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m=2a+b avec a, b premiers

Modifié (November 2021) dans Arithmétique
Salut !
J'ai cette question.
Soit $m>5$ un nombre impair. Peut-on toujours trouver deux nombres premiers $a$ et $b$ tels que : $m=2a+b$ ?
Merci en avance de votre aide et discussion.

Réponses

  • tu peux quand même faire un minimum d'effort ...non ? a=3 et b=5 ; a=5 et b=13 ....etc
  • @LEG
    Je n'ai pas compris ce qui vous avez dit.
    Ma question est est-ce que tout nombre impair $m>5 $ s'écrit sous la forme $2a+b$ avec $a$ et $b$ sont premiers ?
  • Bonjour,

    A ce jour, c’est une conjecture non démontrée. Elle porte le nom de conjecture de Levy.
  • Apparemment, ça a l'air très difficile de montrer qu'un nombre impair est une somme de trois nombres premiers.
    https://arxiv.org/pdf/1305.2897v1.pdf
    Alors démontrer qu'on peut l'écrire $a+a+b$ avec $a$ et $b$ premiers, je ne pense pas que ce soit faisable actuellement.
  • Merci infiniment pour ces réponses utiles
  • Bonsoir.

    Juste une petite correction, il s'agit de la conjecture de Lemoine, érronément attribuée à Hyman Lévy.

    C'est effectivement un énoncé plus fort que la célèbre conjecture sur les nombres pairs vus comme somme de deux nombres premiers.

    À bientôt.

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  • Bonjour
    @Noubgouha
    Effectivement j'ai répondu trop vite...

    C'est pratiquement équivalent à la conjecture de Goldbach, on peut d'ailleurs construire un algorithme ou crible selon le même principe que celui de la conjecture de Goldbach.

    Si $2a\not\equiv{m}[P]$ alors $m - 2a = p'$ avec $p'\in[m ; (m/2)]$ et P un nombre premier : $P\leqslant\sqrt{m}$.

    La conjecture est probablement vraie. Heuristiquement on obtient à peu près les mêmes densités de solutions...
    Bonne continuation.
  • LEGLEG
    Modifié (November 2021)
    Bonjour
    Dreamer. Je reviens sur ce sujet où tu penses que cet énoncé est plus fort que la conjecture de Goldbach ...
    Il me semble que heuristiquement il n'en est absolument rien, elle n'est pas identique car les solutions qui donnent  $(2n +1) = 2p  + q$ ne seront pas forcément les mêmes, c'est-à-dire que $q = (2n +1) - 2p$ ; $q$ pourra être différent par rapport à $q = 2n - p$.
    Par contre en terme de densité de solutions pour une limite $N$ fixée en moyenne générale c'est équivalent ...
     La raison est simple pour dire que cet énoncé est équivalent, c'est qu'il s'agit du même algorithme qui donne le nombre de solutions de ces deux conjectures pour une limite fixée : $2n$ ou $2n+1$.
    Je me suis amusé à tester les deux conjectures pour n = 3 000 000 000, 3 000 000 015, 6 000 000 000, 6 000 000 015 ... etc.
    Goldbach,  avait moins de solutions ...
     La question que l'on peut se poser, c'est au sujet de la démonstration d'Harald Helfgott qui dit que tout entier $n > 5$ impair est somme de trois nombres premiers, donc en est-il de même pour la conjecture de Lemoine/ Lévy ?
    Car il n'est pas dit que les trois nombres premiers sont obligatoirement ou pas différents ... Non ?
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