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Intégrale à paramètre

Bonjour,

A votre connaissance, les intégrales du type $\int_a^b 1/(t^x+1) \,dt$ ont-elles un nom propre ? Interviennent-elles dans certains domaines ?

Merci.

Réponses

  • Bonjour

    ton intégrale génératrice n'a pas de nom : elle dépend de a et b constantes réelles positives ou nulles et bien-sûr de x variable réelle
    elle est liée aux applications intégrales des séries de Riemann
    et aussi aux applications intégrales de la fonction Gamma avec des résultats connus :

    si a = 0 et b infinie : $\int_0^{+oo}\frac{dt}{1 + t^x} = \frac{\frac{\pi}{x}}{sin\frac{\pi}{x}}$

    d'autre part si tu considères la fonction f définie par $f(x) = \frac{1}{2} + \int_0^1\frac{1}{1 + t^x}$

    elle est croissante et son développement polynomial en x
    s'exprime avec pour coefficients des monômes, les nombres de Bernoulli

    f(x) pour x > 0 est explicitée avec la dérivée logarithmique de $$ln[\sqrt{2x}\frac{\Gamma(1+\frac{1}{2x})}{\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{1}{2x})}]$$

    Cordialement
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