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Balance entre un espace et son dual

Bonsoir,

La notion de convergence dans l'espace des fonctions test est extrêmement forte, mais en contrepartie celle au sens des distributions est extrêmement simple (c'est une convergence simple si on veut). De sorte que la complexité d'une notion dans cet espace est compensée par celle de la même notion dans son dual.
Y a-t-il un résultat général qui formaliserait le résultat "si la convergence dans E est "forte", on peut choisir une convergence dans E' (de manière à avoir le plus de propriétés intéressantes et souples possible, comme c'est le cas pour les distributions) qui est "simple" (et réciproquement ?)" ? Et d'autres exemples de tels phénomènes, en analyse surtout ?
Évidemment la question est floue, mais je trouve ça intrigant cette notion d'équilibre.

Merci.

Réponses

  • Puisque l'ensemble des distributions est le dual de l'ensemble des fonctions tests il s'agirait plutôt d'une convergence faible-$*$. La question est un peu floue puisque changer la topologie sur $\mathcal D(\Omega)$ va potentiellement changer l'ensemble $\mathcal D'(\Omega)$ (et pas seulement sa topologie).

    On aimerait avoir un résultat du genre, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et si la notion de convergence est plus forte sur $F$ que sur $E$ alors $E' \subset F'$ et la convergence faible-$*$ sur $E'$ implique la convergence faible-$*$ sur $F'$. Un peu comme on a $\mathcal D(\R) \subset \mathcal S(\R) \subset \mathcal E(\R)$ et l'inclusion inverse pour leurs duals. Malheureusement ça ne peux pas être vrai tout le temps, en effet toute forme linéaire (continue) sur $E$ est encore une forme linéaire sur $F$ mais la restriction à $F$ peut faire coïncider deux formes qui n'étaient pas égales sur $E$. De sorte que rétrécir l'espace $F$ n'augmente pas forcément son dual, on le voit bien en prenant $F = \{0\}$ qui admet un dual restreint à $\{0\}$.

    Précisions ce que l'on entend par "notion de convergence plus forte", on veut que tout ouvert de $E$ intersecté avec $F$ soit encore un ouvert de $F$, sous ces conditions toute forme linéaire continue sur $E$ restreinte à $F$ est encore une forme linéaire continue (sur $F$). Pour la suite on fera l'hypothèse que la restriction à $F$ des formes de $E$ est une application injective et donc que $E' \subset F'$ (attention je fais ici un abus de notation${}^1$). Cette hypothèse permet d'éviter les problèmes évoqués dans mon deuxième paragraphe. Reste maintenant à savoir si la notion de convergence de $E'$ est plus forte que celle sur $F'$, autrement dit on veut montrer que tout ouvert de $F'$ intersecté avec $E'$ est un ouvert de $E'$. Ceci se démontre assez facilement, en revenant à la définition de la topologie faible-$*$. En particulier, si $(f_n)_n$ est une suite d'élément de $E'$ qui converge vers $f$ pour la topologie faible-$*$ sur $E$ on a par définition
    \[
    \forall x \in E,\quad \lim_{n\to \infty} \langle f_n, x \rangle = \langle f ,x \rangle .

    \] Ce qui implique que
    \[
    \forall x \in F, \quad \lim_{n\to \infty} \langle f_n, x \rangle = \langle f ,x \rangle \qquad\text{ou encore} \qquad\forall x \in F,\quad \lim_{n\to \infty} \langle {f_n}_{|F}, x \rangle = \langle f_{|F} ,x \rangle .

    \] La convergence dans $E'$ est donc plus forte que la convergence dans $F'$ et on voit au passage qu'une fois la question bien posée et l'hypothèse $E' \subset F'$ faite il s'agit presque d'une tautologie.
    ${}^1$ : En réalité $E'$ n'est pas inclus dans $F'$ puisque les éléments de $E'$ sont des fonctions allant de $E$ dans $\R$ et ne peuvent donc pas être égaux aux éléments de $F'$ qui sont des fonctions allant de $F$ dans $\R$. On est donc en train de faire une identification (naturelle) entre $E'$ et un sous ensemble de $F'$, cette identification se fait en utilisant le crochet de dualité sur $E$ qui nous sert "d'espace pivot". C'est classique et sans gravité, on le fait tout le temps lorsque l'on écrit $H^1\subset L^2 = (L^2)' \subset (H^1)' = H^{-1}$, le seul "problème" est qu'on ne peut alors plus identifier $H^1$ et son dual comme on le ferait en général avec un espace de Hilbert. À ce sujet on pourra lire la remarque 1 de la partie V.2 du livre Analyse fonctionnelle de Brezis.
  • J'ai lu en diagonale mais je suis fan de tes interventions. Je lirai la tête reposée.
    Merci beaucoup !
  • Hello, la condition donnée par Renart (à savoir : $E' \to F'$ injective) est vérifiée dès que $F \subset E$ est dense.
    C'est le cas pour les espaces de fonctions usuels.
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