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Continuité

Bonsoir, j'aimerais avoir une indication sur la question 2. J'ai l'impression que je fais une mauvaise interprétation de celle-ci.
Pour la question 1, j'ai d'abord introduit une fonction $\varphi$ tel que $\varphi$ est définie de $X$ à valeurs dans $\R$ et que $\varphi(f)=f(0)-f(1)$ cette application est continue car c'est une forme linéaire. De plus $A=\varphi^{-1}(]{-}\infty,0[)$ et comme $]{-}\infty,0[$ est ouvert, alors $A$ est aussi un ouvert.
Donc $Inte(A)=A$
Merci d'avance pour votre compréhension.127688

Réponses

  • Je me suis dit que si je considère la fonction $f:=1$, elle est bien dans $Fr(A)$, et si je considère la fonction $g:=x^2$, j'ai bien que pour $\epsilon=1,\ \sup\big(\lvert(\phi(g)-\phi(f)\rvert\big)>1$ mais le problème c'est pour la boule de centre $f$ et de rayon $\alpha$, je ne sais pas si $g$ est toujours un élément de cette boule avec $\alpha>0$.
  • Désolé, j'avais oublié de mettre l'énoncé.
  • La 1) est OK.

    Pour la 2) tu peux utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité et la définition (si ce n'est pas celle-ci c'est une définition équivalente) de la frontière $Fr(A)=Adh(A)\cap Adh(X\setminus A)$.

    Par exemple tu prends $f\in Fr(A)$ est une suite $(f_n)$ dans $A$ qui converge vers $f$ et tu regardes ce qu'il se passe avec $\phi$.
  • Bonsoir, ok je vais suivre ton indication
    Merci
  • L'indication que tu m'as donnée, ce n'est pas pour le cas de ma fonction $f:=1$ n'est-ce pas ?

    [En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. ;-) AD]
  • Merci AD
  • L'indication que j'ai donnée est pour un $f\in Fr(A)$ quelconque. Tu devrais trouver que $\phi$ n'est continue qu'en un point.
  • Oui je viens de montrer que la fonction n'est pas continue en $1$
  • J'ai fait une erreur dans ma rédaction en utilisant pas la distance infinie , en rectifiant cela, je trouve que $\phi$ n'est pas continue en $1$, donc mon exemple marche bien.
    En effet; on a $D_{\infty}(f_{n},f)=(\frac{1}{2})^n$ qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $\infty$, et $D_{\infty}(\phi(f_{n}),\phi(f))=2+(\frac{1}{2})^n$ qui ne tend pas vers $0$ quand $n$ tend vers $\infty$
  • Oui mais il n'y a pas besoin d'expliciter une fonction $f$ particulière. Tu peux dire : soit $f\in Fr(A)$ quelconque et soit $(f_n)$ une suite de $A$ qui converge vers $f$. Cette suite existe car $f$ est dans l'adhérence de $A$. On a $\phi(f_n)=f_n$ pour tout $n$ et $\phi(f)=-f$ car la frontière de $A$ n'intersecte pas $A$ ($f$ ne peut pas être dans $A$ quoi). Puis...
  • Bonsoir.`
    Merci pour ta réponse, concernant la dernière question, j'arrive à montrer que ce n'est pas un fermé mais pour la question sur l'ouvert, je n'arrive pas à affirmer ou à trouver un contre-exemple.
    Puis-je avoir une indication?
  • Pour $f\in B$ tu peux considérer la suite $(f_n)$ définie par $f_n =f\cdot 1_{[0,1-1/n[} + f(1-1/n)\cdot 1_{[1-1/n,1]}$

    PS. au cas où pour la 2) la fonction $\phi$ n'est continue qu'en $f=0$.
  • Bonsoir, je ne comprends pas trop l'indication svp.
    Je dois prouver que $B$ n'est pas un ouvert, cad, qu'il existe une fonction $g$ de $B$ telle que pour toute boule de centre $g$, la boule en question ne contient aucune fonction strictement croissante.
  • Ce n'est pas ça ne pas être ouvert.

    Ne pas être ouvert pour $B$ signifie : qu'il existe une fonction $g$ de $B$ telle que toute boule de centre $g$ contient au moins une fonction qui n'est pas dans $B$ donc qui n'est pas strictement croissante.

    Je réécris mon indication en détaillant un peu plus : tu prends $g\in B$ quelconque et $r>0$. Puis tu montres qu'il existe une fonction qui n'est pas dans $B$ mais qui est dans la boule centrée en $g$ de rayon $r$. Pour ce faire tu peux regarder la suite de fonctions $(g_n)$ définie par $\forall n>0, g_n =g\cdot 1_{[0,1-1/n[} + g(1-1/n)\cdot 1_{[1-1/n,1]}$.

    Tu remarqueras qu'aucune des fonctions de cette suite n'est dans $B$ car elles sont toutes constantes sur un petit intervalle. Il faut montrer que cette suite converge vers $g$ et par conséquent il y aura forcément un terme de cette suite qui tombera dans la boule de rayon $r$ centrée en $g$.
  • Pour la définition de B n’est pas une boule désolé si je n’ai pas écrite entièrement car je suis sur mon tel .
    Je vais suivre l’indication pour continuer l’exercice.
    Merci bien.

    Édit : Oui j’avais écrit la mauvaise phrase en faisant la négation. Désolé .
  • Tu es allé trop vite : $\sup_{x \in [0,1]}(\lvert g_{n}(x)-g(x) \rvert)$ n'est pas égal à $-(g(1-\frac{1}{n})-g(1-\frac{1}{n}))$.

    On a plutôt $\lvert g_{n}(x)-g(x) \rvert=g(x)-g(1-1/n)$. Donc $\sup_{x \in [0,1]}(\lvert g_{n}(x)-g(x) \rvert)=g(1)-g(1-1/n)$.
  • Bonsoir, ah oui je viens de voir mon erreur, comme la fonction est négative , on a bien $g-g(1-\frac{1}{n})$ et le sup est atteint en $1$ car cette fonction est strictement croissante. et par passage à la limite, on a bien notre résultat. Merci
    Depuis mon téléphone.
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