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Convergence faible vs convergence

Bonjour à tous
Je me permets de solliciter votre aide car je rencontre des difficultés dans la compréhension de la correction de l'exercice suivant.

Pour la d), je n'arrive pas à montrer que : $||| \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||1/2$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers l'infini, où $|||.|||$ désigne la norme des fonctions linéaires.

Il est écrit dans la correction que :
$1 =1/2 |||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le1/2 |||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le1/2 |||\limsup \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| =1 $

(tout ça quand $n$ tend vers l'infini, et $ \lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}$ désigne la convergence faible étoile.
On en a déduit que comme la $\liminf = \limsup$ quand $n$ tend vers + l'infini, ça tendait vers $1$.

Ce que je n'ai pas compris en revanche, c'est pourquoi $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$, et pourquoi
$ |||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le |||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$.

Merci d'avance pour votre aide127510

Réponses

  • 1) Ce n'est pas $|||\liminf \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$ c'est $\liminf ||| \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$.

    2) $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$ est simplement égal à $|||\frac{f}{|||f|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| = 2 $ car $\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}= \frac{f}{|||f|||}$.

    3) Enfin l'inégalité $|||\lim^* \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} ||| \le \liminf||| \frac{f_n}{|||f_n|||}+ \frac{f}{|||f|||} |||$ découle du point c).
  • Merci beaucoup pour votre réponse! En effet c'était tout bête....
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