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Fonction à trouver

Bonjour

Existe-t-il une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que pour tout $t \in \R $, $f(x)=t$ possède exactement 2021 solutions ?

Merci.

Réponses

  • $F(x) = \tan (x)$ si $x$ est compris entre $0$ et $2019 \pi$
    $F(x) = \ln(-x)$ si x est négatif
    $F(x) = \ln(x-2019 \pi)$ si $x > 2019 \pi$.
  • lourrran, ta fonction n'est pas définie en $\frac{\pi}{2}$.

    Cela dit, il existe beaucoup de solutions non continues, mais pas de solution continue (hmm pas sûr).
  • Je m’inspire de $x\mapsto \tan(x)$ avec ses « morceaux verticaux » et je décide de bricoler le dernier à gauche et le dernier à droite pour qu’il n’y en ai que 2021.

    Édit : Oups, je n’ai pas vu le message, ni de lourrran, ni de JLT…
    Il faut bricoler ça…
  • $f(x)=\lfloor \frac{x}{2021}\rfloor + x - \lfloor x\rfloor$ devrait faire l'affaire.
  • Bonjour.

    Cette fonction n'a pas 2021 solutions pour $t = \frac{1}{2}$ par exemple.

    [Édit : J'ai mieux compris, merci.]

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • $f(n+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ pour $n=0,\ldots,2020$ non ?
  • La fonction de JLT avec $7$ au lieu de $2021$ (les valeurs entières ne sont atteintes « qu'au bas des segments »).128296
  • Pas mal.
    Après on peut réarranger les blocs pour s’amuser.
  • @Math Coss très beau le tracé de courbe
  • On nous demande une fonction, et pas une application. La définition de fonction a-t-elle évolué ces 40 dernières années ?

    Et du coup, j'avais failli proposer la fonction définie uniquement entre 0 et $2021 \pi$ par f(x) = tan(x), mais j'ai quand même fait un effort de plus.
  • Probablement un peu : je pense qu'on considère maintenant implicitement qu'une fonction $f:\R\to \R$ est définie sur $\R$ tout entier.
  • Bonsoir.

    Je propose $2x + \sin(2020 \pi x)$ en tant que fonction continue mais je ne suis pas sûr que toutes les valeurs de $t$ ont bien 2021 solutions.

    À bientôt.

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  • L'idée a l'air bonne, je n'ai pas vérifié si ça marche mais voici une fonction continue qui semble marcher aussi :

    $$f(x)=d(x,2\Z)+\left\lfloor \frac{x}{2021}\right\rfloor.$$

    Edit : ce n'est pas ça. Je corrige au message suivant.

    Noter que ça marche si on remplace $2021$ par un nombre impair, mais pas par un nombre pair. D'où la question :

    Soit $f:\R\to\R$ continue. On suppose qu'il existe $N>0$ tel que pour tout $t\in \R$, $f^{-1}(t)$ est non vide et a au plus $N$ éléments. Est-il vrai que l'ensemble des $t$ tels que $f^{-1}(t)$ est de cardinal pair est au plus dénombrable ?
  • Euh, JLT, ta fonction $f$ n'a pas l'air très continue :
    \[f(x)\xrightarrow[x\rightarrow 2021^-]{}1 \quad \text{mais} \quad f(x)\xrightarrow[x\rightarrow 2021^+]{}2\]
  • Oups ce n'est pas ça que je voulais dire.

    Je prends pour $f$ l'unique fonction telle que $f(x)=d(x,2\Z)$ pour $0\leqslant x\leqslant 2021$ et $f(x+2021)=f(x)+1$ pour tout $x$.
  • Notons $r(x)$ le reste de la partie entière de $x$ modulo 2021. Alors $f(x) = \int_0^x (-1)^{r(t)} dt$ définit une fonction continue qui convient.

    Edit : je crois que c'est la même que JLT d'ailleurs !
  • Est-ce que bêtement $x\mapsto d(x,2\Z)+{x\over 2021}$ ne conviendrait pas ?
  • Bonjour,

    $f(x)=t+\prod_{k=1}^{2021} (x-k).$
  • C’est quoi ce $t$ ?
  • Pour revenir à la question de JLT ci-dessus, il me semble que ceci y répond (rappelons que $f$ est supposée continue de $\R$ dans $\R$ et surjective).

    1) Si $t\in\R$ admet un nombre pair d'antécedents, alors $t$ est un extremum local strict en conséquence de la continuité (sinon on déduit que $f$ est majorée ou minorée).

    2) L'ensemble des extremums locaux stricts est dénombrable.


    [small]NB. On dit $t$ est un maximum local strict lorsqu'il existe $x_0 \in \R$ et $\epsilon > 0$ tels que $f(x_0) = t$ et :
    $$\forall x \in [x_0-\epsilon,x_0+\epsilon],\quad x \neq x_0 \implies f(x) < t.$$
    De même pour un minimum local strict avec $f(x) > t$.[/small]
  • Je suis d'accord avec YvesM. Où est le problème ?
  • Un réel assez grand ou assez petit n'a qu'un seul antécédent réel par un polynôme de degré impair.
  • Je crois qu'YvesM et RLC ont mal placé le "pour tout t".
  • Question subsidiaire : a-t-on unicité des solutions continues à homéomorphismes près ?
  • En effet on cherche $f$ telle que pour tout $t$.
  • Je pensais que t était fixé, autant pour moi !
  • Un jeu essais-erreurs pour dessiner la nouvelle fonction de JLT.
    sage: def d(x):
    ....:     return 2*abs(x/2-1-floor(x/2-.5))
    ....: 
    sage: def f(x):
    ....:     return d(x-floor(x/7)) + floor(x/7)
    ....: 
    sage: plot(f,-14,21)
    
    128344
  • @Math Coss cette dernière courbe me plaît bien. Peux-tu faire une animation où on l’a voit se dessiner au fur et à mesure ?
  • Au fait, on voit que la solution de JLT marche parce qu'on veut un nombre impair de solutions. L'an prochain, ppurrrons-nous résoudre cet exercice (avec une fonction continue) ?
  • Ok, tu y as répondu mais sans donner la réponse...
  • Math Coss, je ne comprends pas ta réponse. Ma solution ne te convainc pas ? Je peux détailler si tu veux.
  • Pas la peine, c'est que je ne suis pas assez attentif et c'est encore pire avec l'écran minuscule que j'ai utilisé tout à l'heure. Désolé pour le bruit.
  • Je veux bien une preuve de la dénombrabilité de l'ensemble des extrema locaux stricts d'une fonction continue :-)
  • @Math Coss très jolie la dernière animation
  • gai requin,

    En fait ceci est vrai en général pour tous les extremums locaux et pour toute fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ :

    Puisque $\Q$ est dense dans $\R$, on peut associer à chaque maximum local $t \in \R$ un couple $(a(t),b(t)) \in \Q^2$ tel que $t$ est le maximum de $f$ sur l'intervalle $\left]a(t),b(t)\right[$. Ceci définit manifestement une application injective à valeurs dans $\Q^2$ donc l'ensemble des maximums locaux est dénombrable, et il en va de même pour les minimums locaux.
  • Merci sol !
  • @sol : Il y a quand même un problème quand $f$ est constante sur un intervalle de cardinal infini.
    Mais tout ce que tu as dit est valable si on remplace "local" par "local strict", ce qui suffit dans le cadre de la question posée par JLT.
  • Hmm, je ne vois pas en quoi ce serait un problème : une fonction constante donne un seul max local (atteint plusieurs fois).
  • Exact, je me suis mélangé les pinceaux !

    Pour me faire pardonner, je tente une preuve du fait que si le réel $t$ admet des antécédents $x_1<x_2<\ldots<x_{2n}$ en nombre pair par $f:\R\to\R$ continue et surjective, alors c'est un extremum local strict.

    1) Si $n=1$, quitte à changer $f-t$ en $t-f$, on peut supposer $f-t>0$ sur $]x_1,x_2[$.
    Si $t$ n'est pas un extremum local strict, alors $f-t<0$ sur $]{-}\infty,x_1[\,\cup\,]x_2,+\infty[$.
    Or, $f$ étant continue, $f$ est majorée sur $[x_1,x_2]$ donc $f$ est majorée sur $\R$, ce qui contredit la surjectivité de $f$.
    2) On suppose désormais $n\geq 2$ et $f-t>0$ sur $]x_1,x_2[$ comme en 1).
    Si $t$ n'est pas un extremum local strict, alors $f-t$ change de signe autour de chacun des $x_i$.
    Donc $f-t>0$ sur $]x_{2n-1},x_{2n}[$ (c'est ici qu'on fait jouer la parité) et, finalement, $f-t<0$ sur $]{-}\infty,x_1[\,\cup\,]x_{2n},+\infty[$.
    On conclut ensuite comme en 1).

    Remarque : On peut se passer du cas $n=1$ mais il est assez éclairant.
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