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Convergence d'une suite

Bonjour :-),

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite numérique.
Je souhaite montrer la proposition :
Si $\quad\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty } u^2_n = +\infty\quad $ alors $\quad \displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty } \frac{1}{u_n} = 0$.
en utilisant la définition : on dit que $(u_n)_{n\in\N}$ converge vers $0$ si tout intervalle ouvert contenant $0$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

La preuve suivante vous paraît-elle correcte ?Soit un intervalle ouvert $]A,B[$ contenant $0$. Sans perte de généralité on peut supposer $]-B,B[\,\subset\,]A,B[$.
$B>0$ il existe donc un rang $N$ tel que pour tout $n\geq N$, $u^2_n>\displaystyle\frac{1}{B^2}$.
Soit donc $n\geq N$, on a $\lvert u_n \rvert > \displaystyle\frac{1}{B}$, car la fonction racine carrée est strictement croissante.
Puis $\lvert \displaystyle\frac{1}{u_n}\rvert<B$, car la fonction inverse est strictement décroissante.
Finalement, $\dfrac{1}{u_n}\in\,]-B,B[\,\subset\,]A,B[$.
Ainsi $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty } \frac{1}{u_n} = 0$

Réponses

  • Tu peux préciser que la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty[$.
    Sinon, ça me semble convenable.
  • Oui effectivement, je vais rajouter ça . Merci !
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