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Décomposition en éléments simples

Bonjour
Soient $n\in \N,\ p\in\C$ tel que $|p|<1$. Je voudrais calculer
$$
\int_{\mathscr C(0,1)}\frac{z^{2n}}{(1-pz^n)(z^n-\bar{p})^2}\frac{dz}{2\pi i}\ .
$$ Je pensais utiliser le théorème des résidus et donc j'aurais besoin de décomposer le terme $\displaystyle \frac{1}{(z^n-\bar{p})^2}$ en éléments simples :
$$ \frac{1}{(z^n-\bar{p})^2}=\frac{1}{n^2\bar{p}^2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\overline{p_k}^2}{(z-\overline{p_k})^2}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{z-\overline{p_k}}\ ,
$$ où on désigne par $\overline{p_0}, \ldots,\overline{ p_{n-1}}$ les $n$ racines de $\overline{p}$.
Le problème c'est que je n'arrive pas à me rappeler comment on faisait pour calculer les $a_k$ ...
Merci d'avance !

Réponses

  • Quand tu as un pôle double, moralement tu as une expression de la forme

    $f(z)= \dfrac{p(z)}{(z-a)^2}$ et $p(a)\neq 0$


    donc $f(z)=\dfrac{s_1}{(z-a)^2} +\dfrac{s_2}{(z-a)} + g(z)$ avec g n'ayant pas le pôle a.

    Une fois obtenu $s_1,$ pour obtenir $s_2$ on peut surement calculer de différentes façons

    mais de façon générale tu as $f(z)-\dfrac{s_1}{(z-a)^2}$ qui ne possède plus que a comme pôle simple

    et tu peux ainsi calculer $s_2$ puisque il est le pôle simple de cette nouvelle expression.

    Sinon encore plus généralement tu as

    $f(z)=\dfrac{p(a)}{(z-a)^2} +\dfrac{p'(a) }{(z-a)} + g(z)$

    ainsi calculer $s_1$ c'est calculer $p'(a).$


    Dans ton cas il faut commencer les calculs pour voir la façon la + simple pour obtenir $s_2$
  • Désolé, je n'ai toujours pas compris dans votre première méthode comment on calcule $s_2$. :-S
  • Si tu prends l'expression de $f(z)$ ci-dessus. Par exemple, tu peux multiplier par $(z-a)^2$ et tu dérives, (ce qui permet d'éliminer $s_1$ ). Il reste à faire tendre $z$ vers $a$ et la limite est $s_2$.

    C'est-à-dire que le terme que tu cherches est la limite de la dérivée de $(z-p_k)^2/(z^n-p)^2$ quand $z$ tend vers $p_k$ .
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