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Suites de fonctions

Bonsoir, je voudrais une idée sur cet exercice.

Pour tout réel $x\geq 0$ on associe la suite
$$ u_n=\frac{n!x^n}{\prod_{k=1}^n(1+kx)}.
$$ On demande de montrer pour tout réel $r>0$ on a :
$$\forall x\in[0\,,\,r],\ \forall n\geq 1,\qquad 0\leq u_n\leq\frac{r}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}.$$

Réponses

  • Bonjour,

    Mets $k x$ en facteur dans $1+kx$.
    Sors $k x$ du produit.
    Simplifie numérateur et dénominateur.

    Réécris l’inégalité sous la forme $\prod… \geq \sum.$
    Majore $x$ par $r$ à gauche.

    Démontre la relation $\prod (1+z)\geq \sum z$ par récurrence pour ces $z$.
  • Merci beaucoup YvesM, ça marche à merveille
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