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Monotonie d’une suite

Bonjour les amis.128448

Réponses

  • Bonjour

    Quel est le signe de $n/(n^2+k)$?
  • C'est loin d'être aussi simple, Magnolia...
  • Tu as raison, bisam, j'ai lu trop vite!
  • Bonjour
    Il suffit de minorer $a_n=u_{n+1}-u_n$

    On a $\displaystyle a_n=\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1} + \sum_{k=1}^n\Big[ \dfrac{n+1}{(n+1)^2+k+1}- \dfrac{n}{n^2+k}\Big]$

    $\displaystyle - \sum_{k=1}^n\Big[ \dfrac{n+1}{(n+1)^2+k+1}- \dfrac{n}{n^2+k}\Big]\ =\sum_{k=1}^n \dfrac{-k+n+n^2}{\left(k+n^2\right) \left(1+k+2 n+n^2\right)}\\
    \displaystyle \qquad<\quad \sum_{k=1}^n \dfrac{n+n^2}{\left(1+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}=
    \dfrac{2 n+n^2}{\left(1+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}$

    Donc $\displaystyle a_n>\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1} -\dfrac{2 n+n^2}{\left(1+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}=\frac{3+n+2 n^3+2 n^4+n^5}{\left(1+n^2\right) \left(2+2 n+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}>0$
  • J'ai l'impression que tu utilises l'inégalité
    $\frac1{k+n^2}\le\frac1{n+n^2}$ qui est suspecte.
  • Oui, exact j'ai corrigé.
  • Je n'arrive pas au même calcul avec cette idée de prendre $k=0$ au numérateur et $1$ au dénominateur:
    $\displaystyle -\sum_{k=1}^{n}\frac{n+1}{(n+1)^{2}+k+1}-\frac{n}{n^{2}+k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{n^{2}+2n-k}{n^{4}+2n^{3}+(2k+2)n^{2}+2kn+k^{2}+2k}<\frac{n^{3}+2n^{2}}{n^{4}+2n^{3}+4n^{2}+2n+3}$.

    Donc sauf erreur
    $$
    a_{n}>\frac{n+1}{(n+1)^{2}+1}-\frac{n^{3}+2n^{2}}{n^{4}+2n^{3}+4n^{2}+2n+3}=\frac{-n^4 + 2n^2 + 5n + 3}{n^6 + 4n^5 + 10n^4 + 14n^3 + 15n^2 + 10n + 6}.
    $$ J'ajoute qu'on a visiblement $a_{n}\sim\frac{1}{2n^{2}}$ or ton calcul donnait $a_n>C/n$.
  • Je ne pense pas qu'on s'en sorte avec des majorations "grossières".
    Je pense qu'il va falloir aller chercher des inégalités de convexité ou des choses dans le genre pour arriver au résultat.
  • Mon message n'est pas passé. Je le réitère: ayant oublié un facteur n, cela ne marche pas. En effet il faut faire autrement.
  • Alors je procède autrement en espérant qu'il n'y ait plus d'erreur.

    On a $a_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k}=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+k/n^2}$

    En utilisant l'encadrement $1-x \leq \dfrac{1}{1+x} \leq 1-x + x^2 ,$ pour $x\in[0,1] $

    on a $ b_n \leq a_n \leq c_n $

    où $b_n= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n( 1- \dfrac{k}{n^2})$

    $c_n= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n( 1- \dfrac{k}{n^2}+\dfrac{k^2}{n^4}) $


    $b_n$ et $c_n$ se calculent facilement on trouve


    $b_n=\dfrac{2 n^2-n-1}{2 n^2}$ et $c_n=\frac{6 n^4-3 n^3- n^2+3 n+1}{6 n^4}$

    Mais $c_n \leq b_{n+1}$ à partir d'un certain rang

    (en effet $b_{n+1}-c_n= ( n^4+2 n^3- 6 n^2- 5n -1)/(6 n^4 (1 + n)^2)$

    Il y a encore un ^petit travail à faire c'est trouver ce rang qui ne doit être très grand et verifier
    ce qu'il se passe pour les premiers termes.
  • Pas mal comme idée. Mais comment tu fais avec ça pour montrer que a_n est croissante? Ne peut on pas avoir a_n qui oscille entre b_n et c_n ?
  • Tu as pour tout $n\geq n_0$ , $b_n<a_n<c_n< b_{n+1} < a_{n+1}<... $

    ( $c_n< b_{n+1} $ à partir du rang $n_0=3$ je crois)
  • Ah ok mais a_n tend vers zéro tu as du oublier de diviser par n à un moment. Non ça tend vers 1 c'est bon. Sinon je confirme que $P(x)=x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-5x-1>0$ dès que $x>3$. Ce qui se fait à la main puisque $P(3)=205>0$ et $P'(x)=(x+5/2)(x^{2}-x-1/2)>0$ pour $x>3$.
  • Sinon, on peut aussi contrôler $u_n$ par une méthode des trapèzes un peu améliorée.
    Si mes calculs sont corrects, on obtient
    $\displaystyle \left| u_n - \frac{\pi}{4} +\frac{1}{4n} + \frac{1}{24 n^2}\right|\leq \frac{M_3}{24 n^3}$
    où $M_3$ est un majorant de la valeur absolue de la dérivée troisième de $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$ sur $[0,1]$.

    On peut expliciter $M_3$ par le calcul (un truc un peu moche avec des $\sqrt 5$ qui vaut environ $4.668...$) et en déduire une majoration de $u_n$ et une minoration de $u_{n+1}$ qui donne la réponse par transitivité.
    Si on prend $M_3=5$, seul le cas $n=1$ est à faire à la main.
  • En posant classiquement \[H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\] on peut exprimer \[u_n=n(H_{n(n+1)}-H_{n^2})\] donc \[u_{n+1}-u_n=n(H_{(n+1)(n+2)}-H_{(n+1)^2}-H_{n(n+1)}+H_{n^2})+(H_{(n+1)(n+2)}-H_{(n+1)^2})
    \] On peut peut-être utiliser les encadrements avec les intégrales de la fonction $t\mapsto \frac{1}{t}$, mais je ne sais pas si c'est assez précis.
  • JLapin, tu as dû te tromper dans tes calculs car $u_n\rightarrow 1$ puisque par des encadrements triviaux $\forall n\geq 1, \frac{n}{n+1}<u_n<1$.
  • Ah, j'ai travaillé avec $k^2$ à la place de $k$ !
  • Bonjour

    On peut ajouter cette question supplémentaire: M.q

    $a_n=1- 1/(2 n) - 1/(6 n^2)+ 1/(4 n^3) - 2/(15 n^4) + 1/(12 n^5) +o(1/n^5)$
  • Avec quelques termes en plus
    $a_n=1-\frac{1}{2}n^{-1}-\frac{1}{6}n^{-2}+\frac{1}{4}n^{-3}-\frac{2}{15}n^{-4}+\frac{1}{12}n^{-5}-\frac{1}{42}n^{-6}-\frac{1}{24}n^{-7}+\frac{7}{90}n^{-8}-\frac{1}{10}n^{-9}+\frac{1}{11}n^{-10}-\frac{1}{24}n^{-11}+O\left(n^{-12}\right)$
  • Pourquoi s'arrêter là ? \begin{align*}u_n=&1-{\frac {1}{2\,n}}-{\frac {1}{6\,{n}^{2}}}+{\frac {1}{4\,{n}^{3}}}-{
    \frac {2}{15\,{n}^{4}}}+{\frac {1}{12\,{n}^{5}}}\\
    &\quad-{\frac {1}{42\,{n}^{6
    }}}-{\frac {1}{24\,{n}^{7}}}+{\frac {7}{90\,{n}^{8}}}-{\frac {1}{10\,{
    n}^{9}}}+{\frac {1}{11\,{n}^{10}}}-{\frac {1}{24\,{n}^{11}}}-{\frac {
    89}{2730\,{n}^{12}}}\\&\quad+{\frac {9}{70\,{n}^{13}}}-{\frac {19}{90\,{n}^{14
    }}}+{\frac {11}{48\,{n}^{15}}}-{\frac {12}{85\,{n}^{16}}}-{\frac {19}{
    180\,{n}^{17}}}+{\frac {659}{1330\,{n}^{18}}}+O \left( {n}^{-19}
    \right).
    \end{align*}
  • ou encore
    $a_n=$
    $1-\frac{1}{2 n}-\frac{1}{6 n^2}+\frac{1}{4 n^3}-\frac{2}{15 n^4}+\frac{1}{12 n^5}-\frac{1}{42 n^6}-\frac{1}{24 n^7}+\frac{7}{90 n^8}-\frac{1}{10 n^9}+\frac{1}{11 n^{10}}-\frac{1}{24 n^{11}}-\frac{89}{2730 n^{12}}+\frac{9}{70 n^{13}}-\frac{19}{90 n^{14}}+\frac{11}{48 n^{15}}-\frac{12}{85 n^{16}}-\frac{19}{180 n^{17}}+\frac{659}{1330 n^{18}}$
    $-\frac{127}{140 n^{19}}+\frac{7631}{6930 n^{20}}-\frac{71}{110 n^{21}}-\frac{307}{345 n^{22}}+\frac{2609}{720 n^{23}}-\frac{31303}{4550 n^{24}}+\frac{1501}{182 n^{25}}-\frac{1279}{378 n^{26}}-\frac{365}{28 n^{27}}+\frac{3802}{87 n^{28}}-\frac{4751}{60 n^{29}}+\frac{1233115}{14322 n^{30}}+\frac{16567}{7392 n^{31}}-\frac{10753807}{39270 n^{32}}+\frac{180669}{238 n^{33}}$
    $-\frac{44043}{35 n^{34}}+\frac{76799}{72 n^{35}}+\frac{2394269737}{1919190 n^{36}}-\frac{128347241}{17290 n^{37}}+\frac{28707851}{1638 n^{38}}-\frac{21082879}{840 n^{39}}+\frac{150058376}{15785 n^{40}}+\frac{315328351}{4620 n^{41}}-\frac{8244755031}{33110 n^{42}}+\frac{154490461}{308 n^{43}}-\frac{119474086819}{217350 n^{44}}-\frac{597140157}{1610 n^{45}}$
    $+\frac{17602758671}{4935 n^{46}}-\frac{100202972137}{10080 n^{47}}+\frac{357276158471}{21658 n^{48}}-\frac{98883364581}{11050 n^{49}}-\frac{688279653143}{14586 n^{50}}+\frac{114991278781}{572 n^{51}}-\frac{790567641502}{1749 n^{52}}+\frac{656431010123}{1188 n^{53}}+\frac{2288675551133}{6270 n^{54}}$
    $-\frac{13036007348179}{3192 n^{55}}+\frac{204504683131883}{16530 n^{56}}-\frac{1277513376137}{58 n^{57}}+\frac{697851735209}{59 n^{58}}+\frac{9320534681663}{120 n^{59}}-\frac{19580196366885241657}{56786730 n^{60}}+\frac{36057112431953647}{44330 n^{61}}-\frac{54167055179784317}{54054 n^{62}}$
    $-\frac{28172193014674547}{27456 n^{63}}+\frac{588276764839745396}{60775 n^{64}}-\frac{335862304100863523}{11220 n^{65}}+\frac{98468167344422355829}{1833790 n^{66}}-\frac{208716539424993441}{10948 n^{67}}-\frac{541000888549983059}{2070 n^{68}}+\frac{391612573114800209}{350 n^{69}}$
    $-\frac{30843409185210245417}{11715 n^{70}}+\frac{69920271211901564059}{23760 n^{71}}+\frac{597073151367470804478429}{102740638 n^{72}}-\frac{59546393891294475917903}{1407406 n^{73}}+\frac{363862721300295607751293}{2852850 n^{74}}-\frac{2358181590063885207723}{10868 n^{75}}$
    $-\frac{46072081374957101942}{3003 n^{76}}+\frac{246049093359981871633}{156 n^{77}}-\frac{20731115301912157062175}{3318 n^{78}}+\frac{23578272584205226662701}{1680 n^{79}}-\frac{519580466472225663137127757}{43471890 n^{80}}-\frac{5780196633641716530651097}{107338 n^{81}}$
    $+\frac{4817683767147996871200559}{15521 n^{82}}-\frac{27699785816435124591586363}{31416 n^{83}}+\frac{4193348050403338350108882362431}{3183029850 n^{84}}+\frac{15561064824237715101451145121}{12482470 n^{85}}-\frac{8075448675461205220081580795}{522522 n^{86}}$
    $+\frac{1334904981164424476754268565}{24024 n^{87}}-\frac{105874472419679946772537533936}{931385 n^{88}}+\frac{10907013028841651670142997599}{269100 n^{89}}+\frac{707917747637352233593865880776243}{949238290 n^{90}}$
    $-\frac{14799943727366561286491856256709}{4172476 n^{91}}+\frac{1766558625472065354651412497248341}{191843190 n^{92}}-\frac{7211406123136870762641205303333}{687610 n^{93}}-\frac{3483817927278595575833163583139}{109725 n^{94}}$
    $+\frac{50743514161259647372650705341053}{221760 n^{95}}-\frac{347678860755485412810504155034787}{471614 n^{96}}+\frac{305564105227005768681010508169265}{238238 n^{97}}+\frac{32806640585194898018742676180267}{43758 n^{98}}$
    $-\frac{325091674009958450269165388117821}{22100 n^{99}}+\frac{43773457703254497195968499358556866}{736593 n^{100}}+o(\frac{1}{n^{100}})$
  • (tu) (tu) C'est impressionnant. Comment fais-tu parce que moi je fais ça à la main et il faut que les fractions soient simples pour que je les devine?
  • Bonjour,

    On définit la suite $u$ par son terme général : pour tout $\displaystyle n \in \N^*$, $\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^n {n \over n^2+k}.$

    Pour montrer que cette suite est croissante (dès le premier terme), on étudie le signe de la différence $\displaystyle u_{n+1} - u_n.$

    On calcule d'abord : $\displaystyle {n \over n^2+k} = {1 \over n} - {k \over n(n^2+k)}.$

    On a donc $\displaystyle u_n = 1- \sum_{k=1}^n {k \over n(n^2+k)}.$

    La différence est donc $\displaystyle u_{n+1} - u_n = \sum_{k=1}^n ({k \over n(n^2+k)} - {k \over (n+1)((n+1)^2+k)}) - {1 \over (n+1)(n+2)}$ où l'on a séparé le terme pour $\displaystyle k=n+1.$

    On simplifie les dénominateurs brutalement par $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ : $\displaystyle u_{n+1} - u_n \geq \sum_{k=1}^n ({k \over n(n^2+n)} - {k \over (n+1)((n+1)^2+1)}) - {1 \over (n+1)(n+2)}.$

    On garde les $k$ aux numérateurs et on utilise $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = {n (n+1) \over 2}.$

    On trouve donc $\displaystyle u_{n+1} - u_n \geq {1 \over 2 n} - {n \over 2 (n^2+2n+2)} - {1 \over (n+1)(n+2)}={2 n^2 + 3 n + 2 \over n (n+1) (n+2) (n^2+2n +2)} >0.$

    Voilà !
  • Bravo ! (tu)
  • Pour répondre à @Boécien: évidemment pour un calcul à l'ordre j'utilise un logiciel. Humainement, à la main je pense que c'est impossible.
  • Quand je dis à la main j'utilise aussi le logiciel xcas mais ça ne permet pas d'avoir ce que tu as eu!
  • Bonjour.
    Quelqu’un aurait-il la gentillesse de me dire pourquoi je n’arrive pas à commenter?
    J’ai toujours le message d’erreur suivant:

    Phorum Database Error
    Sorry, a Phorum database error occurred.
    Please try again later!


    Error:
    Illegal mix of collations (latin]_swedish_ ci,IMPLICIT) and (utf8_general _ci,COERCIBLE)
    for operation '=' (1267): SELECT message id FROM phorum messages WHERE forum id
    =4 AND author ='Acide2021' AND subject ='Re: Monotonie d'une suite' AND body ='Il
    me semble qu'il y'a des erreurs de calcul. IrInA la 2 ieme ligne la fraction dans le E devrait
    être \rin(n2 +2n-k)((n2 +2n+k+2) (n2 +k)).IrInlr\nDésolé ta démonstration tombe à
    l'eau.IrinBien tenté!r\nMerci (2)L' AND datestamp > 1636008324
    Backtrace:
    Function phorum database error called at
    {path to Phorum}/include/db/mysql/mysqli.php:212
    Function phorum db interact called at
    {path to Phorum}/include/db/mysql.php:920
    Function phorum_db_ post message called at
    {path to Phorum}/include/posting/action _post.php: 149
    Function include called at
    {path to Phorum}/posting.php:595
  • C'est parce que tu fais un copier coller d'un symbole non reconnu par le forum.
  • Bravo!!!!!
    Joli travail!
  • Merci !!!!!
  • Bonjour.
    Que pensez-vous de cette démonstration ?128562
  • A première vue cela me semble correct.

    Néanmoins attention à ton dessin car l'escalier du dessous n'est pas en dessous de la courbe du dessus.
    L'escalier et la courbe se recoupent sur chaque intervalle.
  • Bonjour,

    Ça semble faux.

    Tu oublies le facteur $1/n$ devant la somme. La suite $v_n$ n’est pas la somme des $f_k$ mais la somme des $f_k\times 1/n.$

    Non ?
  • - la courbe en escalier posée sur f[n-1] est au dessus de f[n-1], première inégalité
    - la courbe en escalier posée sur f[n] est inférieure à f[n-1] à chaque marche comme écrit dans l'inégalité à gauche de l'accolade (et entre deux marches puisque f[n-1] est croissante), deuxième inégalité
    - etc.

    La courbe en escalier de f_n est inférieure à f_(n-1) en tout point: aux points d'abscisse k/n (voir l'inégalité à gauche de l'accolade) et entre ces points puisque f_(n-1) est croissante alors que la courbe en escalier est constante entre les marches.
  • Je ne pense pas qu'il manque un facteur 1/n. D'ailleurs il a raison de voir que l'intégrale de $f_n$ sur [0,1] approche sa suite $v_n$.
    Par contre je retire ce que j'ai dit " à première vue cela me semble correct". D'ailleurs j'avais bien observé que sa figure est fausse et ce qui aurait dû me rendre plus suspicieux quant à son raisonnement.

    Le tracé ci dessous montre que c'est pire. L'escalier du dessus n'est pas complètement au dessus de l'autre.
    Ainsi il est inutile de démonter le raisonnement d'@evariste21, le graphique parle de lui-même.

    [Contenu du pdf joint. AD]128566
  • evariste21?
  • @bd2017
    @IvesM

    Alors là je vous tire mon chapeau!
    Encore bravo!
  • Merci à tous et bravos pour tous vos commentaires!
  • Pour revenir à l'approche de bd2017 que je trouve très naturelle, en introduisant un résultat intermédiaire un peu artificiel je vous l'accorde, on arrive à une inégalité finale des plus simples qui prouve que la suite $u_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n^{2}}$ est croissante pour $n\geq6$.
    Il est en effet facile de montrer que pour tout $n\geq6$ on a l'inégalité stricte
    $$
    \sum_{1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<\frac{n^{4}}{2(n+1)}.

    $$ Comme
    $$
    \frac{1}{n}\Big(\sum_{k=1}^{n}1-\frac{k}{n^{2}}\Big)\leq u_{n}\leq\frac{1}{n}\Big(\sum_{k=1}^{n}1-\frac{k}{n^{2}}+\frac{k^{2}}{n^{4}}\Big).

    $$ on a alors pour $n\geq6$
    $$
    \frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\leq u_{n}<\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(n+1)}

    $$ et donc grâce à l'inégalité stricte il vient
    $$
    u_{n+1}-u_{n}>0.$$
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