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Suite de Picard

Bonjour
on considère le problème de Cauchy
$$
x y'+y=\sin x, \ x >0, \ y(1)=0.

$$ La question est de calculer les trois premiers termes de la suite de Picard pour ce problème.
On a
$$
y_1(x)=\int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds.

$$ Il n'est pas possible de calculer la valeur explicite de cette intégrale. Est-ce qu'il est possible d'avoir une formule implicite de cette intégrale et continuer pour $y_2$ et $y_3$ et ainsi déduire la solution $y$ ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Ne peux-tu pas calculer les termes demandés en fonction de $y_1$ et d'autres intégrales avec des intégrations par parties ?
    Pour ce qui est de la solution $y$, si on ne te demande pas de faire autrement, utilise la méthode classique par variation de la constante.
  • JLapin peux-tu me montrer stp comment on trouve les formes implicites des trois premiers termes de la suite de Picard ? Pour la solution je l'ai trouvé c'est $y(x)=-\dfrac{\cos x}{x}, \ x >0$ mais il faut aussi le déduire de la suite de Picard.
  • Fais les calculs pour $y_2$ et $y_3$, organise un peu tes intégrales, conjecture une formule générale pour $y_n$ (pas si simple), montre la par récurrence et conclus.
  • Oui c'est ce que j'ai fait et je suis perdue.
    On a
    $$
    y_2(x)= \displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{s} y_1(s) ds + \int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds = \int_1^x \dfrac{1}{s} \Big(\int_1^s \dfrac{\sin u}{u} du\Big) ds + \int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds.

    $$ Mais après on fait quoi de tout ça ?
  • Une ipp sur la première intégrale.
    Puis tu calcules $y_3$.
  • Voici ce que donne l'ipp :
    $$
    y_2(x)= (\ln(x)+1) \displaystyle\int_1^x \dfrac{\sin u}{u} du - \int_1^x \ln(s) \dfrac{\sin(s)}{s} ds.

    $$ Qu'en pensez-vous ?
    Pour $y_3$ ça a l'air compliqué. Il y a plus simple pour $y_3$ ?
    Merci d'avance pour l'aide.
  • J'ai des signes différents ici ou là mais sinon, ça me semble ok.
    Bon courage pour $y_3$ :)
  • Bonjour, l'équation sans second membre ($xy'+y=0$) est singulière régulière en $0$, tu peux chercher une solution sous la forme $f(x)=x^a\sum_{i=0}^{+\infty}b_ix^i$ avec "un bon choix" de $a$ et de la suite $(b_i)_{i\in\mathbb{N}}$. Pour l'équation avec second membre cherches une quadrature : il en existe une parce que cette équation différentielle est d'ordre $1$. Ainsi tu obtiendras une droite affine de solutions dans "l'espace de fonctions qui va bien".
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