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Taux de variation et sens de variation

Bonjour
J'aimerais utiliser la propriété suivante dans un exercice :
"$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si pour tous réels distincts $a,b$ de $I$; $\tau(a;b)>0$, où $\tau(a;b)=(f(b)-f(a))/(b-a)$."
L'exercice étant de déterminer les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+5x$.
Je calcule donc le taux de variation avec $a$ et $b$ deux réels distincts et je trouve $\tau(a;b)=a+b+5$. Par la suite, je me demande comment obtenir l'intervalle $[-2,5;+\infty[$, intervalle où $f$ croît strictement.
J'ai commencé à tracer la droite $y=-x-5$ puis j'ai vu que $(-2,5;-2,5)$ était obtenu comme intersection de la droite précédente et de $y=x$. Mais je n'ai pas le raisonnement précis passant de "$\tau(a;b)=a+b+5$" à "$f$ strictement croissante sur $[-2,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $]-\infty;-2,5]$".
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci.

Réponses

  • Bonjour.

    C'était classique au siècle dernier jusque vers 1970, on le faisait en fin de seconde et en première avant l'introduction des dérivées. Le changement se fait quand a=b (idée intuitive : si b vaut presque a, on cherche le signe de 2a+5 environ). D'où le placement de a et b avant ou après 2,5.
    Ensuite, c'est de la manipulation d'inégalités a>2,5, b>2,5, a ou b éventuellement égal à 2,5, donc ...

    On peut sans doute transformer ce raisonnement heuristique en une preuve complétement mathématisée, c'est même immédiat avec la dérivée, mais quel intérêt ???

    Cordialement.
  • @bulledesavon

    Soit $(a,b)\in [-2.5, +\infty[^2$ distincts.
    Alors $a+b+5>0$.
    Par caractérisation, $f$ est strictement croissante sur $[-2.5,+\infty[$.

    Essaye de faire la même chose sur l'autre intervalle...
  • Moi je comprends la préoccupation de bulledesavon. J'ai un peu honte de ne pas savoir comment résoudre une inéquation si simple sans tricher.
  • gerard0 : oui effectivement, on remplace a et b par x dans a+b+5=0 (cas limite), je comprends bien le raisonnement intuitif du cas où a et b sont proches de la borne inférieure de l'intervalle. Ça permet d'intuiter l'intervalle, puis une fois que l'on a l'intervalle, la preuve est triviale.
  • Dans les nouveaux programmes de première technologique, on parle du taux de variation bien avant le chapitre dérivation. Je trouve que c'est très bien car ça permet d'appréhender ce concept avant de voir la limite du taux de variation et de passer à la dérivée. En première EDS on fait toujours taux de variation + dérivée d'un seul coup et ça pose beaucoup de difficultés aux élèves.
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