ n'en a pas.
  • Puisqu'aucune détermination du logarithme complexe ne peut être méromorphe sur un voisinage de $0$, la question est vite répondue comme disaient certains il y a encore peu de temps.
  • $\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}$@Frederic : $$z^A = e^{\log(z)A} = \sum_{i=0}^{\infty}\Bigg(\frac{\Big(-\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(1-z)^j}{j}\Big)^iA^i}{i!}\Bigg)
    $$ À quoi appartient ce truc. Pas à $\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ à cause du $(1-z)$ il me semble ?

    @Poirot : tu réponds donc à la deuxième question, je suis ok. Qu'en est-il de la première ?

    Pour donner un contexte, soit $A(z) \in\Mat_n(\mathbb{C}z)$ et soit le système différentiel formel singulier-régulier en $0$ : $$zX'(z) = A(z)X(z).
    $$ J'ai un théorème qui dit qu'il existe une matrice $B \in\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ et une matrice $C \in\Mat_n(\mathbb{C)}$ (liées à la monodromie) telles que $\ Bz^C\ $ soit une matrice fondamentale de solutions formelles du système, i.e telle que chaque colonne est une solution formelle et que ces colonnes soients $\mathbb{C}$-linéairement indépendantes.

    Je ne comprends pas à quel ensemble appartiennent les solutions formelles de la forme $Bz^C$ ainsi décrites. En fait même : qu'est-ce que ça veut dire une solution "formelle" ?

    Je sais bien que $z^C$ en tant que fonction n'est définie que sur le revêtement universel de $\mathbb{C}^*$. Je vois donc les choses comme ça :
    • soit $Bz^C$ est une matrice fondamentale de solutions du système definie sur le revêtement universel, et je ne vois pas pourquoi on appelle ces solutions "formelles" : elles sont bien définies sur quelque chose !
    • Soit $Bz^C$ est une matrice de $\Mat_n(\mathbb{C}((z)))$ et alors je comprends le sens de "formelle", d' ma question.
    En vous remerciant, et veuillez m'excuser des bêtises qui peuvent être dites.
  • Bonjour,

    Par définition, on note $z^A = \exp (A \ln z)$ avec $A$ une matrice complexe carrée, $z$ un complexe et $-\pi<\arg z\leq \pi$ sa détermination principale.

    Qu'est-ce qui te gêne dans cette définition ?
  • Cette définition possible ne me gêne pas. Mais quel est le rapport ?
  • Ok, excusez-moi, j'avais mal compris la question initiale. En fait tu demandes s'il est légitime de considérer la fonction $z^A $ comme une matrice à coefficients dans certains espaces de fonctions.

    En fait, la fonction est bien définie sur le cercle centré en $1$ et de rayon $1$, donc il est légitime de la considérer comme matrice à coeffs dans l'espace des fonctions holomorphes sur les disque centré en $1$ et de rayon $1$. Ta question porte donc sur le comportement en $0$. Ai-je bien compris cette fois ?
  • Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2324706,2324792#msg-2324792
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    C'est vrai si on identifie $\mathbb{C}$ au plan euclidien mais il existe une géométrisation du logarithme grâce à la notion de surface de Riemann.
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