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Caractérisation d'un $\phi$-espace

$\newcommand{\span}{\operatorname{span}}$Soit $X$ un espace de Banach, et $\phi\in \mathcal{L}(X)$. Soit $\mathcal{F}$ la famille de tous les sous-ensembles bornés et faiblement fermés de $X$. Si $I$ est l'identité sur $X$, on notera $\span\{I\}$ l'espace vectoriel engendré par $I$.
Dans cet article, les auteurs ont défini le $\phi$-espace ainsi.
Soit $\phi \in \mathcal{L}(X)$ tel que $\phi \notin \span\{I\} .$ On dira que $X$ est un $\phi$-espace si la condition suivante est satisfaite :
si $C \in \mathcal{F}$ et $\phi(C)$ est un relativement compact, alors $C$ est faiblement compact.

Je veux étudier cette classe de fonctions, la décrire, et je cherche des caractérisations/exemples du $\phi$-espace (références ?).
J'apprécierais beaucoup votre aide.
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