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Fonction non continue

Bonjour,
Je dois trouver une fonction de R dans R non continue qui vérifie lim x->+l'infini f(x+1) - f(x)=0 avec f(x)/x différent de 0.
Si vous pouviez m'aider à trouver cette fonction.
Merci d'avance!

Réponses

  • C’est pas plutôt $\lim f(x)/x$ différent de zéro que tu veux? Dans ce cas précise ta question stp, tu veux une limite non nulle de $f(x)/x$ qui donc va exister, ou bien tu veux que la limite n’existe pas?
  • J'espère que ça sera plus clair comme ça127430
  • Tu pourrais utiliser la fonction $x\mapsto \tan\left((2x-1)\dfrac{\pi}{2}\right)$ pour construire ton exemple.
  • Oui, je pensais aussi à une fonction 1-périodique non bornée.
  • Bonsoir,

    Je pose une question un peu bête, dans l'espoir de mieux comprendre :

    Soit $f:\R_+\to\R$ continue.
    (donc pas non-continue !)

    On suppose $\lim\limits_{x\to+\infty} \big[f(x+1) - f(x)\big] = 0$.

    A-t-on forcément : $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\qquad$ ?
  • marsup, la réponse est oui. Il suffit de supposer que la fonction est bornée sur tout segment.
  • Merci beaucoup !!
  • Tu vas trop vite pour moi, là, Chaurien, désolé. :-S

    Tu veux bien détailler un peu, s'il te plaît ?
  • $\bullet $ Soit une fonction $f: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$, bornée sur tout segment, et telle que $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=0$.
    $\bullet $ Soit un réel $\varepsilon >0$. Il existe un réel $A>0$ tel que $x\geq A$ implique : $\left\vert f(x+1)-f(x)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$.
    Soit $K$ tel que $x\in \lbrack A,A+1]$ implique : $%
    \left\vert f(x)\right\vert \leq K$.
    Soit $x\geq A$ et $n=\left\lfloor
    x-A\right\rfloor $, en sorte que : $n\in \mathbb{N}$ et : $n\leq x-A<n+1$, d'où : $A\leq x-n<A+1$.
    On a : $\left\vert f(x-n)\right\vert \leq K$, $%
    \left\vert f(x-n+1)-f(x-n)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$,..., $%
    \left\vert f(x)-f(x-1)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$, d'où par sommation :
    $\left\vert f(x)\right\vert \leq K+n\frac{\varepsilon }{2}\leq K+(x-A)\frac{%
    \varepsilon }{2}\leq K+x\frac{\varepsilon }{2}$.
    En conséquence, pour $%
    x\geq A$, on a : $\left\vert \frac{f(x)}{x}\right\vert =\frac{\left\vert
    f(x)\right\vert }{x}\leq \frac{K}{x}+\frac{\varepsilon }{2}$.
    Soit $B=\max(A,\frac{2K}{\varepsilon })$. Alors, pour $x\geq B$, on a : $x\geq A$ et $%
    \frac{K}{x}\leq \frac{\varepsilon }{2}$, ce qui implique : $\left\vert \frac{f(x)}{x%
    }\right\vert \leq \varepsilon $.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Merci Chaurien, je crois que tu as raison.

    Par contre, le résultat que tu viens de montrer me semble plus intéressant que son contre-exemple non-continu...

    Bravo à tous les participants ! (tu)
  • Est-ce que ça ressemble un peu au lemme de Cesàro ?
  • Le contre-exemple est intéressant lui aussi, pour montrer que la condition « $f$ bornée sur tout segment » est indispensable. Pour ce contre-exemple, la discontinuité ne suffit pas, encore faut-il que $f$ ne soit pas bornée sur tout segment.
    Notons qu'il y a un corollaire.
    Si $f: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$ est bornée sur tout segment, et si $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=\ell \in \mathbb R$, alors $\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=\ell$.
    On pourrait appeler ceci le lemme de l'escalier, comme pour les suites.
  • Si je ne me trompe, les résultats précédents restent valables pour une fonction $f$ à valeurs complexes, avec la même démonstration, sauf que $\ell \in \mathbb C$.
    De plus, si $f: \mathbb R_+\rightarrow \mathbb R$ est bornée sur tout segment, et si $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=+ \infty$, alors $ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=+\infty$.
  • Et pour continuer, observons que la réciproque est fausse. On peut avoir : $\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=0$ sans que $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=0$, même pour une fonction $f$ continue, et de classe ce qu'on veut.
  • @marsup : Oui, c’est un analogue pour les fonctions du lemme de Cesaro pour les suites.
  • Salut.
    Moi je propose la fonction $f(x) = tan(\pi x)$.
    Cordialement.
  • Insinues-tu que je me suis embêté avec mon $2x-1$? (:P)
  • Ah oui en effet Chaurien.

    Ma fonction bornée $f:\R\to\R$ favorite vérifie bien $\lim\limits_{+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$.

    Pourtant, $f(x+1)-f(x)$ ne tend pas spécialement vers 0.
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