Sous-variétés et espace tangent

Modifié (November 2021) dans Géométrie différentielle
Bonjour
J'espère que vous allez bien.

Voilà, j'ai un exercice que je ne comprends pas bien. C'est l'exercice 2 sur la photo. J'aimerais avoir des indices pour la question 1. Je connais la définition d'un atlas. Mais, là où je bloque c'est de montrer que les applications changements de cartes sont des C infini difféomorphismes.
Vraiment aidez moi à comprendre.
Merci d'avance pour vos réponses.

[Préférer "Joindre un fichier" à donner un pointeur sur le net qui disparaîtra tôt ou tard. :-) AD]127374

Réponses

  • Ici, $\phi_1 $ et $\phi _2 $ sont rationnelles. Il te suffit donc de vérifier que le jacobien des applications $\phi _1 $ et $\phi _2 $ est non nul en tout point.
  • svp est-ce les réponses de la première questions seront utilisées dans la deuxième question ?
  • Non, dans le b), on demande juste des calculs.
  • Au faite dans la question 1) pour montrer l'atlas le problème se trouve au niveau là où on doit montrer que l'image des ensembles sont des ouverts et trouver l'expression des applications changements de cartes.
  • Qu'est-ce qui te pose problème ? Le fait de montrer que ce sont des ouverts, alors que leur complémentaire est un unique point ?
  • Ok je vois je vais essayer d'explorer cette partie.
  • Modifié (November 2021)
    Bonjour à tous
    La moindre des choses serait déjà de montrer que $\phi_1$ et $\phi_2$ sont des homéomorphismes sur leurs images respectives !
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (November 2021)
    Bonjour à tous
    Je vois que cela ne vole pas beaucoup plus haut sur ce nouveau forum de géométrie différentielle que sur celui de géométrie!
    Sur ce dernier, on ne va guère beaucoup plus loin en général que les axiomes de Thalès et de Pythagore et sur ce nouveau j'espère qu'on va quand même dépasser rapidement les trivialités sur la définition des variétés!
    Je ne sais pas qui a donné cet exercice mais il est clair qu'il a voulu faire répéter à ses étudiants sur cet ellipsoïde, la démonstration de la structure de variété de la sphère de Riemann.
    Le premier travail est donc de découvrir la méthode géométrique avec laquelle les écritures des homéomorphismes $\phi_1$ et $\phi_2$ ont été obtenues!
    Hint: penser aux deux projections stéréographiques à partir des pôles Nord et Sud.
    Il n'y a pas besoin d'avoir fait beaucoup de géométrie pour voir que ce sont les points $A$ et $B$ qui vont jouer ce rôle!
    Mais sur quelle bestiole l'auteur de cet exercice fait-il sa projection?
    Amicalement
    pappus
  • Bonjour.

    L'essentiel n'est pas de voler haut, mais d'apprendre à piloter. Il est alors intéressant de voir ce qui est généralisable, et ce qui ne l'est pas.
    Pour commencer, on peut en effet se ramener à la sphère, l'introduction d'un ellipsoïde ne changeant rien au coeur de la chose.

    On pose donc: \[  \def\ptv{~;~} \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{2}\,\dfrac{X}{1-Z}\\ \dfrac{Y}{1-Z}+1\\ \dfrac{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1}{1-Z} \end{array}\right) \] et alors \[ \left(\begin{array}{c} X\\ Y\\ Z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \dfrac{2a\left(c+2\right)}{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2}\\ \dfrac{bc+2\,b-c-2}{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2}\\ \dfrac{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b-c}{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2} \end{array}\right) \] On obtient donc une correspondance à la Cremona, définie par: \[ \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ t \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} TX/2\\ T\left(Y+T-Z\right)\\ X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-T^{2}\\ T\left(T-Z\right) \end{array}\right)\ptv\left(\begin{array}{c} X\\ Y\\ Z\\ T \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 2\,\left(c+2t\right)a\\ \left(c+2t\right)\left(b-t\right)\\ 4\,a^{2}+\left(b-t\right)^{2}+t^{2}-\left(c+2t\right)t\\ 4\,a^{2}+\left(b-t\right)^{2}+t^{2} \end{array}\right) \] C'est une correspondance du second degré, mais en dimension 3+1=4. Les points d'indétermination sont $\left(0:0:1:1\right)$ et les points de la courbe $T=0,X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0$. Les gradients sont $\Delta_{4},\delta_{4}$ respectivement: \[ \left[\begin{array}{cccc} T/2 & 0 & 0 & X/2\\ 0 & T & -T & Y+2\,T-z\\ 2\,X & 2\,Y & 2\,Z & -2\,T\\ 0 & 0 & -T & 2\,T-Z \end{array}\right]\ptv\left[\begin{array}{cccc} 2\,c+4\,t & 0 & 2\,a & 4\,a\\ 0 & c+2\,t & b-t & 2\,b-4\,t-c\\ 8\,a & 2\,b-2\,t & -t & -2\,b-c\\ 8\,a & 2\,b-2\,t & 0 & -2\,b+4\,t \end{array}\right] \] Et donc, les points exceptionnels sont les points de $T^{2}\left(X^{2}+Y^{2}+\left(Z-T\right)^{2}\right)=0$, ensemble fermé s'il en est. Comme il se doit, $\Delta_{4},\delta_{4}$ ne sont pas inverses l'un de l'autre, une égalité projective n'étant pas une égalité "en dur".

    Par contre, les gradients $\Delta_{3},\delta_{3}$ des égalités "en dur", soit: \begin{eqnarray*} \Delta_{3} & = & \left[\begin{array}{ccc} \dfrac{1/2}{1-Z} & 0 & \dfrac{X/2}{\left(1-Z\right)^{2}}\\ 0 & \dfrac{1}{1-Z} & \dfrac{Y}{\left(1-Z\right)^{2}}\\ \dfrac{2\,X}{1-Z} & \dfrac{2\,Y}{1-Z} & \dfrac{X^{2}+Y^{2}}{\left(1-Z\right)^{2}}-1 \end{array}\right]\\ \delta_{3} & = & \left[\begin{array}{ccc} \dfrac{-2\left(c+2\right)\left(4\,a^{2}-b^{2}+2\,b-2\right)}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{2}} & \dfrac{-4\,a\left(c+2\right)\left(b-1\right)}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{2}} & \dfrac{2\,a}{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2}\\ \dfrac{-8a\left(c+2\right)\left(b-1\right)}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{2}} & \dfrac{\left(c+2\right)\left(4\,a^{2}-b^{2}+2\,b\right)}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{2}} & \dfrac{b-1}{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2}\\ \dfrac{8\,a\left(c+2\right)}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{2}} & \dfrac{2\left(c+2\right)\left(b-1\right)}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{2}} & \dfrac{-1}{4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2} \end{array}\right] \end{eqnarray*} sont inverses l'un de l'autre, et leurs déterminants \[ \dfrac{-X^{2}-Y^{2}-\left(Z-1\right)^{2}}{2\left(1-Z\right)^{4}},\dfrac{-2\left(c+2\right)^{2}}{\left(4\,a^{2}+b^{2}-2\,b+2\right)^{3}} \] sont "normaux" en dehors des points exceptionnels.

    Bref, la seule question non banalement calculatoire est: quels sont les bon choix pour les coordonnées $a,b$?
  • Modifié (November 2021)
    Bonjour à tous
    Engel 10 doit sans doute être satisfait des calculs de Pierre car il ne donne plus de ses nouvelles.
    Quant à moi, j'avoue ne pas les avoir compris dès la première ligne!
    Ce que j'aurais voulu savoir, c'est la méthode géométrique simple utilisée par l'auteur de cet énoncé pour donner les écritures des cartes $\phi_1$ et $\phi_2$!
    Amicalement
    pappus
  • Modifié (November 2021)
    Mon cher pappus !
    J'ai ramené cet ellipsoïde à la sphère unité, ayant estimé que "ellipsoïde= fanfreluche inutile". Après coup, j'ai remarqué... que tu avais fait la même remarque.
    La deuxième étape de mes calculs consiste à poser: \[ \left(\begin{array}{c} a\\ b\\ c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \dfrac{1}{2}\,\dfrac{X}{1-Z}\\ \dfrac{Y}{1-Z}+1\\ \dfrac{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1}{1-Z} \end{array}\right) \]
    Dans cette affaire, $a=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{X}{1-Z}$ c'est pas moi, c'est pas ma faute, c'est juste la question posée.
    De même, $b=\dfrac{Y}{1-Z}+1$  c'est pas moi, c'est pas ma faute, c'est juste la question posée.
    Par contre, $c= \dfrac{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1}{1-Z}$, cela c'est moi. En effet, tant qu'à voler haut, autant disposer d'un altimètre. Et la quantité $c$ nous dit à combien sommes-nous au dessus de la sphère (pour être totalement exact, $c(c+2)$ est encore plus altimétrique que $c$ lui-même. On constate que $(X,Y,Z)\mapsto (a,b,c)$ est une belle bijection bien lisse, enfin presque partout, à l'exception d'un fermé de volume nul.
    Et donc sa bijection réciproque est-elle aussi ... tout ça toussa ... et les gradients sont inverses l'un de l'autre.
    Ensuite de quoi, on peut toujours ignorer l'espace ambiant, et ne conserver que la surface $c=0$.
    Cordialement, Pierre.
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